人教版八年级上册15.1.1 从分数到分式精品随堂练习题

   15.1.1从分数到分式

一、单选题

1．若分式的值为零，则的值等于（    ）

A．﹣1 B．0 C．2 D．1

【答案】D

【分析】根据分式值为零的条件列出，且值需保证，即可得到答案．

【详解】要使分式的值为零，必须 ， ，

解得， ，

故选：D．

【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．

2．若a2-3a+1＝0，则a2+的值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得，再两边同时平方后得出，即可计算出结果．

【详解】由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a，

∵a≠0，

给a2+1＝3a两边同除以a，得，

则，

∴．

故选：C．

【点评】本题考查了求分式的值，根据已知求出是解题的关键．

3．若，则的值是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】先根据求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．

【详解】∵，即ab=-3（a-b），

∴原式==-3．

故选：A．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

4．分式的值为0，则（　　）

A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2

【答案】B

【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．

【详解】由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，

解得：x＝﹣2，

故选：B．

【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键．

5．分式有意义，则、满足的条件是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．

【详解】分式有意义，则x应满足的条件是x-3≠0，即x≠3，y为任意数．

故选：B．

【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．

6．下列各式中，分式有（    ）个 

，，，，，

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．

【详解】∵中的分母是3，不含字母，

∴不是分式；

∵中的分母是n，是整式，且是字母，

∴是分式；

∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a，

∴是分式；

∵中的分母是15，不含字母，

∴不是分式；

∵中的分母是，是整式，含字母x，y，

∴是分式；

∵中的分母是，是整式，含字母a，b，

∴是分式；

共有4个，

故选A．

【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．

7．若分式有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．取任意实数

【答案】C

【分析】根据分式有意义的基本条件计算即可．

【详解】∵分式有意义，

∴x-2≠0，

∴，

故选C．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟记有意义的条件，熟练转化成不等式是解题的关键．

8．使分式有意义的x的取值范围是（　　　）

A．x≠1 B．x≠0

C．x≠±1 D．x为任意实数

【答案】C

【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x的取值范围．

【详解】由题意，得x2−1≠0，

解得：x≠±1，

故选：C．

【点评】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

二、填空题

9．分式的值为0，则的值为_______________．

【答案】

【分析】根据分式的值为零的条件可得，且x+1≠0，再解即可．

【详解】由题意得：，且x+1≠0，

解得：x=1，

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

10．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个．

【答案】2

【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【详解】（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．

+x，，分母中含有字母，因此是分式．

分式有两个，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式．

11．已知x﹣＝1，则的值为_____．

【答案】2

【分析】将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果．

【详解】∵x﹣＝1

∴x2﹣1＝x，

∴x2＝x+1，

∴原式＝

＝

＝

＝

＝

＝2，

故答案为：2．

【点评】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．观察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八个分式__．

【答案】

【分析】通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为．

【详解】当n=8时，求得分式为：

所以答案为：．

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律．

三、解答题

13．已知,，求下列各式的值：

（1）和；

（2）+．

【答案】（1）5，1；（2）

【分析】（1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解；

（2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解．

【详解】（1）∵,，

∴①

②

①＋②得：

∴

①－②得：

∴

（2）+

将和代入上式可得：

原式

【点评】本题考查完全平方公式的运用、分式的化简求值，学会利用整体代入的思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式求出和的值．

14．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0

解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”

得①，或②，

解不等式组①得，x＞2，

解不等式组②得，x＜﹣3，

所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．

阅读例题，尝试解决下列问题：

（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；

（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．

【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）

【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；

（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．

【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解，

根据“两数相乘，同号得正”

得①，或②，

解不等式组①得，x＞3，

解不等式组②得，x＜﹣3，

∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；

（2）由题得不等式，

根据“两数相除，同号得正，异号得负”

得①，或②，

解不等式组①得，，

不等式组②无解，

∴原不等式的解集为．

【点评】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．

15．若a，b为实数，且，求3a﹣b的值．

【答案】2

【分析】根据题意可得，解方程组可得a,b,再代入求值.

【详解】∵，

∴，

解得，

∴3a﹣b=6﹣4=2．

故3a﹣b的值是2．

【点评】本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.

16．已知分式，试问：

当m为何值时，分式有意义？

当m为何值时，分式值为0？

【答案】（1）且；（2）

【分析】(1)根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式计算即可；

(2)根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．

【详解】由题意得，，

解得，且；

由题意得，且，

解得，，

则当时，此分式的值为零．

【点评】本题考查了分式有意义和分式为0的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键.

17．若分式有意义，求x的取值范围.

【答案】

【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．

【详解】∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0，解得：x≠﹣2、﹣3、﹣4．

【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．

18．若分式的值为零，求x的值．

莉莉的解法如下：

解：分式的值为零．

，．

请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法．

【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析．

【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解．

【详解】莉莉的解法不正确，正确的解法如下：

分式的值为零，

且，解得．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

19．观察下列等式：

根据上述规律解决下列问题：

①；

②；

③；

④；……

(1)完成第⑤个等式；

(2)写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)并证明其正确性．

【答案】（1）；（2），详见解析

【分析】(1)根据已知的等式即可写出第⑤个等式；

（2）发现规律即可得到第个等式，根据分式的运算法则即可求解．

【详解】（1）第5个等式为：

（2）猜想：第n个等式为：

证明：∵左边

右边

∴左边=右边

∴原式成立．

【点评】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据已知的等式找到规律．

20．已知，求的值.

【答案】 ；

【分析】根据得到，再把化简为，再把用替换，约分即可得到答案；

【详解】根据通分合并得到：

，即：，

∴；

【点评】本题主要考查了整体转换思想，把复杂的问题转换为简单的思想，通过对条件和结论的转换，最终求得问题的答案，求得是解本题的关键.