2019年北京市东城区中考数学一模试卷

这是一份2019年北京市东城区中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，小器一容三斛；大器一，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列立体图形中，主视图是圆的是
A. B.
C. D.

2. 2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日在北京延庆举行，会期共 162 天，预计参观人数不少于 16000000 人次，将 16000000 用科学记数法表示应为
A. 16×104B. 1.6×107C. 16×108D. 1.6×108

3. 已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是
A. a>bB. aC. ab>0D. −a>b

4. 如图，将一张矩形纸片折叠，若 ∠1=80∘，则 ∠2 的度数是
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

5. 若一个多边形的每个内角均为 120∘，则该多边形是
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形

6. 如果 a2+3a−2=0，那么代数式 3a2−9+1a+3⋅a−3a2 的值为
A. 1B. 12C. 13D. 14

7. 弹簧原长（不挂重物）15 cm，弹簧总长 Lcm 与重物质量 xkg 的关系如表所示：
弹簧总长 Lcm1617181920重物重量
当重物质量为 5 kg（在弹性限度内）时，弹簧总长 Lcm 是
A. 22.5B. 25C. 27.5D. 30

8. 改革开放 40 年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的 2017 年和 2018 年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．
说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2018 年第二季度与 2017 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2018 年第二季度与 2018 年第一季度相比较．
根据上述信息，下列结论中错误的是
A. 2017 年第二季度环比有所提高B. 2017 年第三季度环比有所提高
C. 2018 年第一季度同比有所提高D. 2018 年第四季度同比有所提高

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ．

10. 有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有 1∼6 这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为 ．

11. 能说明命题“若 a>b，则 ac>bc”是假命题的一个 c 值是 ．

12. 如图，AD 为 △ABC 的外接圆 ⊙O 的直径，若 ∠BAD=50∘，则 ∠ACB= ∘．

13. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何?”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛?设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE=13AD，连接 CE 交 BD 于点 F，则 EFFC 的值是 ．

15. 为方便市民出行，2019 年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如表：
种类一日票二日票三日票五日票七日票单价元/张2030407090
某人需要连续 6 天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为 元．

16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1，A，B，C，D 均落在格点上．
（1）S△BDC:S△BAC= ；
（2）点 P 为 BD 的中点，过点 P 作直线 l∥BC，过点 B 作 BM⊥l 于点 M，过点 C 作 CN⊥l 于点 N，则矩形 BCNM 的面积为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P．
求作：直线 PE，使得 PE∥BC．
作法：如图 2．
①在直线 BC 上取一点 A，连接 PA；
②作 ∠PAC 的平分线 AD；
③以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E；
④作直线 PE．
所以直线 PE 就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AD 平分 ∠PAC，
∴∠PAD=∠CAD．
∵PA=PE，
∴∠PAD= ，
∴∠PEA= ，
∴PE∥BC（ ）（填推理依据）．

18. 计算：12−2sin60∘+−2−20190．

19. 解不等式组：x+21−2x≥−4,1+3x2>x.

20. 若关于 x 的一元二次方程 x2−3x+a−2=0 有实数根．
（1）求 a 的取值范围；
（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

21. 如图，在 △ABC 中，CD 平分 ∠ACB，CD 的垂直平分线分别交 AC，DC，BC 于点 E，F，G，连接 DE，DG．
（1）求证：四边形 DGCE 是菱形；
（2）若 ∠ACB=30∘，∠B=45∘，ED=6，求 BG 的长．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kxk≠0 与双曲线 y=8xx>0 交于点 A2,n．
（1）求 n 及 k 的值；
（2）点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且 △OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标．

23. 如图，AB 与 ⊙O 相切于点 A，P 为 OB 上一点，且 BP=BA，连接 AP 并延长交 ⊙O 于点 C，连接 OC．
（1）求证：OC⊥OB；
（2）若 ⊙O 的半径为 4，AB=3，求 AP 的长．

24. 某年级共有 400 学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取 100 名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．不同交通方式学生人数分布统计图如图 1 所示；
b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图 2 所示（数据分成 6 组：10≤x<20，20≤x<30，30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x≤70）；
c．采用公共交通方式单程所花费时间在 30≤x<40 这一组的是：
3030313132333334353536373839
根据以上信息，回答下列问题．
（1）补全频数分布直方图；
（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 分；
（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有 人，其中单程不少于 60 分钟的有 人．

25. 如图 1 所示，点 E 在弦 AB 所对的优弧上，且 BE 为半圆，C 是 BE 上的动点，连接 CA，CB，已知 AB=4 cm，设 B，C 间的距离为 x cm，点 C 到弦 AB 所在直线的距离为 y1 cm，A，C 两点间的距离为 y2 cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①连接 BE，则 BE 的长约为 cm；
②当以 A，B，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−6mx+9m+1m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B 点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=4，求 m 的值；
（3）已知四个点 C2,2，D2,0，E5,−2，F5,6，若抛物线与线段 CD 和线段 EF 都没有公共点，请直接写出 m 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B，C 重合），连接 DE，点 C 关于直线 DE 的对称点为 Cʹ，连接 ACʹ 并延长交直线 DE 于点 P，F 是 ACʹ 的中点，连接 DF．
（1）求 ∠FDP 的度数；
（2）连接 BP，请用等式表示 AP，BP，DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接 AC，若正方形的边长为 2，请直接写出 △ACCʹ 的面积最大值．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到 x，y 轴的距离中的最大值等于点 Q 到 x，y 轴的距离中的最大值，则称 P，Q 两点为“等距点”，如图中的 P，Q 两点即为“等距点”．
（1）已知点 A 的坐标为 −3,1．
①在点 E0,3，F3,−3，G2,−5 中，点 A 的“等距点”是 ；
②若点 B 在直线 y=x+6 上，且 A，B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为 ；
（2）直线 l:y=kx−3k>0 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D．
①若 T1−1,t1，T24,t2 是直线 l 上的两点，且 T1，T2 为“等距点”，求 k 的值；
②当 k=1 时，半径为 r 的 ⊙O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M，N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】A．圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；
B．圆柱的柱视图是矩形，故B错误；
C．圆台的主视图是梯形，故C错误；
D．球的主视图是圆，故D正确．
2. B【解析】将 16000000 用科学记数法表示应为 1.6×107．
3. D【解析】由数轴可得 −2 ∴a a>b，故选项B错误；
ab<0，故选项C错误；
−a>b，故选项D正确．
4. A【解析】∵a∥b，
∴∠1=∠3=80∘，
由翻折不变性可知：∠2=∠4=12180∘−80∘=50∘．
5. C
【解析】180∘−120∘=60∘，360∘÷60∘=6．
6. B【解析】原式=aa+3a−3⋅a−3a2=1a2+3a.
由 a2+3a−2=0 得到 a2+3a=2，则 原式=12．
7. B【解析】设弹簧总长 Lcm 与重物质量 xkg 的关系式为 L=kx+b，
将 0.5,16，1.0,17 代入，得 0.5k+b=16,k+b=17, 解得 k=2,b=15,
∴L 与 x 之间的函数关系式为 L=2x+15．
当 x=5 时，L=2×5+15=25cm，
故重物为 5 kg 时弹簧总长 L 是 25 cm．
8. C【解析】2017 年第二季度支出 948 元，第一季度支出 859 元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；
2017 年第三季度支出 1113 元，第二季度支出 948 元，所以第三季度比第二季度提高，故B正确；
2018 年第一季度支出 839 元，2017 年第一季度支出 859 元，所以 2018 年第一季度同比有所降低，故C错误；
2018 年第四季度支出 1012 元，2017 年第一季度支出 997 元，所以 2018 年第四季度同比有所提高，故D正确．
第二部分
9. x≥2
【解析】由题意得 x−2≥0，解得 x≥2．
10. 12
【解析】∵ 质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有 3 种情况，
∴ 投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为 36=12．
11. 0（答案不唯一）
【解析】若 a>b，当 c=0 时，ac=bc=0．
12. 40
【解析】连接 BD，如图．
∵AD 为 △ABC 的外接圆 ⊙O 的直径，
∴∠ABD=90∘，
∴∠D=90∘−∠BAD=90∘−50∘=40∘，
∴∠ACB=∠D=40∘．
13. 5x+y=3,x+5y=2
【解析】设大容器的容积为 x 斛，小容器的容积为 y 斛，根据题意得 5x+y=3,x+5y=2.
14. 43
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
设 AD=3a，则 AE=a．
∵DE∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴EFFC=DEBC=4a3a=43．
15. 80
【解析】连续 6 天不限次数乘坐地铁有 5 种方案．
方案①：买一日票 6 张，费用 20×6=120（元）；
方案②：买二日票 3 张：30×3=90（元）；
方案③：买三日票 2 张：40×2=80（元）；
方案④：买一日票 1 张，五日票 1 张：20+70=90（元）；
方案⑤：买七日票 1 张：90 元．
故方案③费用最低：40×2=80（元）．
16. 5:1，152
【解析】（1）由题意得 AC=1，AD=6，CD=5，
∴S△ABD:S△BAC=6:1，
∴S△BDC:S△BAC=5:1；
（2）如图所示：
∵ 点 P 为 BD 的中点，直线 l∥BC，
∴PE 是 △BCD 的中位线，CE=DE=12CD=52，
∵ 四边形 BCNM 是矩形，
∴∠BCN=∠CNE=90∘，
∴∠ACB+∠ECN=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ACB+∠ABC=90∘，BC=AB2+AC2=32+12=10，
∴∠ECN=∠ABC，
∴△CNE∽△BAC，
∴CNAB=CEBC，即 CN3=5210，解得 CN=3104，
∴ 矩形 BCNM 的面积 =BC×CN=10×3104=152．
第三部分
17. （1） 如图所示，直线 PE 即为所求．
（2） ∠PEA；∠CAD；内错角相等两直线平行
18. 12−2sin60∘+−2−20190=23−2×32+2−1=23−3+2−1=3+1.
19.
x+21−2x≥−4, ⋯⋯①1+3x2>x. ⋯⋯②
由 ① 得
x≤2.
由 ② 得
x>−1.
故不等式组的解集为
−120. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−3x+a−2=0 有实数根，
∴Δ≥0，即 −32−4a−2≥0，解得 a≤174．
（2） 由（1）可知 a≤174，
∴a 的最大整数值为 4．
此时方程为 x2−3x+2=0，解得 x=1 或 x=2．
21. （1） ∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=∠DCG，
∵EG 垂直平分 CD，
∴DG=CG，DE=EC，
∴∠DCG=∠GDC，∠ACD=∠EDC，
∴∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC，
∴CE∥DG，DE∥GC，
∴ 四边形 DECG 是平行四边形，且 DE=EC，
∴ 四边形 DGCE 是菱形．
（2） 如图，过点 D 作 DH⊥BC．
∵ 四边形 DGCE 是菱形，
∴DE=DG=6，DG∥EC，
∴∠ACB=∠DGB=30∘，且 DH⊥BC，
∴DH=3，HG=3DH=33，
∵∠B=45∘，DH⊥BC，
∴∠B=∠BDH=45∘，
∴BH=DH=3，
∴BG=BH+HG=3+33．
22. （1） ∵ 点 A2,n 在双曲线 y=8x 上，
∴n=82=4，
∴ 点 A 的坐标为 2,4．
将 A2,4 代入 y=kx，得 4=2k，解得 k=2．
（2） 点 B 的坐标为 0,8，0,25，0,52．
【解析】分三种情况考虑，过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，如图所示．
①当 AB=AO 时，CO=CB1=4，
∴ 点 B1 的坐标为 0,8；
②当 OA=OB 时，
∵ 点 A 的坐标为 2,4，
∴OC=4，AC=2，
∴OA=OC2+AC2=25，
∴OB2=25，
∴ 点 B2 的坐标为 0,25；
③当 BO=BA 时，设 OB3=m，则 CB3=4−m，AB3=m，
在 Rt△ACB3 中，AB32=CB32+AC2，即 m2=4−m2+22，解得 m=52，
∴ 点 B3 的坐标为 0,52．
综上所述，点 B 的坐标为 0,8，0,25，0,52．
23. （1） ∵AB=BP，
∴∠BAP=∠BPA，
∵AB 与 ⊙O 相切于点 A，
∴OA⊥BA，
∴∠BAO=90∘，即 ∠BAP+∠PAO=90∘，
∵OA=OC，
∴∠PAO=∠C，
∵∠BPA=∠CPO，
∴∠C+∠CPO=90∘，
∴∠COP=90∘，即 CO⊥BO．
（2） 如图，作 BD⊥AP 于点 D．
在 Rt△ABO 中，AB=3，OA=4，则 BO=5，OP=2，
在 Rt△CPO 中，PO=2，CO=4，则 CP=25，
∵BA=BP，
∴AD=PD，
由（1）知 ∠COP=90∘，
∵∠BDP=90∘，∠BPD=∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴BPCP=PDPO，即 325=PD2，
∴PD=355，
∴AP=2PD=655．
24. （1） ∵ 选择公共交通的人数为 100×50%=50（人），
∴40≤x<50 的人数为 50−5+17+14+4+2=8（人），
补全直方图如下：
（2） 31
【解析】采用公共交通方式单程所花费时间共 50 个数据，其中位数是第 25，26 个数据的平均数，
∴ 采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是 31+312=31（分）．
（3） 200；8
【解析】估计该年级采用公共交通方式上学共有 400×50%=200（人），
其中单程不少于 60 分钟的有 200×250=8（人）．
25. （1） 由表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值知：BC=3 cm 时，CD=2.85 cm，从点 C 与点 B 重合开始，一直到 BC=4，CD，AC 随着 BC 的增大而增大，则 CD 一直与 AB 的延长线相交，如图 1 所示：
∵CD⊥AB，
∴BD=BC2−CD2=32−2.852≈0.9367cm，
∴AD=AB+BD=4+0.9367=4.9367cm，
∴AC=CD2+AD2=2.852+4.93672≈5.70cm．
补充完整如下表：
（2） 描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，画出函数 y1，y2 的图象如图 2 所示：
（3） 6；6 或 4.47
【解析】① ∵BC=6 cm 时，CD=AC=4.47 cm，即点 C 与点 E 重合，CD 与 AC 重合，BC 为直径，
∴BE=BC=6 cm；
②以 A，B，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：
当 ∠CAB=90∘ 时，AC=CD，即图象 y1 与 y2 的交点，由图象可得 BC=6 cm；
当 ∠CBA=90∘ 时，BC=AD，由圆的对称性与 ∠CAB=90∘ 时对称，AC=6 cm，由图象可得 BC=4.47 cm．
综上所述，BC 的长度约为 6 cm 或 4.47 cm．
26. （1） ∵y=mx2−6mx+9m+1=mx−32+1，
∴ 抛物线的顶点坐标为 3,1．
（2） ∵ 对称轴为直线 x=3，且 AB=4，
∴A1,0，B5,0．
将点 A 的坐标代入抛物线，可得 m=−14．
（3） m<−1 或 m>54．
【解析】如图：
①当 m>0 时，满足 m2−32+1>2,m5−32+1>6, 解得 m>54；
②当 m<0 时，满足 m2−32+1<0,m5−32+1<−2, 解得 m<−1．
综上，m<−1 或 m>54．
27. （1） 由对称得：CD=CʹD，∠CDE=∠CʹDE，
在正方形 ABCD 中，AD=CD，∠ADC=90∘，
∴AD=CʹD，
∵F 是 ACʹ 的中点，
∴DF⊥ACʹ，∠ADF=∠CʹDF，
∴∠FDP=∠FDCʹ+∠EDCʹ=12∠ADC=45∘．
（2） 结论：BP+DP=2AP．
理由是：
如图，作 APʹ⊥AP 交 PD 的延长线于 Pʹ．
∴∠PAPʹ=90∘，
在正方形 ABCD 中，DA=BA，∠BAD=90∘，
∴∠DAPʹ=∠BAP，
由（1）可知 ∠FDP=45∘，
∵∠DFP=90∘，
∴∠APD=45∘，
∴∠Pʹ=45∘，
∴AP=APʹ，
在 △BAP 和 △DAPʹ 中，
∵BA=DA,∠BAP=∠DAPʹ,AP=APʹ,
∴△BAP≌△DAPʹSAS，
∴BP=DPʹ，
∴DP+BP=PPʹ=2AP．
（3） 2−1．
【解析】如图，过 Cʹ 作 CʹG⊥AC 于 G，则 S△ACʹC=12AC⋅CʹG．
Rt△ABC 中，AB=BC=2，
∴AC=22+22=2，即 AC 为定值，
当 CʹG 最大值，△ACʹC 的面积最大，
连接 BD，交 AC 于 O，当 Cʹ 在 BD 上时，CʹG 最大，此时 G 与 O 重合，
∵CD=CʹD=2，OD=12AC=1，
∴CʹG=2−1，
∴S△ACʹC=12AC⋅CʹG=12×22−1=2−1．
28. （1） E，F；−3,3
【解析】① ∵ 点 A−3,1 到 x，y 轴的距离中最大值为 3，
∴ 与 A 点是“等距点”的点是 E，F．
②点 B 在直线 y=x+6 上，当点 B 坐标中到 x，y 轴距离其中至少有一个为 3 的点有 3,9，−3,3，−9,−3，这些点中与 A 符合“等距点”的是 −3,3．
（2） ① ∵T1−1,t1，T24,t2 是直线 l 上的两点，
∴t1=−k−3，t=4k−3．
∵k>0，
∴−k−3=k+3>3，4k−3>−3．
依据“等距点”定义可得：
当 −3<4k−3<4 时，k+3=4，解得 k=1；
当 4k−3≥4 时，k+3=4k−3，解得 k=2．
综上所述，k 的值为 1 或 2．
② 32≤r≤32．
【解析】② ∵k=1，
∴y=x−3 与坐标轴交点 C0,−3，D3,0，线段 CD=32．
N 点在 CD 上，则 N 点到 x，y 轴的距离最大值中最小数为 32，
若半径为 r 的 ⊙O 上存在一点 M 与 N 是“等距点”，
则 r 最小值为 32，r 的最大值为 CD 长度 32．
∴r 的取值范围为 32≤r≤32．