人教版九年级上册21.1 一元二次方程图片ppt课件

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引入的例子：某中学在操场中间要建造面积为20 平方米矩形的花坛，且矩形的长比宽长1米，问矩形的长与宽分别是多少米？
则矩形的长为（x+1）米，
分析：设矩形的宽这x米,
问：这个方程以前我们是否学习过？
若没有学过？它有什么特征？
x2 + x － 20=0观察这个方程，问：此方程有几个未知数？ 2 + －20=0
问：这个方程中的未知数的最高次数是几次？ x + x －20 = 0
引入一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
说明：⑴未知数个数1个。
⑵未知数的最高次数是2次。
当b≠0,c ≠0时，
当b=0或c =0时，
方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～
方程ax2+c=0 (a≠0)或ax2+b x=0都叫特殊的～.(～是一元二次方程)
下面给出一些常见的一元二次方程
下面给出一些常见的方程,不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程)
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0)
完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0)
特殊的一元二次方程
ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
ax2=0 (a≠0)
例１、方程　　　　　　　　　　是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.　移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.　合并同类项，得 3x2-5x-12=0.　∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
形如 （a≠0，c ≠ 0）的一元二次方程的解法：
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
按照流程我们了解了一元二次方程的定义,下面来看看一元二次方程的解法
一元二次方程的第一种解法:直接开方法
例2：解方程 3x2-27=0
移项，得 3x2=27
两边同除以3，得 x2=9
由平方根定义，得 x=±3
即原方程的根为x = 3或x = -3
练习1：解下列方程 （1） 5x2-4=0 （2）-7x2+7=0
练习2：解下列方程 （1）（1-x）2=9 可以变成（x-1）2=9 （2）4（1+2x）2-49=0
一元二次方程的第二种解法:配方法
1）把方程化成二次项系数是1的形式
2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有常数项。
3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4）再把方程左边化成完全平方式
5）最后用直接开平方法求方程的解。
解：两边同除以 2 ，得：
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0以下内容请不要当公式来背,可以多推导几次熟悉一下.-黄老师用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( )2 = -q+( )2
4. 用直接开平方法解方程 (x+ )2= -q
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2
用求根公式解一元二次方程的第三种方法叫做 公式法。
例5.用公式法解方程2x2+5x-3=0解: a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。
∴ x = = =
即 x1= - 3 x2=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0
解：a= ，b= ，c = . b2-4ac= = . x= = = .即 x1= , x2= .
52-4×3×(-2)
用公式法解下列方程：1、x2 +2x =52、 6t2 -5 =13t
例 6用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
解：移项，得x2 -2 x+3 = 0
a=1，b=-2 ，c=3
b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
练习:用公式法解方程1、 x2 - x -1= 02、 2x2 - 2 x+1= 0
一元二次方程解法有几种？我们已经介绍了解一元二次方程的三种通法.还有第四种,也就是最快捷最常用的方法:因式分解法.但这种不是解一元二次方程的通法.那么我们应该对各解法比较,灵活选择.
一元二次方程
当b=0，a、c异号时，方程宜用 法解
当c=0时，方程宜用 法解
当b≠0,c ≠0时，首先考虑用 法解；其次若二次项系数为1，一次项的系数为偶数，宜用 解； 最后考虑用 解。
例8 选用适当的方法解下列方程
把方程左边分解因式，得
较复杂的方程，先整理化简，再寻找合适的解法
练习1 用适当的方法解下列方程
练习2 用适当的方法解下列方程
你能想出方程的最简便的解法吗？
直接开平方法b=0,a、c异号
复习引入判别式一元二次方程的一般形式是什么？
配方，得：（x+ )2=
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
ax2+bx+c=0(a≠0)
⊿=b2-4ac＞0 =>⊿=b2-4ac=0 =>⊿=b2-4ac＜0 =>
其中 叫做一元二次方程根的判别式
例10若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ）A m ﹥0 B m ≥ 0 C m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
练习1 选择题1 不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ ）A )有两个不相等的实数根 B) 有两个相等的实数根C) 没有实数根 D)无法确定2 . 若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ）A)k ≤1.5 B)k ﹤1.5 C) k ≤1.5 且k≠1 D)k≥1.5
例11求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根
证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157
=（m-11）2+36
∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根
练习2 一、填空题1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是 _______________ 二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根.
例12已知关于x的一元二次方程 没有实数根，求k的最小整数值。
解：将原方程整理，得（2 k-1）x2-8x+6=0 根据题意，得 ∆ =（-8）2-4（2k-1）×6 ∴ k的最小整数值是2
练习3若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根。
提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0
一、选择题： 1、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　　　　）Ａ）k