2018年天津市河东区中考一模数学试卷

这是一份2018年天津市河东区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −3+10=
A. −30B. −13C. −7D. 7

2. 2cs30∘ 的值等于
A. 1B. 2C. 3D. 2

3. 下面图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 中共十九大召开期间，十九大代表纷纷利用休息时间来到北京展览馆，参观“砥砺奋进的五年”大型成就展，据统计，9 月下旬开幕至 10 月 22 日，展览累计参观人数已经超过 78 万人，请将 780000 用科学记数法表示为
A. 78×104B. 7.8×105C. 7.8×106D. 0.78×106

5. 如图，是由五个相同的小正方体组成的立体图形，其俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估算 27−3 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算 2a−2−aa−2 的结果是
A. 1B. −1C. 2D. −2

8. 方程 x2−2x=3 可以化简为
A. x−3x+1=0B. x+3x−1=0
C. x−12=2D. x−12+4=0

9. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 100∘，得到 △ADE．若点 D 在线段 BC 的延长线上，则 ∠B 的大小为
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

10. A−3,y1，B−1,y2，C1,y3 都在反比例函数 y=−3x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
11. 如图，在底边 BC 为 23，腰 AB 为 2 的等腰三角形 ABC 中，DE 垂直平分 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则 △ACE 的周长为
A. 2+3B. 2+23C. 4D. 33

12. 如图，二次函数 y=x2−bx+b−2 图象与 x 轴交于 Ax1,0，Bx2,0，且 0A. b>−1B. 1
二、填空题（共6小题；共30分）
13. −p2⋅−p3= ．

14. 计算：5−322= ．

15. 一个不透明的盒子中装有 2 个白球，5 个红球和 3 个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ．

16. 请写出一个过点 0,1，且 y 随着 x 的增大而减小的一次函数解析式 ．

17. 如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，BG⊥EF，点 G 为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则 BG= ．

18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 均为格点．
（Ⅰ）△ABC 的面积等于 ．
（Ⅱ）请借助无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出 △ABC 的角平分线 BD 的垂直平分线，并简要说明你是怎么画出来的： ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 5−x>3, ⋯⋯①x2−2x−73≤3. ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答：
（1）解不等式 ① ；
（2）解不等式 ② ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某高校学生会向全校 2900 名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 名，图①中 m 的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不超过 10 元（包括 10 元）的学生人数．

21. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，∠APB=60∘，连接 PO 并延长与 ⊙O 交于 C 点，连接 AC，BC．
（1）求 ∠ACB 的大小；
（2）若 ⊙O 半径为 1，求四边形 ACBP 的面积．

22. 小明为了测量楼房 AB 的高度，他从楼底的 B 处沿着斜坡向上行走 20 m，到达坡顶 D 处．已知斜坡的坡角为 15∘．（以下计算结果精确到 0.1 m）（sin15∘≈0.2588，cs15∘≈0.9659，tan15∘≈0.2677）
（1）求小明此时与地面的垂直距离 CD 的值；
（2）小明的身高 ED 是 1.6 m，他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45∘，求楼房 AB 的高度．

23. “五四”青年节期间，校团委对团员参加活动情况进行表彰，计划分为优秀奖和贡献奖，为此联系印刷公司设计了两种奖状，A，B两家公司都为学校提出了相同规格和单价的两种奖状，其中优秀奖的奖状 6 元/张，贡献奖的奖状 5 元/张，经过协商，A公司的优惠条件是：两种奖状都打八折，但要收制版费 50 元；B公司的优惠条件是：两种奖状都打九折；根据学校要求，优秀奖的个数是贡献奖的 2 倍还多 10 个，如果设贡献奖的个数是 x 个．
（1）分别写出校团委购买A，B两家印刷厂所需要的总费用 y1（元）和 y2（元）与贡献奖个数 x（个）之间的函数关系式；
（2）校团委选择哪家印刷公司比较合算?请说明理由．

24. 如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A，B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA=6，OB=10．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为 0,2，点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC−CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为 t 秒．
（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；
（2）①求 △OPD 的面积 S 关于 t 的函数解析式；
②如图 2，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 Bʹ 恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标．
（3）点 P 在运动过程中是否存在使 △BDP 为等腰三角形?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴为直线 x=1，AB=4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上有两点 Mx1,y1 和 Nx2,y2，若 x1<1，x2>1，x1+x2>2，试判断 y1 与 y2 的大小，并说明理由；
（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点 O，且与 x 轴交于点 D，记平移后的抛物线顶点为点 P．
①若 △ODP 是等腰直角三角形，求点 P 的坐标；
②在①的条件下，直线 x=m0答案
第一部分
1. D
2. C
3. D
4. B
5. A
6. A
7. B
8. A
9. B
10. C
11. B
12. C【解析】由题意可得，b−2>0,1−b+b−2<0,4−2b+b−2<0,9−3b+b−2>0,
解得，2第二部分
13. −p5
14. 43−302
15. 12
16. y=−x+1（答案不唯一）
17. 235
18. 6，如图所示：
先画出 △ABC 的角平分线 BD，再画出 BD 的垂直平分线
第三部分
19. （1） x<2
（2） x≥−4
（3）
（4） −4≤x<2
20. （1） 50；32
（2） 平均数是：4×5+16×10+12×15+10×20+8×3050=16（元），
由于捐款 10 元人数最多，
∴ 众数是 10 元，
中位数为捐款数从小到大排列的第 25，26 个数据的平均数，
∴ 中位数是 15+152=15．
（3） 估计该校本次活动捐款金额不超过 10 元（包括 10 元）的学生人数 2900×4+1650=1160（名）．
21. （1） 连接 OA，如图，
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AP，OP 平分 ∠APB，
∴∠APO=12∠APB=30∘，
∴∠AOP=60∘，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=12∠AOP=30∘，同理可得 ∠BCP=30∘，
∴∠ACB=60∘．
（2） 在 Rt△OPA 中，
∵∠APO=30∘，
∴AP=3OA=3，OP=2OA=2，
∴OP=2OC，
∵S△OPA=12×1×3=32，
∴S△AOC=12S△PAO=34，
∴S△ACP=334，
∴ 四边形 ACBP 的面积 =2S△ACP=332．
22. （1） 在 Rt△BCD 中，
因为 ∠CBD=15∘，BD=20 m，
所以 CD=BD⋅sin15∘，
所以 CD≈5.2 m；
答：小明与地面的垂直距离 CD 的值是 5.2 m．
（2） 在 Rt△AFE 中，
因为 ∠AEF=45∘，
所以 AF=EF=BC，
由（1）知，BC=BD⋅cs15∘≈19.3m，
所以 AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1m．
答：楼房 AB 的高度是 26.1 m．
23. （1） 由题意得：y1=4.82x+10+4x+50=13.6x+98，
y2=5.42x+10+4.5x=15.3x+54．
（2） 当 y1>y2 时，13.6x+98>15.3x+54，
解得 x<251517，
∵x 为整数，
∴ 当贡献奖个数小于等于 25 个时，选B公司比较合算；当贡献奖个数大于 25 个时，选A公司比较合算；当贡献奖的个数等于 25 个时，选择两家公司都一样．
24. （1） 因为 OA=6，OB=10，四边形 OACB 为长方形，
所以 C6,10．
设此时直线 DP 解析式为 y=kx+b，
把点 0,2，C6,10 分别代入，得
b=2,6k+b=10, 解得 k=43,b=2,
则此时直线 DP 解析式为 y=43x+2．
（2） ①当点 P 在线段 AC 上时，OD=2，高为 6，S=6；
当点 P 在线段 BC 上时，OD=2，高为 6+10−2t=16−2t，S=12×2×16−2t=−2t+16；
②设 Pm,10，则 PB=PBʹ=m，
因为 OBʹ=OB=10，OA=6，
所以 ABʹ=OBʹ2−OA2=8，
所以 BʹC=10−8=2，
因为 PC=6−m，
所以 m2=22+6−m2，解得 m=103，
则此时点 P 的坐标是 103,10．
（3） 存在，理由为：
若 △BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图，
①当 BD=BP1=OB−OD=10−2=8 时，
在 Rt△BCP1 中，BP1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP1=82−62=27，
所以 AP1=10−27，即 P16,10−27；
②当 BP2=DP2 时，此时 P26,6；
③当 DB=DP3=8 时，
在 Rt△DEP3 中，DE=6，
根据勾股定理得：P3E=82−62=27，
所以 AP3=AE+EP3=27+2，即 P36,27+2，
综上，满足题意的 P 坐标为 6,6 或 6,27+2 或 6,10−27．
25. （1） 因为抛物线的对称轴为直线 x=1，AB=4，
所以 A−1,0，B3,0，
所以抛物线解析式为 y=x+1x−3，即 y=x2−2x−3．
（2） y1因为 x1<1，x2>1，
所以 M，N 在对称轴的两侧，
因为 x1+x2>2，
所以 x2−1>1−x1，
所以点 N 到直线 x=1 的距离比 M 点到直线 x=1 的距离远，
所以 y1 （3） ①作 PH⊥x 轴于 H，
因为 △OPD 为等腰直角三角形，
所以 PH=OH=OD，
当点 D 在 x 轴的正半轴上时，如图 1，
设 Pm,−m，则 D2m,0，
设抛物线的解析式为 y=xx−2m，
把 Pm,−m 代入得 mm−2m=−m，解得 m1=0（舍去），m2=1，即 P1,−1；
当点 D 在 x 轴的负半轴上时，如图 2，
设 Pm,m，则 D2m,0，
设抛物线的解析式为 y=xx−2m，
把 Pm,m 代入得 mm−2m=m，解得 m3=0（舍去），m4=−1，即 P−1,−1；
综上所述，P 点坐标为 1,−1 或 −1,−1；
② 1 或 3−22．
【解析】②当点 D 在 x 轴的正半轴上，如图 1，延长 HP 交 BC 于 Q，
设直线 BP 的解析式为 y=px+q，
把 B3,0，P1,−1 代入得 3p+q=0,p+q=−1, 解得 p=12,q=−32,
所以直线 BP 的解析式为 y=12x−32，
易得直线 BC 的解析式为 y=x−3；
则 Q1,−2，Em,12m−32，Fm,m−3，
S△PBC=12×1×3=32，
因为 △BEF 的面积：△BPC 的面积 =2:3，
所以 S△BEF=1，
所以 12−12m+323−m=1，解得 m5=5（舍去），m6=1；
当点 D 在 x 轴的负半轴上，如图 2，延长 HP 交 BC 于 Q，
同理可得直线 BP 的解析式为 y=14x−34，
则 Q−1,−4，Em,14m−34，Fm,m−3，
S△PBC=12×3×3=92，
因为 BEF 的面积：△BPC 的面积 =2:3，
所以 S△BEF=3，
所以 12−14m+343−m=3，解得 m7=3+22（舍去），m8=3−22，
综上所述，m 的值为 1 或 3−22．