2020-2021年浙江省宁波市九年级上学期数学第一次月考试卷及答案

这是一份2020-2021年浙江省宁波市九年级上学期数学第一次月考试卷及答案，共14页。
 九年级上学期数学第一次月考试卷
一、选择题〔每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求〕
y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(　   　)
A. (－1，3)                            B. (1，－3)                            C. (－1，－3)                            D. (1，3)
2.“ 是实数， 〞这一事件是(　   　)
A.  必然事件                         B. 不确定事件                         C. 不可能事件                         D.  随机事件
3.小亮、小莹、大刚三位同学随机站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是(     )
A.                                         B.                                         C.                                         D.  
4.以下有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有(　 　)
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
5.如图，在等边三角形ABC中，AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB ， ON⊥AC ， 垂足分别为点M ， N.如果MN=1，那么BC等于(　   　)

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
6.如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.假设点P的横坐标为－1，那么一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是(　  　)

A.             B. 
C.              D.                                                                             
7.如图，在⊙O中，如果， 那么(　   　)   
 
A. AB=AC                           B. AB=2AC                           C. AB＜2AC                           D. AB＞2AC
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A〔-1，0〕，对称轴为直线x=2．与y轴的交点B在〔0，2〕与〔0，3〕之间〔不包括这两点〕，以下结论：①abc＜0；②5a+c＞0；③假设点M( ，y1 )，点N〔 ，y2〕是函数图象上的两点，那么y1＜y2；④ ＜ a ＜ ．其中正确结论有(　   　)

 
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线xx的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，那么t的取值范围是(　   　)
A. 2 ≤ t＜11                              B. t ≥2                              C. 6＜t＜11                              D. 2 ≤ t＜6
10.抛物线 过A〔m ， 3〕，B〔n ， 3〕两点，假设线段AB的长不大于4，那么代数式 的最小值是(　  　)
A.                                       B.                                       C.                                       D.  
二、填空题〔此题有6小题，每题5分，共30分〕
差异的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．随机抽取1张，抽出的数字是2的倍数的概率是________．
?九章算术?中记载了一个“圆材埋壁〞的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？〞意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺〔1尺＝10寸〕．问这根圆形木材的直径是________寸．

13.AB是⊙O的弦， ，垂足为M ， 连结OA ． 假设 中有一个角是 ，，那么弦AB的长为________．
 
14.如图1，是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯. 防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示. 假设茶几摆放在灯罩的正下方，那么茶几到灯柱的距离AE为________米.

x的函数 ，当0≤x≤3时函数有最大值5，那么a=________．
16.如图，抛物线 与x轴交于A,B两点，对称轴与抛物线交于点C ， 与x轴交于点D ， ⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，那么线段DP长的最大值为________.

三、解答题〔本大题共8小题，共80分〕
17.如图，在10×10的正方形网格中〔每个小正方形的边长都为1个单位〕，△ABC的三个顶点都在格点上．建立如以下列图的直角坐标系，

〔 1 〕请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置;并填写：圆心P的坐标：P〔▲ ， ▲〕；
〔 2 〕将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE ， 画出△ADE ．
                     
18.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．假设在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．〔要求：用列表或画树状图的方法解答〕
19.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E ， 连结BE ， 假设AC＝8，DE＝2，求

〔1〕求半圆的半径长；
〔2〕BE的长度．
20.如图，二次函数的图象与x轴交于A〔-3，0〕和B〔1，0〕两点，交y轴于点C〔0，3〕，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D ．
 
〔1〕请直接写出D点的坐标；
〔2〕求一次函数和二次函数的解析式；
〔3〕根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
21.2021年8月，今年第4号台风“黑格比〞来袭，宁波市某镇被雨水“围攻〞，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=24米，拱高PM=8米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到8米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有1米，问是否需要采取紧急措施？请说明理由．

kg ， 每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出20kg.
〔1〕设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式.
〔2〕假设要平均每天盈利960元，那么每千克应降价多少元？
〔3〕商店为了尽快减少库存且让利于顾客，决定对该批水果每千克至少降价3元，试问该批水果每千克应降价多少元才能到达最大利润，并求出最大利润？
23.在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 的坐标为 〔a，b〕 ，当a＞b 时，点P' 的坐标为 〔-a,b〕；当 a≤b 时，点P' 的坐标为 〔-b，a〕 ,这样的点 P' 叫做点 P 的“中和点〞.

〔1〕初步体验：
点 A〔3,1〕 的“中和点 A' 〞的坐标是________；
〔2〕实践应用：
抛物线 y=-〔x+2)2+m与 x 轴交于点 C ， D 〔点 C 在点 D 的左侧〕，顶点为 E .点 P 在抛物线 y=-〔x+2)2+m 上，点 P 的“中和点〞为 P' .假设点 P' 恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，求 m 的值；
〔3〕深化拓展：
假设点 F 是函数 y=-2x-6 〔 -4≤x≤-2 〕图象上的一点，点 F 的“中和点〞为 F' ，连结 FF' ，以 为半径作⊙Q ， 求出⊙Q的半径r的取值范围.
24.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点(A点位于B点左侧)，与y轴相交于点C ， 点M为抛物线的顶点．

〔1〕求点A、B、C及顶点M的坐标．
〔2〕假设点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连结BN、CN ， 求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
〔3〕假设点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，试说明理由．

答案解析局部
一、选择题〔每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求〕
1.【解析】【解答】解：二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(1，3).
故答案为：D.

【分析】二次函数y=a〔x-h〕2+k的顶点坐标为〔h，k〕，利用二次函数图像可得答案。
2.【解析】【解答】解： 是实数， 〞这一事件必然事件.
故答案为：A.
【分析】根据事件发生的可能性的大小，可作出判断。
3.【解析】【解答】解：小亮、小莹、大刚三位同学随机站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的只有1种情况，
∴P〔小亮恰好站在中间〕=.
故答案为：B.
【分析】利用条件可知一共有3种结果，但小亮恰好站在中间的只有1种情况，然后利用概率公式可求解。
4.【解析】【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；
错误结论的序号为：①②③.
故答案为：C.
【分析】利用不在同一直线上的三点才能确定一个圆，可对①作出判断；利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可对②作出判断；利用垂径定理的推论，可对③作出判断；利用三角形的外心的定义，可对④作出判断。
5.【解析】【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC
∴点N是AC的中点，点M是AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MC=2MN=2.
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理可证得点N是AC的中点，点M是AB的中点，由此可证得MN是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求BC的长。
6.【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0，b＜0
当x=-1时，y＜0
∴a-b＜0
∴一次函数y=〔a-b〕x+b的图像经过第二，三，四象限.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的图像，可知a＜0，b＜0，利用点P的横坐标可得到a-b的取值范围，由此可得到一次函数图像经过的象限，即可得到正确的选项。
7.【解析】【解答】解：取劣弧AB的中点M，连接AM，BM

∴
∵
∴
∴AM=AC=BM
∴AM+BM＞AB
∴2AC＞AB
故答案为：C.
【分析】取劣弧AB的中点M，连接AM，BM，利用条件可证得， 利用圆心角，弧，弦的关系定理可证得AM=AC=BM；然后利用三角形三边关系定理，可证得结论。
8.【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2= 
∴b=-4a，
∵当x=-1时y＜0即a-b+c=0
∴5a+c=0，故②错误；
∵
∵点N 〔 ，y2〕关于对称轴直线x=2的对称点为〔 ，y2〕
∴
∵当x＜2时y随x的增大而增大
∴ y1＜y2 ， 故③正确；
∵
∴b=-4a
∵当x=-1时y=a-b+c=5a+c=0
∴
∵2＜c＜3

∴2＜-5a＜3
解之：， 故 ④ 正确
∴正确结论的序号为：①③④
故答案为：C.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴，，可确定出a，b，c的取值范围，从而可确定出abc的符号，可对①作出判断；当x=-1时y＜0可得a-b+c=0，再由对称轴得到b=-4a，代入计算，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可求出点N关于对称轴的对称的点的坐标，再利用二次函数的增减性可得到y1 ， y2的大小关系，可对③作出判断；由当x=-1，可推出c=-5a，再根据2＜c＜3，可得到a的取值范围，可对④作出判断，综上所述可得正确结论的个数。
9.【解析】【解答】解：∵ 抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1
∴b=-2
∴ 关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0的实数根可以可看着是y＝x2-2x＋3与函数y=t有交点，
∵方程在－1＜x＜4的范围内有实数根 ，
∴x=-1时y=6，
x=4时y=11，
∵函数y＝x2-2x＋3在x=1时，函数有最小值为2
∴t的取值范围是2 ≤ t＜11.
故答案为：A.

【分析】利用二次函数的对称轴可得到b的值，再结合分别求出x=-1和x=4时的函数值，利用二次函数的性质，可知x=1时，函数有最小值为2，由此可得到t的取值范围。
10.【解析】【解答】解：y=a〔x2+4x+4-4〕+4a+1=a〔x+2〕2+1
∴抛物线的顶点坐标为〔-2，1〕，对称轴为直线x=-2
∵二次函数图像经过点A〔m，3〕，B〔n，3〕
∴抛物线的抛物线的开口向上，a＞0
∵线段AB的长不大于4
∴4a+1≥3
解之：a≥
a2+a-1的最小值为
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再由二次函数图像经过点A〔m，3〕，B〔n，3〕，可确定出a的取值范围；再根据线段AB的长不大于4，可得到抛物线与y轴的交点的纵坐标大于等于3，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后将a的最小值代入可得答案。
二、填空题〔此题有6小题，每题5分，共30分〕
11.【解析】【解答】解：∵1，2，3，4，5中是2的倍数的是2和4
∴P〔抽出的数字是2的倍数〕=.
故答案为：.
【分析】由可知是2对的倍数的有2个数，再利用概率公式可求解。
12.【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，
∴AD＝BD＝AB＝尺＝5寸，
设半径OA＝OE＝r寸，
∴OD＝r−1，
那么Rt△OAD中，〔r−1〕2＋52＝r2 ，
解之：r＝13，
∴圆形木材的直径为26寸.
故答案为：26.
【分析】利用垂径定理求出AD的长，设半径OA＝OE＝r寸，可表示出OD的长，再利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值，就可求出圆形木材的直径。
13.【解析】【解答】解：如图当∠A=30°时

∵OM⊥AB
∴AM=BM，∠AMO=90°，∠O=60°
∴AM=OMtan∠O=OMtan60°=
∴AB=2×6=12；
当∠O=30°，

∵AM=OMtan∠A=OMtan30°=
∴AB=2×2=4
∴弦AB的长为12或4.
故答案为：12或4.
【分析】分情况讨论：当∠A=30°时，可求出∠O的度数，利用解直角三角形由AM=OMtan∠O，可求出AM的长，由此可求出AB的长；当∠O=30°时，利用解直角三角形由AM=OMtan∠A，可求出AM的长，由此可求出AB的长。
14.【解析】【解答】解：设点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下，

由题意得：顶点C〔〕，点B〔〕
设函数解析式为y=a〔〕2

解之：.
∴此函数解析式为

解之：x1〔舍去〕，x2=2.7.
故答案为：2.7
【分析】设点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下，利用条件可得到顶点C的坐标及点B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由y=1.86，建立关于x的方程，即可求解。
15.【解析】【解答】解：y=-x2-ax+1=-〔x+〕2++1.
∴抛物线的对称轴为直线x=-， 顶点坐标为
当时，y的最大值为5，
∴-6≤a≤0
∴
解之：a1=-4，a2=4〔舍去〕
当时即a＞0时，
当x=0时，y的最大值为5
∴y=1≠5，不符合题意舍去；
当x=3时，-〔3+〕2++1=5
解之：〔舍去〕；
当即a＜-6时
当x=3时-〔3+〕2++1=5
解之：〔舍去〕；
∴a=-4
故答案为：-4.
【分析】将二次函数解析式转化为顶点式，可得抛物线的对称轴和顶点坐标，当时，y的最大值为5，结合可得到a的取值范围，据此建立关于a的方程，解方程求出a的值；当时即a＞0时，再求出当x=3时的a的值；当即a＜-6时，求出a的值，综上所述可得到符合题意的a的值。
16.【解析】【解答】解：连接BG，

∵点P为AG的中点，点D为AB的中点，
∴DP是△ABG的中位线，
∴DP=BG，
∴当BG最大时，那么DP最大，
∴当BG经过圆心C时，即点B，G，C在同一直线上，BG最大
∵
∴点C〔4，4〕
∴OD=4，CD=4
当y=0时
解之：x1=1，x2=7
∴点B〔7，0〕
∴OB=7
∴BD=OB-OD=7-4=3.
∴
∵圆的半径为2
∴BG=5+2=7
∴DP=×7=.
故答案为：.
【分析】连接BG，易证DP是△ABG的中位线，利用三角形中位线定理可得到DP=BG，当BG最大时，那么DP最大，由此可知当BG经过圆心C时，即点B，G，C在同一直线上，BG最大，先将函数解析式转化为顶点式，可得到点C的坐标，再求出点B的坐标，即可求出CD和BD的长，然后利用勾股定理求出BC的长，继而可求出BG的长，然后根据DP=BG，可求出DP的长。
三、解答题〔本大题共8小题，共80分〕
17.【解析】【分析】〔1〕作出AB和BC边的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是点P的位置，然后可得到点P的坐标。
〔2〕利用旋转的性质，可得到点B，C的对称点D，E，再作出△ADE即可。
18.【解析】【分析】根据题意列出树状图知：共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，根据概率公式计算即可。
19.【解析】【分析】〔1〕利用垂径定理可求出AE的长，再利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
〔2〕连接BC，利用垂径定理可证得点E是AC的中点，可证得OE是△ABC的中位线，可证得OE∥BC；然后利用勾股定理求出BE的长。
20.【解析】【解答】解：〔1〕∵二次函数的图象与x轴交于A〔-3，0〕和B〔1，0〕两点
∴对称轴为直线x=
∵点C〔0，3〕，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D〔-2，3〕；
〔3〕∵点D〔-2，3〕.点B〔1，0〕
∴当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围。
【分析】〔1〕利用点A，B的坐标可得到抛物线的对称轴，再根据点C、D是二次函数图象上的一对对称点，由点C的坐标可得到点D的坐标。
〔2〕由点B，D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式；由点A，B的坐标，利用二次函数的交点式设函数解析式为y=a〔x+3〕〔x-1〕，再将点C的坐标代入函数解析式，可求出a的值，即可得到二次函数解析式。
〔3〕根据点D，B的横坐标，观察一次函数的图象高于二次函数的图象，就可得到一次函数值大于二次函数值的x的取值范围。

21.【解析】【分析】连接OB，OB1 ， 利用垂径定理求出BM的长，利用勾股定理求出圆的半径，再求出ON的长，再利用勾股定理求出B1N的长；然后求出A1B1的长，将其与8比较大小可作出判断。
22.【解析】【分析】〔1〕每天盈利y=每天的销售量×每千克的利润，列出y与x之间的函数解析式。
〔2〕等量关系为：平均每天盈利=960，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到符合题意的x的值。
〔3〕由决定对该批水果每千克至少降价3元，由题意可知当x=3时可获得最大利润，将x=3代入可求出最大利润。
23.【解析】【解答】解：〔1〕∵点 A〔3,1〕 ，3＞1
∴点 A〔3，1〕 的“中和点 A' 〞的坐标是〔-3，1〕；
【分析】〔1〕利用 “中和点〞 的定义，由点A的横坐标3＞1，可得到点A的“中和点 A'的坐标。
〔2〕利用函数解析式求出点E的坐标，由点P在抛物线y＝−〔x＋2〕2＋m上，可得到点P的坐标，利用“中和点〞 的定义再分情况讨论：当x＞−〔x＋2〕2＋m，可得到点P'的坐标，利用点P和点P'的坐标特点建立关于x，m的方程组，解方程组求出m的值；假设x≤−〔x＋2〕2＋m，可得到点P'的坐标，利用点P和点P'的坐标特点建立关于x，m的方程组，解方程组求出m的值；综上所述可得到符合题意的m的值。
〔3〕设点F的坐标为〔x，−2x−6〕，利用勾股定理可得到FF′关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，分情况讨论，可得到FF′的取值范围，由此可得到圆Q的半径r的取值范围。
24.【解析】【分析】〔1〕由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由x=0求出对应的函数值，可得到点C的坐标，利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到点M的坐标。
〔2〕过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连结BN，CN，利用待定系数法求出直线BC的解析式，利用函数解析式设N点坐标为〔n，n2﹣2n﹣3〕，故Q点坐标为〔n，n﹣3〕，其中0＜n＜3， 利用三角形的面积公式可求出△BCN的面积与n的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点N的坐标。
〔3〕设D点坐标为〔1，t〕，G点坐标为〔m，m2﹣2m﹣3〕，且B〔3，0〕，C〔0，﹣3〕，分情况讨论：①当DG为对角线时，那么另一对角线是BC，利用线段中点公式求出线段DG，BC的中点坐标，再根据DG的中点与BC的中点为同一个点，建立关于t，m的方程组，解方程组求出m，t的值，即可得到点D的坐标；②当DB为对角线时，那么另一对角线是GC，利用同样的方法求出点D的坐标； ③当DC为对角线时，那么另一对角线是GB， 利用线段中点坐标求出线段DC，BG的中点坐标，再根据DB的中点与GC的中点为同一个点，建立关于t，m的方程组，解方程求出t，m的值，即可得到点D的坐标。