初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形优秀课时训练

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13.3.1等腰三角形  一、单选题1．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．2．若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（　　）A．10 B．12 C．14 D．10或14【答案】C【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可．【详解】当腰为2时，则三边为2、2、6，此时2+2＜6，不满足三角形的三边关系，不符合题意；当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为14；故选：C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．3．如图，直线，等腰直角三角板的底角顶点落在 上，直角顶点落在上，若，则的度数为（    ）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】D【分析】根据条件可得∠MCA=80゜，由，可得∠CAQ=∠MCA，根据等腰直角三角形的性质则可求得结果．【详解】∵由题意知，∠ACB=90゜，∠BAC=45゜∴∠MCA=∠ACB-∠BCM==90゜-10゜=80゜    ∵∴∠CAQ=∠MCA=80゜∴∠PAB=180゜-∠BAC-∠CAQ=55゜故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．4．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）．A．8 B．6或8 C．7 D．7或8【答案】D【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】∵，∴解得，①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.设，的面积分别为，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据作图过程可得是的平分线，根据角平分线的性质和，，可得，设，则，，根据三角形的面积公式分别求出，，再计算即可．【详解】根据作图过程可知：是的平分线，∴，∵，，∴∴，∴∴设，则在中，∴，，∴，，∴，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（　　）A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC【答案】C【分析】证明∠BEC=∠BCE，可得结论．【详解】由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，故选：C．【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．如图，在中，，，，则的度数为（    ）A．12° B．13° C．14° D．15°【答案】D【分析】可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，进而得到△CED≌△CFD，得到CF=BF，再利用等腰三角形的判定可得出结论．【详解】如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，在△CED和△CFD中，，∴△CED≌△CFD（AAS），∴CF=CE=AC=BC，∴CF=BF，∵DF⊥BC，∴BD=CD，∴∠DCB=∠CBD=15°，故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键．8．如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论．【详解】连接AC，AD，五边形ABCDE是正五边形，，，在△ABC和△AED中△ABC≌△AED，．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．  二、填空题9．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】连接OC，EO由折叠性质可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD∴∠ECO=∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即的度数为135°故答案为：135°【点评】主要在考查折叠的性质，学生动手操作的能力，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理，掌握折叠及等腰三角形的性质正确推理计算是解题关键．10．如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．【答案】【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．【详解】在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB= 在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=∵ ∴ = ===故答案为：．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=，∠BDC=是解答本题的关键．11．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且∴正五边形内角和为： ∴ ∴ ∵∴ ∴ 故答案为：36．【点评】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．12．如图，D是△ABC的AC边上一点，且AD＝DB，CD＝CB．若∠C＝100°，则∠A＝_____． 【答案】20°【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CDB=∠CBD，∠A=∠ABD，根据三角形内角和定理求出∠CDB+∠CBD=80°，求出∠CDB，根据三角形外角性质得出∠A+∠ABD=∠CDB，再求出答案即可．【详解】∵∠C=100°，∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C=80°，∵CD=CB，∴∠CDB=∠CBD=×80°＝40°，∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵∠A+∠ABD=∠CDB=40°，∴∠A=20°，故答案为：20°．【点评】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：等边对等角．13．在三角形ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于点H，若，则的大小为______．【答案】45°或135°【分析】根据同角的余角相等求出∠DCH=∠DAB，再利用“角角边”证明△ABD和△CHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CD，求出△ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACD=45°，然后分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可．【详解】∵AD，CE为高，∴∠ADB=∠CEB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∠DCH+∠B=90°，∴∠DCH=∠DAB，在△ABD和△CHD中，，∴△ABD≌△CHD（AAS），∴AD=CD，∵AD是高，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，如图1，△ABC是锐角三角形时，∠ACB=∠ACD=45°，如图2，△ABC是钝角三角形时，∠ACB=180°-∠ACD=180°-45°=135°，所以，∠ACB的大小为45°或135°．故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．14．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE=____________度．【答案】72【分析】证明AO=BO，求出∠ABO可得结论．【详解】∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴，∴AO=BO，∵∠BAE是正五边形ABCDE的一个角，∴∠BAE==108°，∵AE=AB，∠BAE=108°，∴∠AEB=∠ABE=36°，∴∠BAO=∠ABO=36°，∴∠AOE=∠BAO+∠ABO=36°+36°=72°，故答案为：72．【点评】本题考查正多边形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出∠ABE=36°． 三、解答题15．如图，已知，，与相交于点，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵，∴（AAS），∴，∴．【点评】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．16．已知：如图，点、、、在一条直线上，交于点，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）由，利用同位角相等可得．由，利用等式性质可得，可证；（2）由可得，由利用等角对等边，可求．利用三角形内角和可得．利用性质，可得．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴，即，在和中，∵，∴．（2）解：，∴，∵，∴．∴．∵，∴．【点评】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．17．如图，，．求证：．【答案】见解析．【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD=∠BAC，进而可证明结论．【详解】证明：在和中，∵∴≌（SAS）∴，∴．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明△ABD≌△BAC是解题的关键．18．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD=________．∵OC=CD，∴∠MOD=________．∴∠NOD=∠CDO．∴CDON（                ）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行【分析】（1）根据作图方法要求，依次完成即可；（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论．【详解】（1）解：补全图形，如图：          （2）证明： ∵OD平分∠MON，∴∠MOD=∠NOD．∵OC=CD，∴∠MOD=∠CDO．∴∠NOD=∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等，两直线平行．）故答案为：∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键．19．如图，点是中边上的一点，连接．（1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求证：．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图作的角平分线，交于点即可；（2）先根据三角形的外角性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．【详解】（1）作的角平分线，交于点，则点即为所求，如图所示： （2），，，，，，即，．【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．20．如图，与相交于点．（1）尺规作图：作的平分线，交于点，交的延长线于点.（要求：不写做法，只保留作图痕迹，并标明字母）（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据作角平分线的作法作图即可；（2）根据平行线的性质及角平分线的定义可分别得到∠BAG＝∠G，∠BAG＝∠DAG，等量代换可得∠G＝∠DAG，再由等腰三角形的判定即可证得DA＝DG．【详解】（1）解：如图，AF即为所求；（2）证明：∵，∴∠BAG＝∠G，∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG，∴∠G＝∠DAG，∴DA＝DG．【点评】本题考查了基本作图——作角平分线，平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解决本题的关键．21．已知：如图1，中，．（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形中①；②；③．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）【答案】（1）作图见详解；（2）①②；③【分析】（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E，连接AE，CE，即可；（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明，可得∠B=∠E，AB=CE，进而即可得到结论．【详解】（1）如图所示：（2）选择的条件是①②，结论是③，理由如下：延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，∵，∠DAC+∠EAC=180°，∴∠ACB=∠EAC，在和中，∵，∴，∴∠B=∠E，AB=CE，∵，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB，故答案是：①②；③．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．22．如图，，点在的延长线上，连接，，．求证：【答案】详见解析【分析】根据平行线性质得∠ABC=∠BCD，结合已知条件得△ABC≅△ECD（AAS），根据全等三角形性质可得CB=DC，根据等腰三角形性质可得结论．【详解】证明：∵∴∠ABC=∠BCD又∵，∴△ABC≅△ECD（AAS）∴CB=DC∴【点评】考核知识点：全等三角形、等腰三角形．利用全等三角形性质求出对应边相等，再利用等腰三角形性质求解是关键．