2021学年5 三角函数的应用学案及答案

三角函数的应用

【学习目标】

1．了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题。

2．进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

3．理解坡角、坡比等概念的意义，并能解决有关实际问题。

4．能适当地选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题。

【学习重难点】

1．用三角函数有关知识解决仰角、俯角的实际问题。

2．学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型。

3．用三角函数有关知识解决方位角和坡角、坡比的实际问题。

4．学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型。

【学时安排】

2学时

【第一学时】

【学习过程】

一、自学指导

1．认识仰角和俯角。

在进行观察或测量时，

当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫仰角；

当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫俯角。

2．直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为α=30°，β=45°，求飞机的高度PO。

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二、变式训练

直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°，测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离PD。

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三、精讲拓展

1．做一做。

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流。

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2．想一想。

某商场为了加强安全管理，决定将商场内的楼梯的倾斜角由40º降为35º，已知原楼梯长为4米，（1）调整后楼梯会加长多少？（2）调整后楼梯会多占多少长度的地面？

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四、解题方法小结

利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤是什么？

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运用了哪些数学思想？

______________________________________________________________________________________。【达标检测】

1．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（    ）

A．由楼顶望塔顶仰角为60°

B．由楼顶望塔基俯角为60°

C．由楼顶望塔顶仰角为30°

D．由楼顶望塔基俯角为30°

2．从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C、B、D顺次在一条直线上，求树AB的高度。

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【第二学时】

【学习过程】

一、自学提纲

1．坡面的__________________的比叫做坡度（或叫做坡比）。

2．一般用i表示。即i＝（    ）常写成i=1∶m的形式，如i=1∶2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。

结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

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即学即用：

（1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；

（2）已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i=______，坡角α______度。

二、典例解析

例1：如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡角a，坝底宽AD和斜坡AB的长。（精确到0.1米）。

分析：将实际问题转化为数学问题，应用坡度、坡角的概念及联系，即i＝tanα＝_______________，将梯形问题，添加高线把梯形转化为_______________来解。

例2：如图，水库的大坝横截面是一个梯形ABCD，坝顶宽AD=6m，坝高5m，斜坡CD=8m，坝底BC=30m，∠ADC=135°。

（1）求∠ABC的度数；

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（2）如果坝长100米，那么建筑这个大坝共需多少石料？

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三、对应练习

1．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（    ）

A．5cm       B．5cm       C．10m     D．m

2．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（    ）

A．15m         B．20m       C．20m        D． 10m

3．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（    ）

A．56米     B．66米    C．（56+20）米      D．（50+20）米

    （1题图）          （2题图）                 （3题图）

4．如图，一堤坝的坡角∠ABC=60°，坡面长度AB=30米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=45°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732）。

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5．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°。为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=∶3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）

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