2019年云南省昆明市中考一模数学试卷

这是一份2019年云南省昆明市中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. −3 的相反数是 ．

2. 如图，AB∥CD，射线 CF 交 AB 于 E，∠C=50∘，则 ∠AEF 的度数为 ∘．

3. 使分式 2xx−3 有意义的 x 取值范围为 ．

4. 关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m−1=0 有两个相等的实数根，则 m= ．

5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=6，将 Rt△ABC 绕点 C 顺时针旋转，使斜边 AʹBʹ 过 B 点，则线段 CA 扫过的面积为 （结果保留根号和 π）．

6. 如图，A，B 是反比例函数 y=8x 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标分别是 4 和 8，则 △OAB 的面积是 ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是
A. B.
C. D.

8. 2019 年 3 月 5 日，第十三届全国人民代表大会第二次会议的《政府工作报告》中指出，我国经济运行保持在合理区间．城镇新增就业 13610000 人、调查失业率稳定在 5% 左右的较低水平．数字 13610000 用科学记数法表示为
A. 1.361×104B. 1.361×105C. 1.361×106D. 1.361×107

9. 如图，在 △ABC 中，AB=8，BC=12，AC=10，点 D，E 分别是 BC，CA 的中点．则 △DEC 的周长为
A. 15B. 18C. 20D. 22

10. 在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30 个参赛队的决赛成绩如下表：
比赛成绩/分参赛队个数98643
则这 30 个参赛队决赛成绩的中位数和众数分别是
A. 9.7，9.5B. 9.7，9.9C. 9.6，9.5D. 9.6，9.6

11. 下列运算正确的是
A. 2+3=5B. 2aa2−4+44−a2=2a+2
C. a−32=a2−9D. −2a23=−6a6

12. 如图，在 ⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC=26∘，则 ∠COB 的度数是
A. 52∘B. 64∘C. 48∘D. 42∘

13. 施工队要铺设 1000 米的管道，因在中考期间需停工 2 天，每天要比原计划多施工 30 米才能按时完成任务．设原计划每天施工 x 米，所列方程正确的是
A. 1000x−30−1000x=2B. 1000x−1000x−30=2
C. 1000x−1000x+30=2D. 1000x+30−1000x=2

14. 在平面直角坐标系中，点 A1−1,1 在直线 y=x+b 上，过点 A1 作 A1B1⊥x 轴于点 B1，作等腰直角三角形 A1B1B2（B2 与原点 O 重合），再以 A1B2 为腰作等腰直角三角形 A2A1B2；以 A2B2 为腰作等腰直角三角形 A2B2B3，⋯，按照这样的规律进行下去，那么 A2019 的坐标为
A. 22018−1,22018B. 22018−2,22018
C. 22019−1,22019D. 22019−2,22019

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 计算：20190−−12+−12−1+4sin60∘．

16. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，AB=AD，AE=AC，∠1=∠2．求证：∠D=∠B．

17. 近两年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信，B支付宝，C银行卡，D其他．该小组选取了某一超市一天之内购买者的支付方式进行统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了多少名购买者?
（2）补全条形统计图；“A微信”支付方式所在扇形的圆心角为 度；
（3）若该超市这一天内有 2000 名购买者，请你估计B种支付方式的购买者有多少人?

18. 某水果店 3 月份购进甲种水果 50 千克、乙种水果 80 千克，共花费 1700 元，其中甲种水果以 15 元/千克，乙种水果以 20 元/千克全部售出；4 月份又以同样的价格购进甲种水果 60 千克、乙种水果 40 千克，共花费 1200 元，由于市场不景气，4 月份两种水果均以 3 月份售价的 8 折全部售出．
（1）求甲、乙两种水果的进价每千克分别是多少元?
（2）请计算该水果店 3 月和 4 月甲、乙两种水果总赢利多少元?

19. 如图，可以自由转动的转盘被平均分成了三等分标有数字 −2，3，−1 的扇形区域．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）转动转盘一次，求转出的数字是 3 的概率；
（2）转动转盘两次，设第一次得到的数字为 x，第二次得到的数字为 y，点 M 的坐标为 x,y，请用树状图或列表法求点 M 在反比例函数 y=−6x 的图象上的概率．

20. 如图，线段 AB，DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC 于点 B，DC⊥BC 于点 C，从点 C 测得 A 点的仰角 α 为 60∘，从 D 点测得 A 点的仰角 β 为 30∘．已知乙建筑物高 DC=30 m，求甲建筑物的高 AB．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 为 ⊙O 上一点，CN 为 ⊙O 的切线，OM⊥AB 于点 O，分别交 AC，CN 于 D，M 两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若 ⊙O 的半径为 5，AC=45，求 MC 的长．

22. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点．抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，直线 y=x−3 经过 B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 C 作直线 CO⊥y 轴交抛物线于另一点 D，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，连接 BD，求 tan∠BDE 的值．

23. 如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3 cm，AD=5 cm，折叠纸片使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ，过点 E 作 EF∥AB 交 PQ 于 F，连接 BF．
（1）求证：四边形 BFEP 为菱形；
（2）当点 E 在 AD 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动；
①当点 Q 与点 C 重合时（如图 2），求菱形 BFEP 的边长；
②若限定 P，Q 分别在边 BA，BC 上移动，求 Rt△CED 的内切圆半径的取值范围．
答案
第一部分
1. 3
2. 130
3. x≠3
4. 10
5. 92π
6. 6
第二部分
7. B
8. D
9. A
10. C
11. B
12. A
13. C
14. B
第三部分
15. 原式=1−23−2+23=−1.
16. ∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即 ∠DAE=∠BAC，
在 △DAE 和 △BAC 中，
AD=AB,∠DAE=∠BAC,AE=AC,
∴△DAE≌△BACSAS，
∴∠D=∠B．
17. （1） 56÷28%=200．
答：本次一共调查了 200 名购买者．
（2） 如图所示；
108
（3） 2000×28%=560（人）．
答：B种支付方式的购买者约有 560 人．
18. （1） 设甲种水果的进价每千克 x 元，乙种水果进价每千克 y 元．
由题意得
50x+80y=1700,60x+40y=1200.
解这个方程组得
x=10,y=15.
（2） 50×5+80×5+6015×0.8−10+4020×0.8−15=810（元）．
答：甲种水果的进价每千克 15 元，乙种水果进价每千克 20 元，该水果店 3 月和 4 月甲乙两种水果共赢利 810 元．
19. （1） 转动一次转盘，有 3 种等可能结果，出现数字 3 的情况有一种，
则出现数字是 3 的概率为 13．
（2） 列表如下：
列树状图（略）．
可能出现的结果共有 9 种．并且它们出现的可能性相同．
点 Mx,y 在反比例函数 y=−6x 的图象上有两种可能结果 −2,3，3,−2．
∴P点M在反比例函数图象上=29．
20. 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
由题意，得 ∠ACB=∠α=60∘，∠ADE=β=30∘，
DE=BC，DC=EB=30 m，
∵tan60∘=ABBC，tan30∘=AEDE，
∴ABtan60∘=AEtan30∘，
∴tan30∘AE+EB=tan60∘⋅AE，
∴33⋅AE+33⋅30=3⋅AE，
∴AE=15 m，
∴AB=AE+EB=45 m．
答：甲建筑物的高度 AB 为 45 m．
21. （1） 连接 OC．
∵CN 为 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90∘，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90∘，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC．
（2） 由题意可知 AB=5×2=10，AC=45，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴BC=102−452=25，，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴ODBC=AOAC，即，OD25=545，
可得：OD=2.5，
设 MC=MD=x，
在 Rt△OCM 中，由勾股定理得：x+2.52=x2+52，
解得：x=154，
即 MC=154．
22. （1） ∵ 直线 y=x−3 经过 B，C 两点，易得点 B3,0，C0,−3，
代入抛物线 y=x2+bx+c 中，得：
∴9+3b+c=0,c=−3, 解之得 b=−2,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3
（2） 如图，过点 C 作直线 CD⊥y 轴交抛物线于点 D，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，连接 BD．
∵ 抛物线 y=x2−2x−3 的对称轴为 x=1，点 C 为 0,−3，
∴ 点 D 为 2,−3，从而得 CD=OE=2，DE=3．
∵ 点 B 为 3,0，
∴BE=1．
在 Rt△DEB 中，∠DEB=90∘，tan∠BDE=BEDE=13．
23. （1） ∵ 折叠纸片使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴ 四边形 BFEP 为菱形．
（2） ① ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BC=AD=5 cm，CD=AB=3 cm，∠A=∠D=90∘，
∵ 点 B 与点 E 关于 PQ 对称，
∴CE=BC=5 cm，
在 Rt△CDE 中，DE=CE2−CD2=4 cm，
∴AE=AD−DE=5 cm−4 cm=1 cm，
在 Rt△APE 中，AE=1，AP=3−PB=3−PE，
∴EP2=12+3−EP2，
解得：EP=53 cm，
∴ 菱形 BFEP 的边长为 53 cm．
②当点 Q 与点 C 重合时，如图，
点 E 离 D 最远，
此时 Rt△CED 的内切圆半径最大；
由①知，在 Rt△CED 中 ED=4 cm，CE=5 cm，CD=3 cm；
易得四边形 OMDG 是正方形，
设边长为 r cm，则 EG=EH=4−r，CM=CH=3−r，
∴4−r+3−r=5，
解得 r=1；
当点 P 与点 A 重合时，如图所示：
点 E 离点 D 最近，此时 Rt△CED 的内切圆半径最小；
可知，
在 Rt△CED 中 ED=2 cm，CD=3 cm，则 CE=CD2+ED2=13 cm；
同理得，易得四边形 OMDG 是正方形，
设边长为 r cm，则 EG=EH=2−r，CM=CH=3−r，
∴2−r+3−r=13，
解得 r=5−132 cm；
∴Rt△CED 内切圆半径 r 取值范围为 5−132 cm≤r≤1 cm．