2018年上海市浦东新区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市浦东新区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角 A 的余切值
A. 扩大为原来的两倍B. 缩小为原来的 12
C. 不变D. 不能确定

2. 下列函数中，二次函数是
A. y=−4x+5B. y=x2x−3
C. y=x+42−x2D. y=1x2

3. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是
A. sinA=57B. csA=57C. tanA=57D. ctA=57

4. 已知非零向量 a，b，c，下列条件中，不能判定向量 a 与向量 b 平行的是
A. a∥c,b∥cB. a=3b
C. a=c,b=2cD. a+b=0

5. 如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象全部在 x 轴的下方，那么下列判断中正确的是
A. a<0，b<0B. a>0，b<0C. a<0，c>0D. a<0，c<0

6. 如图，已知点 D，F 在 △ABC 的边 AB 上，点 E 在边 AC 上，且 DE∥BC，要使得 EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是
A. EFCD=ADABB. AEAC=ADABC. AFAD=ADABD. AFAD=ADDB

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=32，则 x−yx+y= ．

8. 已知线段 MN 的长是 4 cm，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则较长线段 MP 的长是 cm．

9. 已知 △ABC∽△A1B1C1，△ABC 的周长与 △A1B1C1 的周长的比值是 32，BE，B1E1 分别是它们对应边上的中线，且 BE=6，则 B1E1= ．

10. 计算：3a+2a−12b= ．

11. 计算：3tan30∘+sin45∘= ．

12. 抛物线 y=3x2−4 的最低点坐标是 ．

13. 将抛物线 y=2x2 向下平移 3 个单位，所得的抛物线的表达式是 ．

14. 如图，已知直线 l1，l2，l3 分别交直线 l4 于点 A，B，C，交直线 l5 于点 D，E，F，且 l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则 DE= ．

15. 如图，用长为 10 米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 10 米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为 x 米，花圃面积为 S 平方米，则 S 关于 x 的函数解析式是 （不写定义域）．

16. 如图，湖心岛上有一凉亭 B，在凉亭 B 的正东湖边有一棵大树 A，在湖边的 C 处测得 B 在北偏西 45∘ 方向上，测得 A 在北偏东 30∘ 方向上，又测得 A，C 之间的距离为 100 米，则 A，B 之间的距离是 米（结果保留根号形式）．

17. 已知点 −1,m，2,n 在二次函数 y=ax2−2ax−1 的图象上，如果 m>n，那么 a 0（用“>”或“<”连接）．

18. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，csB=45，BC=8，点 D 在边 BC 上，将 △ABC 沿着过点 D 的一条直线翻折，使点 B 落在 AB 边上的点 E 处，连接 CE，DE，当 ∠BDE=∠AEC 时，则 BE 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 将抛物线 y=x2−4x+5 向左平移 4 个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．

20. 如图，已知 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，DE∥BC，且 DE 经过 △ABC 的重心，设 BC=a．
（1）DE= （用向量 a 表示）；
（2）设 AB=b，在图中求作 b+12a．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）

21. 如图，已知 G，H 分别是平行四边形 ABCD 对边 AD，BC 上的点，直线 GH 分别交 BA 和 DC 的延长线于点 E，F．
（1）当 S△CFHS四边形CDGH=18 时，求 CHDG 的值；
（2）连接 BD 交 EF 于点 M，求证：MG⋅ME=MF⋅MH．

22. 如图，为测量学校旗杆 AB 的高度，小明从旗杆正前方 3 米处的点 C 出发，沿坡度为 i=1:3 的斜坡 CD 前进 23 米到达点 D，在点 D 处放置测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37∘，量得测角仪 DE 的高为 1.5 米．A，B，C，D，E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73．）
（1）求点 D 的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆 AB 的高度（精确到 0.1）．

23. 如图，已知，在锐角 △ABC 中，CE⊥AB 于点 E，点 D 在边 AC 上，连接 BD 交 CE 于点 F，且 EF⋅FC=FB⋅DF．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）连接 AF，求证：AF⋅BE=BC⋅EF．

24. 已知抛物线 y=ax2+bx+5 与 x 轴交于点 A1,0 和点 B5,0，顶点为 M．点 C 在 x 轴的负半轴上，且 AC=AB，点 D 的坐标为 0,3，直线 l 经过点 C，D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点，连接 AP，且线段 CP 是线段 CA，CB 的比例中项，求 tan∠CPA 的值；
（3）在（2）的条件下，连接 AM，BM，在直线 PM 上是否存在点 E，使得 ∠AEM=∠AMB．若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，已知在 △ABC 中，∠ACB=90∘，BC=2，AC=4，点 D 在射线 BC 上，以点 D 为圆心，BD 为半径画弧交边 AB 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB 交边 AC 于点 F，射线 ED 交射线 AC 于点 G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设 FG=x，△EFG 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域；
（3）连接 DF，当 △EFD 是等腰三角形时，请直接写出 FG 的长度．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A
4. B
5. D
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 全部在 x 轴下方，
∴a<0，图象与 y 轴交于负半轴，
∴c<0．
6. C【解析】∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
当添加的条件为 AFAD=ADAB 时，AEAC=AFAD，
∴EF∥CD．
第二部分
7. 15
【解析】设 x=3a 时，y=2a，
则 x−yx+y=3a−2a3a+2a=a5a=15．
8. 25−2
9. 4
10. 5a−b
11. 3+22
12. 0,−4
13. y=2x2−3
14. 6
15. S=−2x2+10x
16. 503+50
17. >
【解析】二次函数 y=ax2−2ax−1 的对称轴为 x=1．
∵∣−1−1∣=2，∣2−1∣=1，且 m>n，
∴a>0．
18. 395
【解析】如图，
在 Rt△ABC 中，csB=45，BC=8，
∴AC=6，AB=10，
设 BE=x，则 DE=BD=5x8，
∵∠AEC=∠BDE，
∴∠CEB=∠CDE，
∵∠ECB=∠DCE，
∴△ECB∽△DCE，
∴EBDE=CBCE=ECDC，
x58x=8CE=ECDC，
∴CE=5，DC=258，
∴BD=398，
∴BE=395．
第三部分
19. ∵y=x2−4x+4−4+5=x−22+1．
∴ 平移后的函数解析式是 y=x+22+1．
顶点坐标是 −2,1．
对称轴是直线 x=−2．
20. （1） 23a
（2） 结论：AF 就是所要求作的向量．
21. （1） ∵S△CFHS四边形CDGH=18，
∴S△CFHS△DFG=19，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴△CFH∽△DFG．
∴S△CFHS△DFG=CHDG2=19，
∴CHDG=13．
（2） 如图，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴MBMD=MHMG，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，
∴MEMF=MBMD，
∴MEMF=MHMG，
∴MG⋅ME=MF⋅MH．
22. （1） 延长 ED 交射线 BC 于点 H，如图 1，
由题意得 DH⊥BC，
在 Rt△CDH 中，
∠DHC=90∘，tan∠DCH=i=1:3，
∴∠DCH=30∘，
∴CD=2DH．
∵CD=23，
∴DH=3（米），CH=3（米）．
答：点 D 的铅垂高度是 3 米．
（2） 过点 E 作 EF⊥AB 于 F，如图 2，
由题意得，∠AEF 即为点 E 观察点 A 时的仰角，
∴∠AEF=37∘，
∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴∠BFE=∠B=∠BHE=90∘，
∴ 四边形 FBHE 为矩形，
∴EF=BH=BC+CH=6，FB=EH=ED+DH=1.5+3．
在 Rt△AEF 中，
∠AFE=90∘，AF=EF⋅tan∠AEF≈6×0.75=4.5，
∴AB=AF+FB=6+3≈6+1.73≈7.7（米）．
答：旗杆 AB 的高度约为 7.7 米．
23. （1） ∵EF⋅FC=FB⋅DF，
∴EFDF=FBFC．
∵∠EFB=∠DFC，
∴△EFB∽△DFC．
∴∠FEB=∠FDC．
∵CE⊥AB，
∴∠FEB=90∘．
∴∠FDC=90∘．
∴BD⊥AC．
（2） 如图，
∵△EFB∽△DFC，
∴∠ABD=∠ACE．
∵CE⊥AB，
∴∠FEB=∠AEC=90∘．
∴△AEC∽△FEB．
∴AEFE=ECEB．
∴AEEC=FEEB．
∵∠AEC=∠FEB=90∘，
∴△AEF∽△CEB．
∴AFCB=EFEB，
∴AF⋅BE=BC⋅EF．
24. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+5 与 x 轴交于点 A1,0，B5,0，
∴a+b+5=0,25a+5b+5=0.
解得 a=1,b=−6.
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−6x+5．
（2） ∵A1,0，B5,0，
∴OA=1，AB=4．
∵AC=AB 且点 C 在点 A 的左侧，
∴AC=4．
∴CB=CA+AB=8．
∵ 线段 CP 是线段 CA，CB 的比例中项，
∴CACP=CPCB．
∴CP=42．
又 ∵∠PCB 是公共角，
∴△CPA∽△CBP．
∴∠CPA=∠CBP．
过 P 作 PH⊥x 轴于 H，如图 1．
∵OC=OD=3，∠DOC=90∘，
∴∠DCO=45∘．
∴∠PCH=45∘．
∴PH=CH=CPsin45∘=4，
∴H−7,0，BH=12．
∴P−7,−4．
∴tan∠CBP=PHBH=13，tan∠CPA=13．
（3） ∵ 抛物线的顶点是 M3,−4，P−7,−4，
∴PM∥x 轴．
当点 E 在 M 左侧，则 ∠BAM=∠AME．
∵∠AEM=∠AMB，
∴△AEM∽△BMA．
∴MEAM=AMBA．
∴ME25=254．
∴ME=5．
∴E−2,−4．
如图 2，过点 A 作 AN⊥PM 于点 N，
则 N1,−4，
当点 E 在 M 右侧时，记为点 Eʹ，
∵∠AEʹN=∠AEN，
∴ 点 Eʹ 与 E 关于直线 AN 对称，则 Eʹ4,−4．
综上所述，E 的坐标为 −2,−4 或 4,−4．
25. （1） 因为 ED=BD，
所以 ∠B=∠BED．
因为 ∠ACB=90∘，
所以 ∠B+∠A=90∘．
因为 EF⊥AB，
所以 ∠BEF=90∘．
所以 ∠BED+∠GEF=90∘．
所以 ∠A=∠GEF．
因为 ∠G 是公共角，
所以 △EFG∽△AEG．
（2） 作 EH⊥AF 于点 H．如图，
因为在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=2，AC=4，
所以 tanA=BCAC=12．
所以在 Rt△AEF 中，∠AEF=90∘，tanA=EFAE=12．
因为 △EFG∽△AEG，
所以 FGEG=GEGA=EFAE=12．
因为 FG=x，
所以 EG=2x，AG=4x．
所以 AF=3x．
因为 EH⊥AF，
所以 ∠AHE=∠EHF=90∘．
所以 ∠EFA+∠FEH=90∘．
因为 ∠AEF=90∘，
所以 ∠A+∠EFA=90∘．
所以 ∠A=∠FEH．
所以 tanA=tan∠FEH．
所以在 Rt△EHF 中，∠EHF=90∘，tan∠FEH=HFEH=12．
所以 EH=2HF．
因为在 Rt△AEH 中，∠AHE=90∘，tanA=EHAH=12．
所以 AH=2EH．
所以 AH=4HF．
所以 AF=5HF．
所以 HF=35x．
所以 EH=65x．
所以
y=12⋅FG⋅EH=12⋅x×65x=35x2.
定义域：0 （3） 2527，43，25−5512．
【解析】当 △EFD 为等腰三角形时，FG 的长度是：2527，43，25−5512．