数学4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案

这是一份数学4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案，共16页。教案主要包含了课时安排，第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，第二课时，作业布置，第三课时等内容，欢迎下载使用。

二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质

【课时安排】
4课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）知识技能目标。
1．使学生会运用描点法画二次函数的图象，了解函数的性质；
2．让学生通过观察，自主发现一般二次函数图象的性质；
3．让学生通过观察比较，发现二次函数与图象之间的关系。
（二）过程性目标。
经历二次函数的画图和发现二次函数图象性质过程，注重探索过程的参与和体验。
【教学重难点】
理解y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响。
【教学过程】
一、创设情境
（一）上一课我们学习了二次函数的图象及性质，请大家回答下列问题。
说出下列各个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性和最大（小）值。

思考：二次函数的图象及性质是怎么样的呢？
这就是本课要学习研究的内容。
二、探究归纳
仿照上一课的研究方法，我们通过画图象、观察图象来探究这几个函数的性质。在同一直角坐标系中，画出函数与的图象。
解：列表：

－3
－2
－1
0
1
2
3
……

18
8
2
0
2
8
18
……

19
9
3
1
3
9
19
……
描点、连线，画出两个函数的图象，如图所示。

观察。
当自变量取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？
答：当自变量取同一数值时，函数的函数值都比函数的函数值大1，反映在图象上，函数的图象上的点都是由函数的图象上的点向上移动了一个单位。
观察。
这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，它们有哪些相同的？又有哪些不同的？
答：函数与的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数的图象可以看成是将的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）。
据此，可以由函数的性质，得到函数的性质：
当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y＝ 。
（二）请归纳出函数的图象及性质：
1．当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；
对称轴是y轴（即直线x=0）；
顶点坐标是（0，0）。
2．当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大。
3．当a>0时，函数有最小值，即当x=0时，最小值y＝k；
当a<0时，函数有最大值，即当x=0时，最大值y＝k。
三、实践应用
例：在同一直角坐标系中，画出函数与的图象。说说它们有什么联系与区别？说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质。
解：列表

……
－3
－2
－1
0
1
2
3
……

……
18
8
2
0
2
8
18
……

……
16
6
0
－2
0
6
16
……
描点、连线，画出两个函数的图象，如图所示。

函数与的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数的开口向上，对称轴是y轴（即直线，x=0），顶点坐标是（0，－2）。
函数的性质是：
当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大。因为a＝2>0，函数有最小值，即当x=0时，最小值y＝－2；
思考：
在同一直角坐标系中，画出函数与的图象。说说它们有什么联系与区别？说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质。
四、交流反思
（一）二次函数（a、k是常数，a≠0）图象及性质：
1．开口方向向上（a>0）或向下（a<0），顶点坐标是原点（0，0），对称轴是y轴（即直线，x=0）；
2．当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧（即x<0），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即x>0），y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，在对称轴的左侧（即x<0），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即x>0），y随x的增大而减小；
3．当x=0时，y有最小值（a>0）或最大值（a<0），最小值或最大值是k。
4．抛物线可以看成是由抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移个单位得到的。
五、检测反馈
（一）已知函数。
1．分别画出它们的图象；
2．说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
3．试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（二）根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
（三）试说出函数（a．k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表。

开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0



a<0



【第二课时】
【教学目标】
1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
【教学重难点】
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
【教学过程】
一、提出问题
（一）在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：
1．两条抛物线的位置关系。
2．分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
3．说出它们所具有的公共性质。
（二）二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
二、分析问题，解决问题
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？
（画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察。）
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗？
1．让学生完成下表填空。
x
……
－3
－2
－1
0
1
2
3
……
y＝2x2









y＝2(x－1)2









2．让学生在直角坐标系中画出图来。
3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？
1．教师引导学生观察画出的两个函数图象。根据所画出的图象，完成以下填空：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2x2


y＝2(x－1)2


2．让学生分组讨论各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x－1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）。
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗？
1．教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；
2．让学生完成以下填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。
三、做一做
（一）问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x－1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗？
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
2．请两位同学上台板演，教师讲评；
3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x－1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x－1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是（－1，0）。
问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗？
教学要点：
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x﹤－1时，函数值y随x的增大而减小；当x﹥－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝－1时，函数取得最小值，最小值y＝0。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系？
（函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到的。）
问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
（函数y＝－(x＋2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，0）。）
问题9：你能得到函数y＝－(x＋2)2的性质吗？
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x﹤－2时，函数值y随x的增大而增大；
当x﹥－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。
四、课堂练习
五、小结
（一）在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别？
（二）你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗？
（三）谈谈本节课的收获和体会。
【作业布置】
（一）作业优化设计
1．填空：
（1）抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；
（2）抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；
（3）抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；
（4）抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；
（5）二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______。
2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。
3．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）y＝3x2＋2x；（2）y＝－x2－2x；
（3）y＝－2x2＋8x－8；（4）y＝x2－4x＋3。
4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3（m＞0）的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。
【第三课时】
【教学目标】
（一）知识目标。
1．使学生会用描点法画出二次函数的图象；
2．使学生知道抛物线的对称轴与顶点坐标；
（二）能力目标。
通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；
（三）情感目标。
1．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；
2．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图象可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。
【教学重点】
会画形如的二次函数的图象，并能指出图象的开口方向、对称轴及顶点坐标。
【教学难点】
确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
【教学准备】
三角板。
【教学过程】
提问：
1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图象？
答：形如。（板书）
2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图象及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？
由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如的二次函数的有关问题。（板书）
一、复习引入
（一）首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识。
请你在同一直角坐标系内，画出函数的图象，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标。
这里之所以加上画函数的图象，是为了使最后通过图象的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图象先沿y轴，再沿x轴移动的方式，也可以给出图象。先沿x轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体。
画这三个函数图象，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x的值，以便于学生进行观察。教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名同学，分别指出这三个图象的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中。
然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图象？
1．由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图象，学生对画图已经有了一定的经验，同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用。
（1）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点。在选值时，首先要考虑的是函数图象的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点。
在选取x的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确。
（2）关于描点：一般可先定顶点。（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度。）
（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点。
由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图象，同样找一名同学板演。
2．学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：
（1）你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

向下
x=0
（0，0）

向下
x=0
（0，-1）

向下
x=-1
（-1，0）

向下
x=-1
（-1，-1）
（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成的形式，可得
；
；
。
然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）一般地，抛物线有如下特点：
a．时，开口向上；时，开口向下；
b．对称轴是直线；
c．顶点坐标是。
（3）抛物线有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
（4）它们的位置有什么关系？
这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。
根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图象分成以下几个问题来讨论：a．抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
b．抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
c．抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
d．抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
e．抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
这个问题分两种方式回答：先沿轴，再沿轴移动；或先沿轴，再沿轴移动。
通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系。
注意：基本形式中的符号，特别是h。
练习：随堂练习。
（四）总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
【第四课时】
【教学目标】
（一）教学知识点。
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性。
2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题。
（二）热能力训练要求。
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力。
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力。
（三）情感与价值观要求。
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。
【教学重点】
运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题。
【教学难点】
把数学问题与实际问题相联系的过程。
【教学方法】
讲解法。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课
师：上节课我们主要讨论了相关函数y＝ax2+k，y=a(x－h)2，y＝a(x－h)2+k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标。我们知道学习的目的就是为了应用，那么究竟有什么用处呢？本节课将学习有关二次函数的应用。
二、新课讲解
例题：
师：前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y=ax2，y＝ax2+c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2+k。并对它们的性质进行了比较。但对于二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a．b．c是常数，a≠0），它是属于上面形式中的哪一种呢？还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢？下面我们一起来讨论这个问题。
展示例题：
例：求二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标。
解：把y＝ax2+bx+c的右边配方，得：
y＝ax2+bx+c
=a(x2+)
=a[x2+2·x+()2+]
=a(x+)2+。
师：大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢？
生：属于y＝a(x－h)2+k的形式。
师：在y=a(x－h)2+k的形式中，我们知道对称轴为x＝h顶点坐标为（h，k）。对比一下，y＝ax2+bx+c中的对称轴和顶点坐标是什么呢？
生甲：对称轴是x＝，顶点坐标是（，）。
师：确定吗？大家再讨论一下。
生：在y＝a(x－h)2+k中是x－h，而y＝a(x+)2+中是x+，它们的符号不同，应把y＝a(x+)2+。进行变形得 y=a[x－(－)2]+。再对照y=a(x－h)2+k的形式得对称轴为x=－，顶点坐标为（－，）。
师：这位同学回答得非常棒。
至此，所有的二次函数的形式我们就都讨论过了。
下面我们来研究一些实际问题。
二、有关桥梁问题
（一）展示例题：
1．下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。

（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
（3）你是怎样计算的？与同伴进行交流。
分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上。要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值。又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍。已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2+k的形式，即顶点式。
解：y=0.0225x2+0.9x+10
=0.0225(x2+40x+)
=0.0225(x2+40x+400－400+)
＝0.0225(x+20)2+1。
∴对称轴为x=－20。顶点坐标为（－20，1）。
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是1米。
（2）两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米。
（3）是用配方法求得顶点坐标得到的，也可以直接代入顶点坐标公式中求得。
师：从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题。
在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？请互相交流。
解：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是，所有的对应点的坐标满足横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把y不变，x换为－x代入y＝0.0225x2+0.9x+10中，得：
y＝0.0225(－x)2+0.9(－x)+10
＝0.0225x2－0.9x+10。
三、补充例题
（一）展示例题：
1．如下图，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm。


（1）写出长方形场地面积y（m2）与x的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？
解：（1）垂直院墙的边长为xm，另一边长为（50－2x）m。则：
y=x(50－2x)=－2x2+50x=－2(x－)2+。
（2）图象略。
（3）由（1）得，当x＝时，y最大=。
所以当边长为m时，长方形面积最大，最大面积为m2。
三、课堂练习
（一）随堂练习。
（二）补充练习。
1．确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标。
（1）y=－x2+；
（2）y=x2－
解：（1）y=－x2+
=－(x2－)
=－(x2－)
=－(x－)2+。
开口方向向下，对称轴为x=，顶点坐标为（，）。
（2）y=x2－
=(x2－x－30)
=(x2－x+－－30)
=(x－)2－。
开口方向向上，对称轴是x=，顶点坐标为（，）。
四、课时小结
本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题。
活动与探究
探索二次函数y=ax2+bx+c的系数（a，b，c与图象变化之间的关系。）
先考察二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响。
在计算机上作出二次函数y＝ax2的图象。其中系数a可以通过鼠标拖动y轴上标识为a的点而变化。图1和图2是a取不同值时得到的两个图象：