人教版九年级上册24.1.4 圆周角教案

这是一份人教版九年级上册24.1.4 圆周角教案，共18页。
教学时间

课题
24.1.1 圆
课型
新授课
教
学
目
标
知　识
和
能　力
探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．
过　程
和
方　法
体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
情　感
态　度
价值观
在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．
教学重点
圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．
教学难点
圆的运动式定义方法
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点．


图1
学生活动设计：
学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．
教师活动设计：
让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情．
二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神
活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆）

图2
学生活动设计：
学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．
教师活动设计：
在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：
圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；
圆心：固定的端点叫作圆心；
半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
于是得到圆的第二定义：
所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．
活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？

图3
学生活动设计：
学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．
教师活动设计：
在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．
弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；
直径：经过圆心的弦叫作直径；
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的；
劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的．
活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
（课件：车轮；课件：方形车轮）
学生活动设计：
学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．
教师活动设计：
引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．

图4
三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力
活动5：如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的理由
师生活动设计：
教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．
活动6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？

图5
师生活动设计：
首先求出半径，然后除以20即可．
〔解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）．
平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）．
小结：圆的两种定义以及相关概念．

作业
设计
必做
请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况．
选做

教
学
反
思

教学时间

课题
24．1．2 垂直于弦的直径
课型
新授课
教
学
目
标
知　识
和
能　力
探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
过　程
和
方　法
在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．
进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．
情　感
态　度
价值观
使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点
垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．
教学难点
利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）
学生活动设计：
学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
教师活动设计：
在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．
二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神
活动2：按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．

图1 图2
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)

学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合．因此AM=BM，=，同理得到．
教师活动设计：
在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
活动3：如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．

图3
学生活动设计：
学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．
教师活动设计：
在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．
〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，
在Rt△ADO中
，即．
解得
R＝10（m）．
答：此圆的半径是10 m．
活动4：如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法．

图4
师生活动设计：
根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．
〔解答〕1．连接AB；
2．作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点．
三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．
活动5 解决下列问题
1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．

图5 图6
学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．
〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到
OC⊥AB，OC⊥GF，
根据勾股定理容易计算
OE=1．5米，
OM=3．6米．
所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．
2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

图7 图8
师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．
〔解答〕
如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，
则AE=AB = 30 cm．令⊙O的半径为R，
则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
解得R =50 cm．
修理人员应准备内径为100 cm的管道．
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．

作业
设计
必做
习题24．1 第1题，第8题，第9题．
选做

教
学
反
思





















教学时间

课题
24．1．3 弧、弦、圆心角
课型
新授课
教
学
目
标
知　识
和
能　力
通过探索理解并掌握:
（1）圆的旋转不变性；
（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；
过　程
和
方　法
（1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；
（2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．
情　感
态　度
价值观
培养学生积极探索数学问题的态度及方法．
教学重点
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
教学难点
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1
1.按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

图1
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
(课件：探究三量关系)
师生活动设计：
教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．
在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．
师生活动设计：
本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．
二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．
活动2：
1．如图2，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．

图2
学生活动设计：
学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由，得到，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．
教师活动设计：
这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．
〔证明〕∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形．
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA．
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

图3
学生活动设计：
学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝×180°＝120°．
教师活动设计：
此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因．
三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力
活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
师生活动设计：
小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．

如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．
图4
教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．
小结：弦、圆心角、弧三量关系．


作业
设计
必做
习题24．1 第2、3题，第10题．
选做
P88：11、12
教
学
反
思


















教学时间

课题
24.1.4 圆周角
课型
新授课
教
学
目
标
知　识
和
能　力
1．了解圆周角与圆心角的关系．
2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．
3．能运用圆周角的性质解决问题．
过　程
和
方　法
1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．　　　　　　　　　　　　　　　
2．通过观察图形，提高学生的识图能力．
3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．
4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．
情　感
态　度
价值观
引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
教学重点
探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．
教学难点
发现并论证圆周角定理．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1 ]
演示课件或图片：









问题1
如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？

问题2
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？

教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．
教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．
教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．

教师关注：
1．问题的提出是否引起了学生的兴趣；
2．学生是否理解了示意图；
3．学生是否理解了圆周角的定义；
4．学生是否清楚了要研究的数学问题．

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学．
将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法．
引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．




［活动2］
问题1
同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？

问题2
同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？





教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．
在活动中，教师应关注：
1．学生是否积极参与活动；
2．学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．

由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化．
1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；
2．改变圆心角的度数；
3．改变圆的半径大小．

活动2的设计是为 引导学生发现．让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论．激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系．
［活动3］
问题1
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系)




问题2
当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？
















问题3
另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？








　　教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．
教师关注：
1．学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；
2．学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．

教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充．
教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．

教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论．
学生写出已知、求证，完成证明．
教师关注：
1．学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来；
2．学生能否证明出结论．

学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．
教师关注：
1．学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化；
2．学生添加辅助线的合理性；
3．学生是否会利用问题2的结论进行证明．
教师讲评学生的证明，板书圆周角定理．
数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问题、分析问题，并能解决问题．活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．
问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性．
　　问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题．
［活动4］

问题1
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）



问题2
90°的圆周角所对的弦是什么?





问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？

∠ABC=30°
∠A’B’C’=30°



问题4
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？



问题5
如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？


问题6
如图， ⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长．




学生独立思考，回答问题，教师讲评．

问题1提出后，教师关注：
学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数．



问题2提出后，教师关注：
学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径．

问题3提出后，教师关注：
学生能否得出正确的结论，并能说明理由．
教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件．






问题4提出后，教师关注：
学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等．

问题5提出后，教师关注：
学生是否准确找出同弧所对的圆周角．






问题6提出后，教师关注：
1．学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；
2．学生能否将要求的线段放到三角形里求解；
3．学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD．


活动4的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用．
问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论．问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件．问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题5、6是定理的应用．即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．










［活动5］
问题
通过本节课的学习你有哪些收获？


教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．
教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．

教师布置作业．


通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．
增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解．
课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展．

作业
设计
必做
教科书P87：4、5、6

选做
教科书P89：13、14、15
教
学
反
思