2018年天津市西青区中考二模数学试卷

这是一份2018年天津市西青区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −3−−6 的结果等于
A. 3B. −3C. 9D. 18

2. 2cs30∘ 的值等于
A. 1B. 2C. 3D. 2

3. 下列图形中，属于中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130000000 kg 的煤所产生的能量，把 130000000 kg 用科学记数法可表示为
A. 13×107 kgB. 0.13×108 kgC. 1.3×107 kgD. 1.3×108 kg

5. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 比较 4，17，363 的大小，正确的是
A. 4<17<363B. 4<363<17C. 363<4<17D. 17<363<4

7. 计算 3x−12−3xx−12 的结果为
A. 31−xB. 3x−1C. 31−x2D. 3x−12

8. 二元一次方程组 x+y=6,x−3y=−2 的解是
A. x=5,y=1B. x=−5,y=−1C. x=4,y=2D. x=−4,y=−2

9. 如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 B 落在 AB 边上点 Bʹ 处，此时，点 A 的对应点 Aʹ 恰好落在 BC 边的延长线上．下列结论错误的是
A. ∠BCBʹ=∠ACAʹB. ∠ACB=2∠B
C. ∠BʹCA=∠BʹACD. BʹC 平分 ∠BBʹAʹ

10. a，b 是实数，点 A2,a，B3,b 在反比例函数 y=−2x 的图象上，则
A. a
11. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为
A. 4B. 5C. 6D. 7

12. 已知抛物线 y=x2−2mx−4m>0 的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 Mʹ，若点 Mʹ 在这条抛物线上，则点 M 的坐标为
A. 1,−5B. 3,−13C. 2,−8D. 4,−20

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 a32÷a23 的结果等于 ．

14. 计算 25−22 的结果等于 ．

15. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于 8 且为偶数”的概率是 ．

16. 将直线 y=x+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，点 A−1,2 关于 y 轴的对称点落在平移后的直线上，则 b 的值为 ．

17. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，E 是 BC 的中点，AE⊥BD 于点 F，则 CF 的长是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 O，A，B，M 均在格点上，P 为线段 OM 上的一个动点．
（1）OM 的长等于 ；
（2）当点 P 在线段 OM 上运动，且使 PA2+PB2 取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点 P 的位置，并简要说明你是怎么画的．

19. 解不等式组 3x−15<−2x, ⋯⋯①4x+35≥−1. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为 名，图①中 m 的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计数据，估计该地区 250000 名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于 1.5 h 的人数．

21. 已知 OA，OB 是 ⊙O 的半径，且 OA⊥OB，垂足为 O，P 是射线 OA 上的一点（点 A 除外），直线 BP 交 ⊙O 于点 Q，过 Q 作 ⊙O 的切线交射线 OA 于点 E．
（1）如图①，点 P 在线段 OA 上，若 ∠OBQ=15∘，求 ∠AQE 的大小；
（2）如图②，点 P 在 OA 的延长线上，若 ∠OBQ=65∘，求 ∠AQE 的大小．

22. 如图，一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5 km 的地面 O 处发射，当火箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰角分别为 34∘，45∘，其中点 O，A，B 在同一条直线上．求 AC 和 AB 的长．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34∘≈0.56；cs34∘≈0.83；tan34∘≈0.67．）

23. A，B两地相距 20 km．甲、乙两人都由A地去B地，甲骑自行车，平均速度为 10 km/h；乙乘汽车，平均速度为 40 km/h，且比甲晚 1.5 h 出发．设甲的骑行时间为 xh0≤x≤2．
（1）根据题意，填写下表：
（2）设甲，乙两人与A地的距离分别为 y1km 和 y2km，写出 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）设甲，乙两人之间的距离为 y，当 y=12 时，求 x 的值．

24. 已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A11,0，点 B0,6，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B，C 重合），经过点 O，P 折叠该纸片，得点 Bʹ 和折痕 OP．设 BP=t．
（1）如图①，当 ∠BOP=30∘ 时，求点 P 的坐标；
（2）如图②，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PBʹ 上，得点 Cʹ 和折痕 PQ，若 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；
（3）在（Ⅱ）的条件下，当点 Cʹ 恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 抛物线 y=−3x2+bx+c（b，c 均是常数）经过点 O0,0，A4,43，与 x 轴的另一交点为点 B，且抛物线对称轴与线段 OA 交于点 P．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）过点 P 作 x 轴的平行线 l，若点 Q 是直线 l 上的动点，连接 QB．
①若点 O 关于直线 QB 的对称点为点 C，当点 C 恰好在直线 l 上时，求点 Q 的坐标；
②若点 O 关于直线 QB 的对称点为点 D，当线段 AD 的长最短时，求点 Q 的坐标（直接写出答案即可）．
答案
第一部分
1. A【解析】原式=−3+6=3．
2. C
3. B
4. D【解析】本题考查科学记数法—表示较大的数．
130000000 kg=1.3×108 kg．
5. D
6. C【解析】∵364=4，
∴363<364，
∵16<17，
∴17>4，
∴363<4<17．
7. A【解析】原式=3−3xx−12=31−xx−12=−3x−1=31−x.
8. C
9. C
10. A
【解析】∵y=−2x，
∴ 反比例函数 y=−2x 的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵ 点 A2,a，B3,b 在反比例函数 y=−2x 的图象上，
∴a11. B【解析】如图所示，过点 C 作 CO⊥AB 于 O，延长 CO 到 Cʹ，使 OCʹ=OC，连接 DCʹ，交 AB 于 Pʹ，连接 CPʹ．
此时 DP+CP=DPʹ+PʹCʹ=DCʹ 的值最小．
∵BD=3，DC=1，
∴BC=4，
连接 BCʹ，由对称性可知 ∠CʹBA=∠CBA=45∘，
∴∠CBCʹ=90∘，
∴BCʹ⊥BC，∠BCCʹ=∠BCʹC=45∘，
∴BC=BCʹ=4，
根据勾股定理可得 DCʹ=BCʹ2+BD2=32+42=5．
12. C【解析】y=x2−2mx−4=x2−2mx+m2−m2−4=x−m2−m2−4.
∴Mm,−m2−4．
∵ 点 M 和点 Mʹ 关于原点对称，
∴Mʹ−m,m2+4，
∴m2+2m2−4=m2+4．
解得 m=±2．
∵m>0，
∴m=2．
∴M2,−8．
第二部分
13. 1
【解析】原式=a6÷a6=1.
14. 22−410
【解析】原式=20−410+2=22−410.
15. 14
16. 4
【解析】将直线 y=x+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，得直线 y=x+b−3．
∵ 点 A−1,2 关于 y 轴的对称点是点 1,2，
∴ 把点 1,2 代入 y=x+b−3，得 1+b−3=2，
解得 b=4．
17. 2
【解析】方法 1 、
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90∘，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90∘，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△DAB，
∴ADBA=ABBE，
∵E 是 BC 的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE=AB2+BE2=3，BD=BC2+CD2=6，
∴BF=AB⋅BEAE=63，
过 F 作 FG⊥BC 于 G，如图 1，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴FGCD=BFBD=BGBC，
∴FG=23，BG=23，
∴CG=43，
∴CF=FG2+CG2=2．
方法 2 、
如图 2，过点 C 作 CG⊥BD，
∵AE⊥BD，
∴∠BFE=∠CGD=90∘，
∴EF∥CG，
∵ 点 E 是 BC 中点，
∴BF=FG，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=2，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDG，
在 △ABF 和 △CDG 中，
∠ABF=∠CDG,∠AFB=∠CGD,AB=CD,
∴△ABF≌△CDG，
∴DG=BF=FG，
∴CF=CD=2．
第三部分
18. （1） 42
【解析】OM=42+42=42．
（2） 如图，以点 O 为原点建立直角坐标系，
则 A1,0，B4,0，设 Pa,a0≤a≤4，
∵PA2=a−12+a2，PB2=a−42+a2，
∴PA2+PB2=4a−542+434，
∵0≤a≤4，
∴ 当 a=54 时，PA2+PB2 取得最小值 434，
综上，需作出点 P 满足线段 OP 的长 =524；
取格点 F，E，连接 EF，得到点 N，取格点 S，T，连接 ST，得到点 R，连接 NR 交 OM 于 P，
则点 P 即为所求．
19. （1） x<3
（2） x≥−2
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4） −2≤x<3
20. （1） 250；12
【解析】本次接受随机抽样调查的中学生人数为 60÷24%=250（名），
m=100−24+48+8+8=12．
（2） 平均数为 0.5×30+1×60+1.5×120+2×20+2.5×20250=1.38，众数为 1.5，中位数为 1.5+1.52=1.5．
（3） 估计每天在校体育锻炼时间大于等于 1.5 h 的人数约为 250000×120+20+20250=160000（名）．
21. （1） 如图①中，连接 OQ．
∵EQ 是切线，
∴OQ⊥EQ，
∴∠OQE=90∘，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90∘，
∴∠AQB=12∠AOB=45∘，
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB=15∘，
∴∠AQE=90∘−15∘−45∘=30∘．
（2） 如图②中，连接 OQ．
∵OB=OQ，
∴∠B=∠OQB=65∘，
∴∠BOQ=50∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠AOQ=40∘，
∵OQ=OA，
∴∠OQA=∠OAQ=70∘，
∵EQ 是切线，
∴∠OQE=90∘，
∴∠AQE=90∘−70∘=20∘．
22. 由题意可得：∠AOC=90∘，OC=5 km．
在 Rt△AOC 中，
∵AC=OCcs34∘，
∴AC≈50.83≈6.0km，
∵tan34∘=OAOC，
∴OA=OC⋅tan34∘≈5×0.67=3.35km，
在 Rt△BOC 中，∠BCO=45∘，
∴OB=OC=5 km，
∴AB=5−3.35=1.65km≈1.7km．
答：AC 的长为 6.0 km，AB 的长为 1.7 km．
23. （1） 由题意知：甲、乙二人平均速度分别为 10 km/h 和 40 km/h，且乙比甲晚 1.5 h 出发．
当 x=1.8 时，甲离开A地的距离是 10×1.8=18km，
当甲离开A地的距离是 20 km 时，甲的行驶时间是 20÷10=2h，
此时乙行驶的时间是 2−1.5=0.5h，
∴ 乙离开A地的距离是 40×0.5=20km．
故填写下表：
（2） 由题意知：y1=10x0≤x≤2，y2=0,0≤x≤1.540x−60,1.5 （3） 根据题意，得 y=10x,0≤x≤1.5−30x+60,1.5当 0≤x≤1.5 时，由 10x=12，得 x=1.2，
当 1.5因此，当 y=12 时，x 的值是 1.2 或 1.6．
24. （1） 根据题意，∠OBP=90∘，OB=6，
在 Rt△OBP 中，由 ∠BOP=30∘，BP=t，得 OP=2t．
∵OP2=OB2+BP2，即 2t2=62+t2，
解得：t1=23，t2=−23（舍去）．
∴ 点 P 的坐标为 23,6．
（2） ∵△OBʹP，△QCʹP 分别是由 △OBP，△QCP 折叠得到的，
∴△OBʹP≌△OBP，△QCʹP≌△QCP，
∴∠OPBʹ=∠OPB，∠QPCʹ=∠QPC，
∵∠OPBʹ+∠OPB+∠QPCʹ+∠QPC=180∘，
∴∠OPB+∠QPC=90∘，
∵∠BOP+∠OPB=90∘，
∴∠BOP=∠CPQ．
又 ∵∠OBP=∠C=90∘，
∴△OBP∽△PCQ，
∴OBPC=BPCQ，
由题意可知 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，
则 PC=11−t，CQ=6−m．
∴611−t=t6−m．
∴m=16t2−116t+60 （3） 点 P 的坐标为 11−133,6 或 11+133,6．
【解析】解法一：
过点 P 作 PE⊥OA 于 E，如图所示．
∴∠PEA=∠QACʹ=90∘，
∴∠PCʹE+∠EPCʹ=90∘，
∵∠PCʹE+∠QCʹA=90∘，
∴∠EPCʹ=∠QCʹA，
∴△PCʹE∽△CʹQA，
∴PEACʹ=PCʹCʹQ，
∵PCʹ=PC=11−t，PE=OB=6，AQ=m，CʹQ=CQ=6−m，
∴ACʹ=CʹQ2−AQ2=36−12m，
∴636−12m=11−t6−m，
∴36123−m=11−t6−m2，
∴36−m2=3−m11−t2，
∵m=16t2−116t+6，
∴3−16t2+116t2=3−16t2+116t−611−t2，
∴112t211−t2=−16t2+116t−311−t2，
∴112t2=−16t2+116t−3，
∴3t2−22t+36=0，解得：t1=11−133，t2=11+133，
可知点 P 的坐标为 11−133,6 或 11+133,6．
解法二：
∵∠BPO=∠OPCʹ=∠POCʹ，
∴OCʹ=PCʹ=PC=11−t，
过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，
则 PE=BO=6，OE=BP=t，
∴ECʹ=11−2t，
在 Rt△PECʹ 中，PE2+ECʹ2=PCʹ2，
即 11−t2=62+11−2t2，解得：t3=11−133，t4=11+133．
即点 P 的坐标为 11−133,6 或 11+133,6．
25. （1） 把 O0,0，A4,43 的坐标代入 y=−3x2+bx+c，
得 c=0,−163+4b+c=43,
解得 b=53,c=0,
∴ 抛物线的解析式为 y=−3x2+53x=−3x−522+2534，
∴ 抛物线的顶点坐标为 52,2534．
（2） ①由题意可知：B5,0，A4,43，
设直线 OA 的解析式为 y=kx，把 A4,43 代入，得 k=3，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=3x，AB=12+432=7，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=52，
∴P52,532．
如图 1 中，
点 O 关于直线 BQ 的对称点为点 C，当点 C 恰好在直线 l 上时，
∵QC∥OB，
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，
∴CQ=BC=OB=5，
∴ 四边形 BOQC 是平行四边形，
∵BO=BC，
∴ 四边形 BOQC 是菱形，
设 Qm,532，
∴OQ=OB=5，
∴m2+5322=52，
∴m1=52，m2=−52，
∴ 点 Q 坐标为 −52,532 或 52,532；
② Q0,532．
【解析】②如图 2 中，
由题意可知，点 D 在以 B 为圆心 5 为半径的 ⊙B 上运动，当 A，D，B 共线时，线段 AD 最小，设 OD 与 BQ 交于点 H．
∵AB=7，BD=5，
∴AD=2，D307,2037，
∵OH=HD，
∴H157,1037，
设直线 BH 的解析式为 y=k1x+b，
把 B5,0，H157,1037 代入，得 0=5k1+b,1037=157k1+b,
解得 k1=−32,b=532,
∴ 直线 BH 的解析式为 y=−32x+532，
当 y=532 时，x=0，
∴Q0,532．