2018年山东省青岛市中考数学全真模拟试卷(A 卷)
展开一、选择题(共8小题;共40分)
1. ∣−3∣ 的相反数是
A. 3B. −3C. 13D. −13
2. 如图是几何体的三视图,该几何体是
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 三棱锥
3. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
4. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90∘,E 为 AB 上一点,分别以 ED,EC 为折痕将两个角( ∠A,∠B )向内折起,点 A,B 恰好落在 CD 边的点 F 处.若 AD=3,BC=5,则 EF 的值是
A. 15B. 215C. 17D. 217
5. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的 ⊙P 的圆心 P 的坐标为 −3,0,将 ⊙P 沿 x 轴正方向平移,使 ⊙P 与 y 轴相切,则平移的距离为
A. 1B. 1 或 5C. 3D. 5
6. 将一张宽为 5 cm 的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是
A. 1033 cm2B. 252 cm2C. 25 cm2D. 2533 cm2
7. 为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”.张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间的道路改造.下面能反映该工程尚未改造的道路里程 y(公里)与时间 x(天)的函数关系的大致图象是
A. B.
C. D.
8. 如图,直线 y=−x+m 与 y=x+4 的交点的横坐标是 −2,则关于 x 的不等式 −x+m>x+4>0 的整数解为
A. −1B. −5C. −4D. −3
二、填空题(共6小题;共30分)
9. 2a23−6a5÷a2= .
10. 为了了解某班学生每天使用零花钱数(单位:元)的情况,小王随机调查了 15 名同学,结果如下表:
每天使用零花钱数12356人数25431
则这 15 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是 .
11. 已知一个圆锥的侧面积是 2π cm2,它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的高为 cm(结果保留根号).
12. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 0,6,将 △OAB 沿 x 轴向左平移得到 △OʹAʹBʹ,点 A 的对应点 Aʹ 落在直线 y=−34x 上,则点 B 与其对应点 Bʹ 间的距离为 .
13. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB,F 是 AD 的中点,作 CE⊥AB,垂足 E 在线段 AB 上,连接 EF,CF,则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
① ∠DCF=12∠BCD;② EF=CF;③ S△BEC=2S△CEF;④ ∠DFE=3∠AEF.
14. 如图,在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中,作内接正方形 A1B1D1C1;在等腰直角三角形 OA1B1 中作内接正方形 A2B2D2C2;在等腰直角三角形 OA2B2 中作内接正方形 A3B3D3C3;⋯;依次做下去,则第 n 个正方形 AnBnDnCn 的边长是 .
三、解答题(共10小题;共130分)
15. 已知:线段 a,直线 l 及 l 外一点 A.
求作:等腰三角形 ABC,使底边 BC 在 l 上,且 BC=a.
16. (1)解方程组:x+2y=1,3x−2y=11.
(2)先化简,再求值:6x2−9÷1x+3,其中 x 的值为方程 2x=3x−1 的解.
17. 某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如图的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题.
(说明:A级:90 分 ∼100 分;B级:75 分 ∼89 分;C级:60 分 ∼74 分;D级:60 分以下)
(1)扇形统计图中C等级所在的扇形圆心角的度数为 ;
(2)该班学生体育测试成绩的中位数落在 等级内;
(3)若该校九年级学生共有 500 人,请你估计这次考试中获得A级和B级的学生共有多少人?
18. 如图所示,可以自由转动的转盘被 3 等分,指针落在每个扇形内的机会均等.
(1)现随机转动转盘一次,停止后,指针指向 1 的概率为 ;
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则,你认为对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.
19. 钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土.为维护国家主权和海洋权利,我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A,B,B 船在 A 船的正东方向,且两船保持 20 海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向,B 的北偏东 15∘ 方向有一我国渔政执法船 C,求此时船 C 与船 B 的距离是多少.(结果保留根号)
20. 兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用 4950 元购进第二批该款式 T 恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了 9 元.
(1)第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元?
(2)老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫,当第二批 T 恤衫售出 45 时,出现了滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于 650 元,剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元?(利润 = 售价 − 进价)
21. 如图,已知 △ABC,按如下步骤作图:
① 分别以 A,C 为圆心,大于 12AC 的长为半径画弧,两弧交于 P,Q 两点;
② 作直线 PQ,分别交 AB,AC 于点 E,D,连接 CE;
③ 过 C 作 CF∥AB 交 PQ 于点 F,连接 AF.
(1)求证:△AED≌△CFD;
(2)求证:四边形 AECF 是菱形.
22. 如图 1 是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是 1 m,拱桥的跨度为 10 m,桥洞与水面的最大距离是 5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图 2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
23. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:如图 1,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的中点,点 F 是线段 AE 上一点,BF 的延长线交射线 CD 于点 G,若 AFEF=3,求 CDCG 的值.
(1)尝试探究:
在图 1 中,过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H,则 AB 和 EH 的数量关系是 ,CG 和 EH 的数量关系是 ,CDCG 的值是 ;
(2)类比延伸:
如图 2,在原题的条件下,若 AFEF=m(m≠0),则 CDCG 的值是 (用含 m 的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移:
如图 3,梯形 ABCD 中,DC∥AB,点 E 是 BC 延长线上一点,AE 和 BD 相交于点 F,若 ABCD=a,BCBE=b(a>0,b>0),则 AFEF 的值是 (用含 a,b 的代数式表示).
24. 已知:如图,△ABC 是边长 3 cm 的等边三角形,动点 P,Q 同时从 A,B 两点出发,分别沿 AB,BC 方向匀速移动,它们的速度都是 1 cm/s,当点 P 到达点 B 时,P,Q 两点停止运动.设点 P 的运动时间为 t(s),解答下列问题:
(1)当 t 为何值时,△PBQ 是直角三角形?
(2)设四边形 APQC 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 的关系式;是否存在某一时刻 t,使四边形 APQC 的面积是 △ABC 面积的三分之二?如果存在,求出相应的 t 值;不存在,说明理由.
(3)设 PQ 的长为 x(cm),试确定 y 与 x 之间的关系式.
答案
第一部分
1. B【解析】∣−3∣=3,3 的相反数是 −3.
2. C【解析】该几何体的左视图为矩形,俯视图亦为矩形,主视图是一个三角形,则可得出该几何体为三棱柱.
3. C【解析】第一个是中心对称图形,也是轴对称图形;
第二个不是中心对称图形,是轴对称图形;
第三个不是中心对称图形,是轴对称图形;
第四个既是中心对称图形又是轴对称图形.
综上可得,共有 2 个符合题意.
4. A【解析】∵ 分别以 ED,EC 为折痕将两个角( ∠A,∠B )向内折起,点 A,B 恰好落在 CD 边的点 F 处,
∴ EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,
∴ AB=2EF,DC=DF+CF=8,
作 DH⊥BC 于点 H .
∵ AD∥BC,∠B=90∘,
∴ 四边形 ABHD 为矩形,
∴ DH=AB=2EF,HC=BC−BH=BC−AD=5−3=2,
在 Rt△DHC 中,DH=DC2−HC2=215,
∴ EF=12DH=15.
5. B
【解析】当 ⊙P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时,平移的距离为 1;
当 ⊙P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时,平移的距离为 5.
6. B【解析】如图,
当 AC⊥AB 时,三角形面积最小,
∵∠BAC=90∘,∠ACB=45∘,
∴AB=AC=5 cm,
∴S△ABC=12×5×5=252cm2.
7. D【解析】∵ y 随 x 的增大而减小,
∴ 选项A错误;
∵ 施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,
∴ 选项B错误;
∵ 施工队随后加快了施工进度,
∴ y 随 x 的增大减小得比开始的快,
∴ 选项C错误;选项D正确.
8. D【解析】在 y=x+4 中,令 y=0,则 x+4=0,解得 x=−4,
则 y=x+4 与 x 轴的交点坐标是 −4,0,
根据图象可得关于不等式 −x+m>x+4>0 的 x 的范围是 −4
第二部分
9. 8a6−6a3
10. 2,3
【解析】零花钱数出现的次数最多的是 2,因而众数是 2;
15 个数据按从小到大排列处于中间位置的是第 8 位,是 3,因而中位数是 3.
11. 3
【解析】设圆锥的母线长为 R cm,π×R2÷2=2π,解得:R=2,
∴ 圆锥侧面展开图的弧长为:2π cm,
∴ 圆锥的底面圆半径是 2π÷2π=1cm,
∴ 圆锥的高为 3 cm.
12. 8
【解析】由题意可知,点 A 移动到点 Aʹ 位置时,纵坐标不变,
∴ 点 Aʹ 的纵坐标为 6,
−34x=6,解得 x=−8,
∴△OAB 沿 x 轴向左平移得到 △OʹAʹBʹ 位置,移动了 8 个单位,
∴ 点 B 与其对应点 Bʹ 间的距离为 8.
13. ①②④
【解析】① ∵F 是 AD 的中点,
∴AF=FD,
∵ 在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=12∠BCD,故此选项正确;
②如图,延长 EF,交 CD 延长线于点 M,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDF,
∵F 为 AD 中点,
∴AF=FD,
在 △AEF 和 △DMF 中,
∠A=∠FDM,AF=DF,∠AFE=∠DFM,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=FM,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90∘,
∴∠AEC=∠ECD=90∘,
∵FM=EF,
∴FC=FM,故②正确;
③ ∵ 由②知,EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM,
∵MC>BE,
∴S△BEC≤2S△EFC,
故 S△BEC=2S△CEF 错误;
④设 ∠FEC=x∘,则 ∠FCE=x∘,
∴∠DCF=∠DFC=90∘−x∘,
∴∠EFC=180∘−2x∘,
∴∠EFD=90∘−x∘+180∘−2x∘=270∘−3x∘,
∵∠AEF=90∘−x∘,
∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确.
14. 13n
【解析】过 O 作 OM⊥AB,交 AB 于点 M,交 A1B1 于点 N,如图所示:
∵A1B1∥AB,
∴ON⊥A1B1,
∵△OAB 为斜边为 1 的等腰直角三角形,
∴OM=12AB=12,
又 ∵△OA1B1 为等腰直角三角形,
∴ON=12A1B1=12MN,
∴ON:OM=1:3,
∴ 第 1 个正方形的边长 A1C1=MN=23OM=23×12=13,
同理第 2 个正方形的边长 A2C2=23ON=23×16=132,
则第 n 个正方形 AnBnDnCn 的边长为:13n.
第三部分
15. 如图,△ABC 为所作.
先作线段 a 的垂直平分线,再过点 A 作 l 的垂线 AO,O 点为垂足,然后以点 O 为圆心,12a 为半径画弧交 l 于 B,C 两点,则 △ABC 满足条件.
16. (1)
x+2y=1, ⋯⋯①3x−2y=11. ⋯⋯②①+②
,得:
4x=12.
解得:
x=3.
将 x=3 代入 ①,得:
3+2y=1.
解得:
y=−1.
则方程组的解为
x=3,y=−1.
(2) 原式=6x+3x−3⋅x+3=6x−3,
解方程 2x=3x−1 得 x=1,
∴原式=61−3=−3.
17. (1) 72∘
【解析】扇形统计图中C等级所在的扇形圆心角的度数为:360∘×1013+25+10+2=72∘.
(2) B
【解析】九年级(1)班学生一共有:13+25+10+2=50 人,
∴ 该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内.
(3) 500×13+2550=380(人).
答:这次考试中获得A级和B级的学生共有 380 人.
18. (1) 13
【解析】根据题意得:随机转动转盘一次,停止后,指针指向 1 的概率为 13;
(2) 列表得:
12311,12,13,121,22,23,231,32,33,3
所有等可能的情况有 9 种,其中两数之积为偶数的情况有 5 种,两数之积为奇数的情况有 4 种,
∴ P小明获胜=59,P小华获胜=49,
∵ 59>49,
∴ 该游戏不公平.(解法不唯一)
19. 过点 B 作 BD⊥AC 于点 D.
由题意可知 ∠BAC=45∘,∠ABC=90∘+15∘=105∘,
所以 ∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=30∘,
在 Rt△ABD 中,BD=AB⋅sin∠BAD=20×22=102(海里),
在 Rt△BCD 中,BC=BDsin∠BCD=10212=202(海里).
答:此时船 C 与船 B 的距离是 202 海里.
20. (1) 设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元.由题意,得
4500x=4950x+9.
解得
x=90.
经检验 x=90 是分式方程的解,符合题意.
答:第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元;
(2) 设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元.
由(1)知,第二批购进 495099=50 (件).
由题意,得 120×50×45+y×50×15−4950≥650 .
解得 y≥80.
答:剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元.
21. (1) 由作图知:PQ 为线段 AC 的垂直平分线,
∴ AE=CE,AD=CD,
∵ CF∥AB,
∴ ∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED.
在 △AED 与 △CFD 中,
∠EAC=∠FCA,AD=CD,∠CFD=∠AED,
∴ △AED≌△CFD.
(2) ∵ △AED≌△CFD,
∴ ED=FD.
∵ EF 为线段 AC 的垂直平分线,
∴ AC 和 EF 互相垂直平分,
∴ 四边形 AECF 为菱形.
22. (1) 抛物线的顶点坐标为 5,5,与 y 轴交点坐标是 0,1,
设抛物线的解析式是 y=ax−52+5,
把 0,1 代入 y=ax−52+5,
得 a=−425.
∴ 抛物线的解析式为:y=−425x−52+50≤x≤10.
(2) 由已知得两景观灯的纵坐标都是 4,
∴4=−425x−52+5,
∴425x−52=1,
∴x1=152,x2=52.
∴ 两景观灯间的距离为 152−52=5(米).
23. (1) AB=3EH;CG=2EH;32
【解析】依题意,过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H,如图 4 所示.
则有 △ABF∽△EHF,
∴ABEH=AFEF=3,
∴AB=3EH.
∵ 平行四边形 ABCD,EH∥AB,
∴EH∥CD,
又 ∵E 为 BC 中点,
∴EH 为 △BCG 的中位线,
∴CG=2EH.
∴CDCG=ABCG=3EH2EH=32.
(2) 如图 5 所示,作 EH∥AB 交 BG 于点 H,
则 △EFH∽△AFB,
∴ABEH=AFEF=m,
∴AB=mEH.
∵AB=CD,
∴CD=mEH.
∵EH∥AB∥CD,
∴△BEH∽△BCG.
∴CGEH=BCBE=2,
∴CG=2EH,
∴CDCG=mEH2EH=m2;
(3) ab
【解析】如图 6 所示,过点 E 作 EH∥AB 交 BD 的延长线于点 H,
则有 EH∥AB∥CD.
∵EH∥CD,
∴△BCD∽△BEH,
∴CDEH=BCBE=b,
∴CD=bEH.
∵ABCD=a,
∴AB=aCD=abEH,
∵EH∥AB,
∴△ABF∽△EHF,
∴AFEF=ABEH=abEHEH=ab.
24. (1) 根据题意得 AP=t cm,BQ=t cm,
△ABC 中,AB=BC=3 cm,∠B=60∘,
∴BP=3−tcm,
△PBQ 中,BP=3−t,BQ=t,若 △PBQ 是直角三角形,
则 ∠BQP=90∘ 或 ∠BPQ=90∘,
当 ∠BQP=90∘ 时,BQ=12BP,
即 t=123−t,t=1(秒),
当 ∠BPQ=90∘ 时,BP=12BQ,
3−t=12t,t=2(秒),
答:当 t=1 秒或 t=2 秒时,△PBQ 是直角三角形.
(2) 如图,过 P 作 PM⊥BC 于 M,
△BPM 中,sin∠B=PMPB,
∴PM=PB⋅sin∠B=323−t,
∴S△PBQ=12BQ⋅PM=12⋅t×323−t,
∴y=S△ABC−S△PBQ=12×3×3×32−12⋅t×323−t=34t2−334t+934.
∴y 与 t 的关系式为 y=34t2−334t+934,
假设存在某一时刻 t,使得四边形 APQC 的面积是 △ABC 面积的 23,
则 S四边形APQC=23S△ABC,
∴34t2−334t+934=23×12×32×32,
∴t2−3t+3=0,
∵−32−4×1×3<0,
∴ 方程无解,
∴ 无论 t 取何值,四边形 APQC 的面积都不可能是 △ABC 面积的 23.
(3) 在 Rt△PQM 中,
∵MQ=∣BM−BQ∣=∣321−t∣,
MQ2+PM2=PQ2,
∴x2=321−t2+323−t2=94t2−2t+1+349−6t+t2=344t2−12t+12=3t2−9t+9.
∴t2−3t=13x2−9,
∵y=34t2−334t+934,
∴y=34t2−334t+934=34×13x2−9+934=312x2+332.
∴y 与 x 的关系式为 y=312x2+332.
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