2018年天津市和平区中考二模数学试卷

这是一份2018年天津市和平区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −22 的结果等于 ( )
A. −2B. −4C. 2D. 4

2. sin60∘ 的值等于 ( )
A. 12B. 22C. 32D. 3

3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 把 503000000 用科学记数法表示为 ( )
A. 0.503×109B. 5.03×108C. 50.3×107D. 503×106

5. 如图所示，沿箭头所指的方向看一个正三棱柱，它的三视图应是 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 15+1 的值在 ( )
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算的 3a−3+a3−a 结果为 ( )
A. 1B. 0C. a+3a−3D. −1

8. 点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和 b，下列结论中正确的是 ( )
A. b+a>0B. a−b<0
C. a>bD. ba<0

9. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=120∘，点 D 是 BC 上一点，BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，将 △ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好与点 E 重合，则 ∠B 等于 ( )
A. 18∘B. 20∘C. 25∘D. 28∘

10. 如果函数 y=2x 的图象与双曲线 y=kx(k≠0) 相交，则当 x<0 时，该交点位于 ( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

11. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC 交 BD 于 O，则 ∠DOC 的度数为 ( )
A. 60∘B. 67.5∘C. 75∘D. 54∘

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a<0) 经过点 (−1,0)，且满足 4a+2b+c>0，有下列结论：① a+b>0；② −a+b+c>0；③ b2−2ac>5a2．其中，正确结论的个数是 ( )
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 x3⋅x2 的结果等于 ．

14. 计算 (2+3)(3−2) 的结果等于 ．

15. 甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球，那么所取出的两球是同色球的概率是 ．

16. 已知一次函数的图象经过点 (−2,2)，但不经过第三象限，并且当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小，则符合条件的函数解析式可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，在正方形 ABCD 中，有面积为 4 的正方形 EFGH 和面积为 2 的正方形 PQMN，点 E，F，P，Q 分别在边 AB，BC，CD，AD 上，点 M，N 在边 HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形 ABCD 的面积为 ．

18. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、点 B 、点 C 均落在格点上．
（Ⅰ）线段 AB 的长度 = ．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在 ∠ABC 的平分线上找一点 P，在 BC 上找一点 Q，使 CP+PQ 的值最小，并简要说明点 P，Q 的位置是如何找到的 （不要求证明）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式 2−x≤5,⋯⋯①x+3≤3−2x,⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答：
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某地区在一次九年级数学检测中，有一道满分 8 分的解答题，按评分标准，所有学生的得分只有四种：0 分、 3 分、 5 分、 8 分，老师为了了解学生的得分情况，从全区 500 名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制出如图两幅不完整的统计图 ① 和图 ②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图 ① 中 a 的值为 ；b 的值为 ；
（2）求此样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）请估计该地区此题得满分（即 8 分）的学生人数．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，AB=2，点 C，点 D 在 ⊙O 上，CD=1，直线 AD，BC 交于点 E．
（1）如图 1，若点 E 在 ⊙O 外，求 ∠AEB 的度数；
（2）如图 2，若点 E 在 ⊙O 内，求 ∠AEB 的度数．

22. 如图所示，为求出河对岸两棵树 A，B 间的距离，小坤在河岸上选取一点 C，然后沿垂直于 AC 的直线的前进了 12 米到达 D，测得 ∠CDB=90∘．取 CD 的中点 E，测 ∠AEC=56∘，∠BED=67∘，求河对岸两树间的距离（提示：过点 A 作 AF⊥BD 于点 F）
（参考数据 sin56∘≈45，tan56∘≈32，sin67∘≈1415，tan67∘≈73）

23. 开发区某工厂生产的产品每件出厂价为 50 元，成本价为 25 元，在生产过程中，平均每生产一件产品有 0.5 m3 污水排出，为了绿色环保达到排污标准，工厂设计两种处理污水的方案．
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理 1 m3 污水的费用为 2 元，并且每月排污设备损耗为 30000 元．
方案二：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理 1 m3 污水的费用为 14 元．设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 元（成本价不含排污费用）．
（1）填写如表，并分别写出依据方案一和方案二处理污水时 y 与 x 的关系式：
每月生产产品数(件)3000700010000x方案一处理污水费用(元)33000 方案二处理污水费用(元) 49000
（2）如果你是该工厂的负责人，如何选择污水处理方案可使工厂利润最大?

24. 将平行四边形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 为原点，点 C−6,0，点 A 在第一象限，OA=2，∠A=60∘．
（1）如图①，求点 A 的坐标；
（2）如图②，将平行四边形 OABC 绕点 O 逆时针旋转得到平行四边形 OAʹBʹCʹ，当点 A 的对应点 Aʹ 落在 y 轴正半轴上时，求旋转角及点 B 的对应点 Bʹ 的坐标；
（3）将平行四边形 OABC 绕点 A 旋转得到平行四边形 DAEF，当点 B 的对应点 E 落在直线 OA 上时，求直线 EF 的表达式（直接写出结果即可）．

25. 在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线 C1:y1=x2+1 的顶点为 A，点 A 与点 O 关于点 B 对称．
（1）求点 A，点 B 的坐标；
（2）过点 B 的直线 y=kx+b(k<0) 与 x 轴交于点 C，过点 C 作直线 l 垂直于 x 轴，P 是直线 l 上一点，且 PB=PC，求线段 PB 的长（用含 k 的式子表示），并判断点 P 是否在抛物线 C1 上，请说明理由；
（3）将抛物线 C1，沿 x 轴翻折后，再向右平移，得抛物线 C2:y2=ax2+bx+c，当 m≤x≤2 时，y2≥x−3 恒成立，求 m 的最小值．
答案
第一部分
1. B【解析】−22=−2×2=−4．
2. C【解析】sin60∘=32．
3. D【解析】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确．
4. B【解析】把 503000000 用科学记数法表示为 5.03×108．
5. A
【解析】从正面看有 1 个长方形，中间有 1 条虚棱；
从上面看有一个三角形；
从左面看有1个长方形．
故选：A．
6. C【解析】∵3<15<4，
∴4<15+1<5．
7. D【解析】原式=3a−3−aa−3=3−aa−3=−1.
8. D【解析】A、 ∵0 ∴b+a<0，故选项错误；
B、 ∵0 ∴a−b>0，故选项错误；
C、 ∵0 ∴aD、 ∵0 ∴ba<0，故选项正确．
9. B【解析】∵ 将 △ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好与点 E 重合，
∴∠C=∠AED，
∵BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，
∴BE=DE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，
在 △ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=∠B+2∠B+120∘=180∘，
解得：∠B=20∘．
10. C
【解析】∵ 函数 y=2x 的系数 k=2>0，
∴ 函数的图象过一、三象限；
又由于函数 y=2x 的图象与双曲线 y=kx(k≠0) 相交，则双曲线也位于一、三象限；
故当 x<0 时，该交点位于第三象限．
11. A【解析】如图，连接 DF，BF．
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB 是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴ 点 A 是 △DBF 的外接圆的圆心，
∴∠FDB=12∠FAB=30∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90∘，∠ADB=∠DBC=45∘，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15∘，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60∘．
解法二：连接 BF．
易知 ∠FCB=15∘，∠DOC=∠OBC+∠FCB=45∘+15∘=60∘．
12. D【解析】如图，
∵ 抛物线过点 (−1,0)，且满足 4a+2b+c>0，
∴ 抛物线的对称轴 x=−b2a>12，
∴b>−a，即 a+b>0，
∴ ①正确；
∵a<0，b>0，c>0，
∴−a+b+c>0，
∴ ②正确；
∵a−b+c=0，即 b=a+c，
∴4a+2(a+c)+c>0，
∴2a+c>0，
∴b2−2ac−5a2=(a+c)2−2ac−5a2=−(2a+c)(2a−c)，
而 2a+c>0，2a−c<0，
∴b2−2ac−5a2>0，即 b2−2ac>5a2，
∴ ③正确．
第二部分
13. x5
【解析】x3⋅x2=x5．
14. −1
【解析】(2+3)(3−2)=(3)2−22=3−4=−1.
15. 12
【解析】∵ 可能的情况为
(红,黄)(黄,黄)(红,红)(黄,红)∴
一共有 4 种情况，所取出的两球是同色球的情况为 2 种，
∴ 所取出的两球是同色球的概率为 24=12．
16. y=−x（答案不唯一）
【解析】∵ 一次函数 y 随 x 的增大而减小，
∴k<0，
不妨设 k=−1，
则 y=−x+b，
把 (−2,2) 代入得，b=0，
∴y=−x．
17. 274+922
【解析】如图，连接 BD，交 PQ 于 R，交 HG 于 S，交 EF 于 K，
∵ 正方形 ABCD 中，有面积为 4 的正方形 EFGH 和面积为 2 的正方形 PQMN，
∴EH=EF=2，MQ=QP=2，
又 ∵ 组成的图形为轴对称图形，
∴BD 为对称轴，
∴△BEF，△DPQ 为等腰直角三角形，四边形 EKSH 、四边形 MSRQ 为矩形，
∴EK=BK=12EF=1，DR=QR=12PQ=122，KN=EH=2，RS=MQ=2，
∴BD=1+2+2+122=3+322，
∴ 正方形 ABCD 的面积 =12BD2=12×3+3222=274+922．
18. 5，
构造边长为 5 的菱形 ABKD，连接 BD，射线 BD 为 ∠ABC 的平分线，构造 △CEF≌△CAB，作直线 CF 交 BD 于 P，交 AB 于 Qʹ，再作点 P 关于直线 BC 的对称点 J，连接 PJ 交 BC 于点 Q，点 P 、 Q 即为所求
【解析】（Ⅰ）AB=32+42=5．
第三部分
19. （1） x≥−3
（2） x≤0
（3）
（4） −3≤x≤0
20. （1） 25；20
【解析】由条形统计图可知 0 分的同学有 24 人，由扇形统计图可知，0 分的同学占 10%，
∴ 抽取的总人数是：24÷10%=240，
故得 3 分的学生数是：240−24−108−48=60，
∴a%=60240=25%，b%=48240=20%．
（2） 此样本数据的平均数为 0×10%+3×25%+8×20%+5×45%=4.6（分），众数为 5 分；
240 个数据按从小到大的顺序排列后，第 120，121 个数都是 5，
∴ 中位数是 5 分．
（3） 由（1）可得，得满分的占 20%，
∴ 该地区此题得满分（即 8 分）的学生人数是：500×20%=100 人，
即该地区此题得满分（即 8 分）的学生数有 100 人．
21. （1） 如图 1，连接 OC，OD，
∵CD=1，OC=OD=1，
∴△OCD 为等边三角形，
∴∠COD=60∘，
∴∠CBD=12∠COD=30∘，
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠AEB=90∘−∠DBE=90∘−30∘=60∘．
（2） 如图 2，连接 OC，OD，
同理可得 ∠CBD=30∘，∠ADB=90∘，
∴∠AEB=90∘+∠DBE=90∘+30∘=120∘．
22. ∵ E 为 CD 中点，CD=12 m，
∴ CE=DE=6 m．
在 Rt△ACE 中，
∵ tan56∘=ACCE，
∴ AC=CE⋅tan56∘≈6×32=9 m．
在 Rt△BDE 中，
∵ tan67∘=BDDE，
∴ BD=DE，tan67∘=6×73=14 m．
∵ AF⊥BD，
∴ AC=DF=9 m，AF=CD=12 m，
∴ BF=BD−DF=14−9=5 m．
在 Rt△AFB 中，AF=12 m，BF=5 m，
∴ AB=AF2+BF2=122+52=13 m．
∴ 两树间距离为 13 米．
23. （1） 37000；40000；x+30000；21000；70000；7x
【解析】方案一：y1=50x−25x−(0.5x×2+30000)=24x−30000；
方案一处理污水时 y 与 x 的关系式为：y=x+30000，
当 x=7000 时，y=37000，
当 x=10000 时，y=40000，
方案二：y2=50x−25x−0.5x×14=18x；
方案二处理污水时 y 与 x 的关系式为：y=7x，
当 x=3000 时，y=21000；
当 x=10000 时，y=70000．
（2） 根据题意可得：当 y1=y2 时，则 18x=24x−30000，解得：x=5000，
当 y1>y2 时，24x−30000>18x，解得：x>5000，
故当工厂每月生产 5000 件产品时，两种方案利润相同，
当超过 5000 件时，方案一利润大，
当低于 5000 件时，方案二利润大．
24. （1） 如图①，
在 Rt△AON 中，∠A=60∘，
∴∠AON=30∘，
∵OA=2，
∴AN=1，ON=3，
∴A1,3．
（2） 如图②，
∵C−6,0，
∴OC=6，
∵ 四边形 ABCO 是平行四边形，
∴AB=OC=6，
当点 A 的对应点 Aʹ 落在 y 轴正半轴上时，旋转角为 ∠AOAʹ=30∘，
由旋转知，AʹBʹ=AB=6，OAʹ=OA=2，∠OAʹB=∠A=60∘，
过点 Bʹ 作 BʹE⊥y 轴于 E，
∴∠AʹBʹE=30∘，
∴AʹE=3，BʹE=33，
∴OE=AʹE−OAʹ=3−2=1，
∴Bʹ−33,−1．
（3） y=−3x−43 或 y=−3x+83．
【解析】如图 3，
①当逆时针旋转时，∠BAEʹ=60∘，
由旋转知，AEʹ=AB=6，连接 BEʹ，
∴△ABEʹ 是等边三角形，
∴∠AEʹB=60∘，
∵∠AEʹFʹ=120∘，
∴ 点 B，Eʹ，Fʹ 在同一条直线上，
过点 Eʹ 作 EʹM⊥AB 于 M，
在 Rt△AMEʹ 中，∠AEʹM=30∘，
∴AM=3，EʹM=33，
∴Eʹ−2,−23，
设直线 EʹFʹ 的表达式为 y=kx+b，易知，B−5,3，
∴−5k+b=3,−2k+b=−23,
∴k=−3,b=−43,
∴ 直线 EʹFʹ 的表达式为 y=−3x−43；
②当顺时针旋转时，∠BAE=120∘，
易知，点 Eʹ 与点 E 关于点 A 对称，
∴E4,43，
∵EF∥EʹFʹ，
∴ 直线 EF 的表达式为 y=−3x+83．
即：满足条件的直线 EF 的表达式为 y=−3x−43 或 y=−3x+83．
25. （1） y1=x2+1 的顶点为 A(0,1)，
∵A，O 关于 B 对称，
∴B0,12．
（2） 如图 1 中，作 PH⊥BC 于 H．
由题意：直线 BC 的解析式为 y=kx+12，
∴c−12k,0，
∴OB=12，O=−12k，
∴BC=OB2+OC2=121+1k2，
∵PB=PC，PH⊥BC，
∴BH=HC，
∵△BCO∽△CPH，
∴OBHC=CBPC，
∴12141+1k2=121+1k2PC，
∴PC=141+1k2，
∴PB=PC=141+1k2，
对于抛物线，y=x2+1，
当 x=−12k 时，y=14k2+1≠141+1k2，
∴ 点 P 不在抛物线上．
（3） 如图 2 中，
对于直线 y=x−3，当 x=2 时，y=−1，
∴ 翻折后的抛物线顶点平移到 (2,−1) 时，此时抛物线与直线 y=x−3 的另一个交点为 (1,−2)，
当 1≤x≤2 时，y≥x−3，
∴m 的最小值为 1．