2018年广东省深圳市龙华区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年广东省深圳市龙华区中考二模数学试卷（期中），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如果赚 120 万元记作 +120 万元，那么亏 100 万元记作
A. +100 万元B. −100 元C. ±100 万元D. ±10 万元

2. 3 月 22 日，美国宣布将对约 600 亿美元进口自中国的商品加征关税，中国商务部随即公布拟对约 30 亿美元自美进口商品加征关税，并表示，中国不希望打贸易战，但绝不惧怕贸易战，有信心，有能力应对任何挑战．将数据 30 亿用科学记数法表示为
A. 3×109B. 3×108C. 30×108D. 0.3×1010

3. 下列运算中正确的是
A. 2a3+a3=3a6B. x23=x5
C. 6xy3÷−2xy2=−3yD. x−y2=x2−y2

4. 下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，已知 a∥b，小明把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若 ∠1=30∘，则 ∠2 的度数为
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘

6. 如图是由 4 个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是
A. B.
C. D.

7. 在一个不透明的袋子中装有黄球 1 个、白球 2 个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是
A. 112B. 16C. 14D. 13

8. 如图，已知锐角三角形 ABC，以点 A 为圆心，AC 为半径画弧与 BC 交于点 E，分别以点 E，C 为圆心，以大于 12EC 的长为半径画弧相交于点 P，作射线 AP，交 BC 于点 D．若 BC=5，AD=4，tan∠BAD=34，则 AC 的长为
A. 3B. 5C. 5D. 25

9. 下列命题中：
①方程 x2+2x+3=0 有两个不相等的实数根；
②不等式 2x−13<1 的最大整数解是 2；
③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形；
④直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则它的外接圆的半径为 4.8．
其中是真命题的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 阅读理解：设 a=x1,y1，b=x2,y2，若 a⊥b，则 a⋅b=0，即 x1⋅x2+y1⋅y2=0．已知 a=−2,x+1，b=3,x+2，且 a⊥b，则 x 的值为
A. ±2B. 1 或 −4C. −1 或 4D. 1

11. 如图，已知函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于 Ax1,0 及 Bx2,0 两点，与 y 轴交于点 C0,3.5，对称轴为直线 x=2，且 −2A. 4a+b=0
B. b2−4ac>0
C. 方程 ax2+bx+c=3 有两个不相等的实数根
D. 6
12. 如图，已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，动点 P 从点 B 出发，沿 BC 向终点 C 运动，点 P 可以与点 B 、点 C 重合，连接 PD，将 △PCD 沿直线 PD 折叠，设折叠后点 C 的对应点为点 E，连接 AE 并延长交 BC 于点 F，连接 BE，则下列结论中：
① 当 ∠PDC=15∘ 时，△ADE 为等边三角形；
② 当 ∠PDC=15∘ 时，F 为 BC 的中点；
③ 当 PB=2PC 时，BE⊥AF；
④ 当点 P 从点 B 运动到点 C 时，点 E 所走过的路径的长为 32π．
其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：4x2−16= ．

14. 一组数据 2，4，x，2，4，3，5 的众数是 2，则这组数据的中位数为 ．

15. 如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔 C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公路从南向北匀速行驶，上午 9:00 他行驶到 A 点时，测得塔 C 在北偏西 37∘ 方向，上午 9:11 行驶到 B 点时，测得塔 C 在南偏西 63.5∘ 方向，若汽车行驶的速度为 90 km/h，则在行驶的过程中，汽车离塔 C 的最近距离约是 km．
（sin37∘≈35，tan37∘≈34，sin63.5∘≈910，tan63.5∘≈2）

16. 如图，已知直线 y=−2x+5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 △AOB 沿直线 AB 翻折后，设点 O 的对应点为点 C，双曲线 y=kxx>0 经过点 C，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：13−2+∣3−2∣−π−3.140+2cs30∘．

18. 解方程：1−2xx−2+1=12−x．

19. 龙华区某学校开展“四点半课堂”，计划开设以下课外活动项目：A．版画、B．机器人、C．航模、D．园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选其中一个项目），并将调查结果绘制成了如图 1，2 的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；图 1 中，选“A．版画”所在扇形的圆心角度数为 ；
（2）请将图 2 的条形统计图补充完整；
（3）若该校学生总人数为 1500 人，由于“B．机器人”项目因故取消，原选“B．机器人”中 60% 的学生转选了“C．航模”项目，则该校学生中选“C．航模”项目的总人数为 人．

20. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，连接 AC．
（1）求证：AD=CF；
（2）若 AB⊥AF，且 AB=6，BC=4，求 sin∠ACE 的值．

21. 某电器商场销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A，B 两种型号的电风扇，如表是该型号电风扇近两周的销售情况：
销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元
（1）求 A，B 两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若该商场准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，假设售价不变，那么商场应采用哪种采购方案，才能使得当销售完这些风扇后，商场获利最多?最多可获利多少元?

22. 如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A3,0，以 O 为圆心，OA 为半径作 ⊙O，交 y 轴于点 C，直线 l:y=43x+b 经过点 C．
（1）设直线 l 与 ⊙O 的另一个交点为 D（如图 1），求弦 CD 的长；
（2）将直线 l 向上平移 2 个单位，得直线 m，如图 2，求证：直线 m 与 ⊙O 相切；
（3）在（2）的前提下，设直线 m 与 ⊙O 切于点 P，Q 为 ⊙O 上一动点，过点 P 作 PR⊥PQ，交直线 QA 于点 R（如图 3），则 △PQR 的最大面积为 ．

23. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=−3x+43 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点，抛物线 y=−32x2+bx+c 经过 B 、 C 两点，与 y 轴的另一个交点为点 A，P 为线段 BC 上一个动点（不与点 B，点 C 重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连接 CD，PD，当 △PDC 为直角三角形时，求点 P 的坐标；
（3）过点 C 作 CE∥x 轴，交抛物线于点 E，如图 2，求 PB+2PE 的最小值．
答案
第一部分
1. B【解析】由题意得，
赚 120 万元记作 +120 万元，亏 100 万元记作 −100 万元．
2. A【解析】将数据 30 亿用科学记数法表示为 3×109．
3. C【解析】A．2a3+a3=3a3，此选项错误；
B．x23=x6，此选项错误；
C．6xy3÷−2xy2=−3y，此选项正确；
D．x−y2=x2−2xy+y2，此选项错误；
4. A【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
5. C
【解析】∵∠1=30∘，
∴∠3=180∘−∠1−90∘=180∘−30∘−90∘=60∘，
∵a∥b，
∴∠2=180∘−∠3=120∘．
6. B【解析】主视图和左视图都相同的是选项B．
7. D【解析】列表如下：
白白黄白−白,白黄,白白白,白−黄,白黄白,黄白,黄−
所有等可能的情况数为 6 种，其中两次都是白球的情况数有 2 种，
所以两次摸到的球都是白球的概率是 26=13．
8. D【解析】由作图知，AD⊥BC 于 D．
在 Rt△ABD 中，AD=4，tan∠BAD=BDAD=BD4=34，
∴BD=3，
∵BC=5，
∴CD=BC−BD=2，
在 Rt△ADC 中，AC=AD2+CD2=25．
9. A【解析】①方程 x2+2x+3=0，Δ=4−4×1×3=−8<0，无实数根，错误；
②不等式 2x−13<1 的解集为 x<2，最大整数解是 1，错误；
③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法错误，应为菱形；
④直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则它的外接圆的半径为 5，正确．
10. B
【解析】∵a=−2,x+1，b=3,x+2，且 a⊥b，
∴a⋅b=0，即 −2×3+x+1x+2=0．
整理得 x−1x+4=0，解得 x1=1，x2=−4．
11. D【解析】A、对称轴方程为 x=−b2a=2，则 b+4a=0，故本选项不符合题意；
B、如图所示，抛物线与 x 轴有两个交点，则 b2−4ac>0，故本选项不符合题意；
C、如图所示，抛物线与 x 轴有两个交点，则方程 ax2+bx+c=3 有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、如图所示，对称轴为直线 x=2，且 −212. C【解析】∵∠PDC=15∘ 且将 △PCD 沿直线 PD 折叠得到 △DPE，
∴CD=DE，∠EDP=∠CDP=15∘，即 ∠EDC=30∘，
∴∠ADE=60∘ 且 AD=DE，
∴△ADE 为等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60∘，
∴∠BAF=30∘，
∴BF=12AF 且 AF>AE，
故 ① 正确，② 错误，
∵DE 是定值 3，
∴ 点 E 所走过的路径是以 D 为圆心，DC 长为半径的 14 圆，
∴ 点 E 所走过的路径 =14×2π×3=32π，
故 ④ 正确，
连接 EC 交 DP 于 N，作 EM⊥BC，
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴ 由勾股定理得：DP=10，
∵12×DP×CN=12×DC×PC，
∴CN=31010，
∵ 将 △PCD 沿直线 PD 折叠得到 △DPE，
∴CE⊥DP，CE=61010，
∵∠CDP+∠DCN=90∘，∠PCN+∠DCN=90∘，
∴∠CDP=∠PCN，∠DCP=∠CME=90∘，
∴△CEM∽△DCP，
∴EMPC=ECDP=CMCD，
∴CM=1.8，EM=0.6，
∴BM=1.2，
以 B 点为原点，BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，
∴A0,3，E1.2,0.6，
∴ 可得 BE 解析式 y=12x，AE 解析式 y=−2x+3，
∵12×−2=−1，
∴AE⊥BE，
故 ③ 正确．
第二部分
13. 4x+2x−2
【解析】4x2−16=4x2−4=4x+2x−2.
14. 3
【解析】一组数据 2，4，x，2，4，3，5 的众数是 2，
则 x=2，
从小到大排列：2，2，2，3，4，4，5，
则这组数据的中位数 3．
15. 9
【解析】如图，作 CH⊥AB 于 H．
由题意 AB=90×1160=332，设 BH=x，
∵CH=BH⋅tan63.5∘=AH⋅tan37∘，
∴2x=34332−x，解得 x=92，
∴CH=2x=9km．
16. 8
【解析】作 CD⊥y 轴于 D，CE⊥x 轴于 E，如图，
设 Ca,b，
当 x=0 时，y=−2x+5=5，则 B0,5，
当 y=0 时，−2x+5=0，解得 x=52，则 A52,0，
∵△AOB 沿直线 AB 翻折后，设点 O 的对应点为点 C，
∴BC=BO=5，AC=AO=52，
在 Rt△BCD 中，a2+5−b2=52, ⋯⋯①
在 Rt△ACD 中，a−522+b2=522, ⋯⋯②
①−② 得 a=2b，
把 a=2b 代入 ① 得 b2−2b=0，解得 b=2，
∴a=4，
∴C4,2，
∴k=4×2=8．
第三部分
17. 原式=9+2−3−1+2×32=10．
18. 方程两边同乘以 x−2，约去分母得，
1−2x+x−2=−1.
解得：
x=0.
经检验，x=0 是原方程的根．
19. （1） 200；36
【解析】这次调查的学生总人数为 40÷72360=200 人，
选“A．版画”所在扇形的圆心角度数为 360∘×20200=36∘．
（2） C项目的人数为 200−20+80+40=60 人，补全统计图如下：
（3） 810
【解析】该校学生中选“C．航模”项目的总人数为 1500×80200×60%+1500×60200=810 人．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∵E 是 CD 的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≅△FCEAAS，
∴AD=CF．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵△ADE≅△FCE，
∴AD=CF=BC=4，
∵AB⊥AF，
∴AC=12BF=4，AF=BF2−AB2=82−62=27，
∴AE=EF=12AF=7，
∵AB∥CD，
∴CD⊥AF，
∴sin∠ACE=AEAC=74．
21. （1） 设 A 种型号电风扇销售单价为 x 元/台，B 种型号电风扇销售单价为 y 元/台，
由已知得
3x+5y=1800,4x+10y=3100.
解得：
x=250,y=210.
答：A 种型号电风扇销售单价为 250 元/台，B 种型号电风扇销售单价为 210 元/台．
（2） 设当购进 A 种型号电风扇 a 台时，所获得的利润为 w 元，
由题意得：
200a+17030−a≤5400.
解得：
a≤10.∵W=250−200a+210−17030−a=10a+1200
，
又 ∵10>0，
∴a 的值增大时，w 的值也增大，
∴ 当 a=10 时，w 取得最大值，
此时 w=10×10+1200=1300．
故商场应采用的进货方案为：购进 A 种型号风扇 10 台，B 种型号风扇 20 台，可获利最多，最多可获利 1200 元．
22. （1） 过点 O 作 OE⊥l，垂足为 E，设直线 l 与 x 轴交于点 B（如图1）．
∵ 直线 l:y=43x+b 经过点 C0,3，
∴b=3，直线 l 为 y=43x+3，
由 y=0 得 43x+3=0，解得 x=−94，
∴B−94,0，
∴BC=OC2+OB2=32+942=154，
∵BC×OE=OC×OB，
∴154×OE=3×94，
∴OE=95，
∴CE=OC2−OE2=125，
∴CD=2CE=245．
（2） 过点 O 作 OF⊥m，垂足为 F，设直线 m 与 x 轴交于点 N，与 y 轴交于点 M（如图 2）．
∵ 直线 m 由直线 l 向上平移 2 个单位得到，
∴ 直线 m 为 y=43x+5，
由 x=0 得 y=5，
∴M0,5，
由 y=0 得 x=−154，
∴N−154,0，
∴MN=OM2+ON2=52+1542=254，
∵MN×OF=OM×ON，
∴254×OF=5×154，
∴OF=3=OA，
∵OF⊥m，
∴ 直线 m 与 ⊙O 相切．
（3） 54
【解析】△PQR 的最大面积为 54．
理由：
设 ⊙O 与 x 轴的另一交点为 G，连接 PA，OP，PG，过点 P 作 PH⊥x 轴于 H（如图 3）．
由 Rt△OPH∽Rt△ONP 可得 OP2=OH⋅ON，
∴OH=OP2ON=125，
∴GH=GO−OH=3−125=35，PH=OP2−OH2=95，
∴PG=PH2+GH2=3510，
∵∠PQR=∠PGA，∠QPR=∠GPA，
∴△PQR≅△PGA，
∴S△PQRS△PGA=PQ2PG2，
∵S△PGA=12⋅AG⋅PH=275，PG2=185，
∴S△PQR=32PQ2，
∴ 当 PQ 取得最大值时，即 PQ=AG=6 时，S△PQR 取得最大值，
此时 S△PQR=32×62=54．
23. （1） ∵ 直线 y=−3x+43 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点，
∴ 点 B 的坐标为 4,0，点 C 的坐标为 0,43．
∵ 抛物线 y=−32x2+bx+c 经过 B，C 两点，
∴ c=43,−32×16+4b+c=0, 解得：b=3,c=43.
∴ 抛物线的解析式为 y=−32x2+3x+43．
（2） ∵ 抛物线的解析式为 y=−32x2+3x+43，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 点 D 的坐标为 1,0．
设点 P 的坐标为 m,−3m+43 过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，则点 Qm,0．
当 ∠PDC=90∘ 时，如图 3，
∵ ∠CDO+∠OCD=90∘，∠CDO+∠QDP=90∘，
∴ ∠OCD=∠QDP，
∴ △OCD∽△QDP，
∴ OCQD=ODQP，即 43m−1=1−3m+43，
解得：m=4913，
∴ 点 P 的坐标为 4913,3313；
当 ∠DPC=90∘ 时，如图 4，
∵ C0,43，B4,0，
∴ tan∠CBO=3，
∴ ∠CBO=60∘，
∴ PD=BD⋅sin∠CBO=332，∠PDB=30∘，
∴ PQ=PD⋅sin∠PDB=334，DQ=PD⋅cs∠PDB=94，
∴ OQ=OD+DQ=134，
∴ 点 P 的坐标为 134,334．
综上所述，点 P 的坐标为 4913,3313 或 134,334．
（3） 连接 AE，交 BC 于点 F，在 ∠CBA 的内部作 ∠CBH=30∘，BH 与 AE 交于点 H，过点 P 作 PR⊥BH，垂足为 R，连接 PE，如图 5 所示．
∵ PR⊥BH，
∴ PR=PB⋅sin∠CBH=PB⋅sin30∘=12PB，
∴ PB+2PE=212PB+PE=2PR+PE．
∵ 点 C 与点 E，点 A 与点 B 均关于直线 x=1 对称，
∴ ∠BAE=∠CBO=60∘，∠ABH=30∘，
∴ ∠AHB=90∘，
∴ PR+PE≥EH，当且仅当点 P 与点 F 重合时，等号成立．
∵ C0,43，B4,0，对称轴为直线 x=1，
∴ AE=BC=8，且点 A 的坐标为 −2,0，
∴ AH=AB⋅sin∠ABH=3，
∴ EH=AE−AH=8−3=5，即 PR+PE 的最小值为 5，
∴ PB+2PE 的最小值为 10．