八年级上册第五章 平行四边形3 三角形的中位线教案设计

三角形的中位线

【教学目标】

1．知识目标：

（1）了解三角形中位线的概念。

（2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。

2．能力目标：

（1）经历“探索--发现--猜想--证明”的过程，进一步发展推理论证能力。

（2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

（3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。

3．情感目标：

通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。

【教学重点】

三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明。

【教学难点】

三角形中位线定理的多种证明。

【教学方法】

对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。

【教学准备】

1．教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。

2．学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。

【教学过程】

1．一道趣题——课堂因你而和谐。

问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）

（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。）

学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。

课件出示：将△ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形ADFE。

问题：你有办法验证吗？

2．一种实验——课堂因你而生动。

学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：

生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开，看四个三角形能否重合。

生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。

生3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。

引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？

3．一种探索——课堂因你而鲜活。

师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（板书）

问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图1中你能发现什么结论呢？

（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言。）

学生的结果如下：DE//BC，DF//AC，EF//AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，

△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB……

猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书）

师：如何证明这个猜想的命题呢？

生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。

已知：DE是ABC的中位线，求证：DE//BC，DE=BC。

学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下。）

生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF。

由△ADE≌△CFE（SAS）得：AD=FC

从而BD=FC

所以，四边形DBCF为平行四边形。

得：DF//BC

可得：DE=BC（板书）

生2：将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点A与点C重合，

即：ADE≌CFE

可得：BD=CF

得：平行四边形DBCF

得：DF//BC，可得：DE=BC

生3：延长DE到F，使DE=EF，连接AF、CF、CD，

可得：AD=CF

得：DB=CF

得：DF//BC

可得：DE=BC

生4：利用△ADE∽△ABC且相似比为1：2

即可得：DE=BC

师：还有其它不同方法吗？

（学生面面相觑，学生5举手发言。）

4．一种创新——课堂因你而美丽。

生5：过点D作DF//BC交AC于点F

则：ADF∽ABC

可得

又E是AC中点

可得

因此，AE=AF

即：E点与F点重合

所以，DE//BC，且DE=BC。

师：很好，好极了！这种证法在数学中叫做同一法，连老师也没想到。太棒了，大家要向生5学习，用变化的、动态的、创新的观点来看问题，努力去寻找更好更简捷的方法。

5．一种思考——课堂因你而添彩。

问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？

容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段。但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。（学生交流、探索、思考、验证）

6．一种照应——课堂因你而完整。

问题：

你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃。）

7．一种应用——课堂因你而升华。

做一做：

任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？

（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。）

已知：四边形ABCD，点E、F、G、H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

证明：连结AC。

∵E、F分别是AB、BC的中点

∴EF是ABC的中位线

∴EF//AC且EF=AC

同理可得：GH//AC，且GH=AC

∴EFGH

∴四边形EFGH为平行四边形。（板书）

其它解法由学生口述完成。

8．一种引申——课堂因你而让人回味无穷。

问题：

如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”，结论又会怎么样呢？（学生作为作业完成。）

9．一句总结——课堂因你而彰显无穷魅力。

学生总结本节内容：

三角形的中位线和三角形中位线定理。

【板书设计】

三角形的中位线

1．问题

2．三角形中位线定义

3．三角形中位线定理证明