2018年天津市东丽区中考数学二模试卷

这是一份2018年天津市东丽区中考数学二模试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算：−1−3=
A. −2B. 2C. −4D. 3

2. cs60∘=
A. 3B. 32C. 33D. 12

3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 中新社北京 11 月 10 日电，中组部负责人近日就做好中共十九大代表选举工作有关问题答记者问时介绍称，十九大代表名额共 2300 名，将 2300 用科学记数法表示应为
A. 23×102B. 23×103C. 2.3×103D. 0.23×104

5. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 76 的大小应在
A. 7 与 8 之间B. 8 与 9 之间C. 9 与 10 之间D. 11 与 12 之间

7. 化简：x21−x−x1−x=
A. 1B. −xC. xD. xx−1

8. 方程 x2−2x=0 的解为
A. x1=0，x2=2B. x1=0，x2=−2C. x1=x2=1D. x=2

9. 如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60∘，将 △ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到 △AʹBʹCʹ，再将 △AʹBʹCʹ 绕点 Aʹ 逆时针旋转一定角度后，点 Bʹ 恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为
A. 4，30∘B. 2，60∘C. 1，30∘D. 3，60∘

10. 已知 x1,y1，x2,y2，x3,y3 是反比例函数 y=−4x 的图象上的三个点，且 x10，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ．
A. y3
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若 ∠A=40∘，则 ∠EDF 的度数为
A. 75∘B. 70∘C. 65∘D. 60∘

12. 抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，其中 −20，正确的为
A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ①②③

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 a10÷a5= ．

14. 计算：32+2332−23= ．

15. 一个袋子中装有 4 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．

16. 请写出一个图象过点 0,1，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的一次函数的表达式： （填上一个答案即可）．

17. 如图，正方形 ABCD 内有两点 E，F 满足 AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形 ABCD 的边长为 ．

18. 如图所示，在每个边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，P 分别为小正方形的中点，B 为格点．
（I）线段 AB 的长度等于 ；
（Ⅱ）在线段 AB 上存在一个点 Q，使得点 Q 满足 ∠PQA=45∘，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出 ∠PQA，并简要说明你是怎么找到点 Q 的： ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2x−1<5, ⋯⋯①3x+12−1≥x, ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某教育局为了解本地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少?
（3）如果该地共有八年级学生 2000 人，请你估计“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少人?

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 D 为 ⊙O 上一点，过弧 BD 上一点 T 作 ⊙O 的切线 TC，且 TC⊥AD 于点 C．
（1）若 ∠DAB=50∘，求 ∠ATC 的度数；
（2）若 ⊙O 半径为 2，TC=3，求 AD 的长．

22. 如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需绕行 B 地．已知 B 地位于 A 地北偏东 67∘ 方向，距离 A 地 520 km，C 地位于 B 地南偏东 30∘ 方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数）
（参考数据：sin67∘≈1213，cs67∘≈513，tan67∘≈125，3≈1.73）

23. 某公交公司有A，B两种客车，它们的载客数量和租金如表：
AB载客量人/辆4530租金元/辆400280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共 5 辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车 x 辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含 x 的式子填写表格．
车辆数辆载客量租金元Ax45x400xB5−x
（2）若要保证租车费用不超过 1900 元，求 x 的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有 195 人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

24. 如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上．点 B 的坐标为 8,4，将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E．
（1）证明：EO=EB；
（2）点 P 是直线 OB 上的任意一点，且 △OPC 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标；
（3）点 M 是 OB 上任意一点，点 N 是 OA 上任意一点，若存在这样的点 M，N，使得 AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．

25. 如图，二次函数 y=−x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC=3，直线 l 是抛物线的对称轴，点 E 是抛物线的顶点．
（1）求 b，c 的值；
（2）如图 1，连 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标；
（3）如图 2，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M 、与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得 △PQN 与 △APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】−1−3=−1+−3=−4．
2. D【解析】cs60∘=12．
3. D【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确．
4. C
5. A
6. B【解析】∵64<76<81，
∴8<76<9，
∴76 的大小应在 8 与 9 之间．
7. B【解析】原式=xx−11−x=−x1−x1−x=−x.
8. A【解析】xx−2=0，
x=0 或 x−2=0，
所以 x1=0，x2=2．
9. B【解析】∵∠B=60∘，将 △ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到 △AʹBʹCʹ，再将 △AʹBʹCʹ 绕点 Aʹ 逆时针旋转一定角度后，点 Bʹ 恰好与点 C 重合，
∴∠AʹBʹC=60∘，AB=AʹBʹ=AʹC=4，
∴△AʹBʹC 是等边三角形，
∴BʹC=4，∠BʹAʹC=60∘，
∴BBʹ=6−4=2，
∴ 平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60∘．
10. A
11. B
12. C【解析】① ∵ 抛物线开口向下，抛物线对称轴位于 y 轴的左侧，
∴a，b 同号，故 ab>0，
∵ 抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，故 abc<0，故①正确；
② ∵ 抛物线开口方向向下，
∴a<0，
∵x=−b2a=h，且 −2 ∴4a ∴4a−b<0，
又 ∵h<0，
∴−b2a<1，
∴2a+b<0，
∴4a−b2a+b>0，故②错误；
③由②知：b>4a，
∴2b−8a>0, ⋯⋯1
当 x=−2 时，4a−2b+c>0, ⋯⋯2
由 1+2 得：4a−8a+c>0，即 4a−c<0．故③正确；
④当 x=−1 时，a−b+c>0，
∵OC=OB，
∴ 当 x=c 时，y=0，即 ac2+bc+c=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴ac=−b−1，
则 a+1c+1=ac+a+c+1=−b−1+a+c+1=a−b+c>0，故④正确；
∴ 本题正确的有：①③④．
第二部分
13. a5
【解析】原式=a10−5=a5.
14. 6
15. 23
【解析】袋子中球的总数为：4+2=6（个），摸到红球的概率为：46=23．
16. y=−x+1
【解析】设该一次函数解析式为 y=kx+b，
∵ 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，
∴k<0，取 k=−1．
∵ 一次函数图象过点 0,1，
∴1=b．
17. 522
【解析】连接 AC，交 EF 于点 M，
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∴∠E=∠F=90∘，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴AECF=EMFM，
∵AE=1，EF=FC=3，
∴EMFM=13，
∴EM=34，FM=94，
在 Rt△AEM 中，AM2=AE2+EM2=1+916=2516，解得 AM=54，
在 Rt△FCM 中，CM2=CF2+FM2=9+8116=22516，解得 CM=154，
∴AC=AM+CM=5，
在 Rt△ABC 中，AB=BC，AB2+BC2=AC2=25，
∴AB=522，即正方形的边长为 522．
18. 852，如图点 Q 即为所求：
构造正方形 EFGP，连接 PF 交 AB 于点 Q，点 Q 即为所求
【解析】（Ⅰ）构建勾股定理可知 AB=12+922=852．
第三部分
19. （1） x<3
（2） x≥1
（3）
（4） 1≤x<3
20. （1） 10%；36∘
【解析】a=1−40%+20%+25%+5%=1−90%=10%，圆心角的度数为 360∘×10%=36∘．
（2） 众数是 5 天，中位数是 6 天．
（3） 2000×25%+10%+5%=800（人）．
答：估计“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有 800 人．
21. （1） 连接 OT，如图 1：
∵TC⊥AD，⊙O 的切线 TC，
∴∠ACT=∠OTC=90∘，
∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO，
∴∠CAT=∠ATO，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠ATO，
∴∠CAT=∠ATO，
∴∠DAB=2∠CAT=50∘，
∴∠CAT=25∘，
∴∠ATC=90∘−25∘=65∘．
（2） 过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，连接 OT，OD，如图 2：
∵AC⊥CT，CT 切 ⊙O 于点 T，
∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90∘，
∴ 四边形 OECT 是矩形，
∴OT=CE=OD=2，
∵OE⊥AC，OE 过圆心 O，
∴AE=DE=12AD，
∵CT=OE=3，
在 Rt△OED 中，由勾股定理得：ED=OD2−OE2=22−32=1，
∴AD=2．
22. 过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
∵B 地位于 A 地北偏东 67∘ 方向，距离 A 地 520 km，
∴∠ABD=67∘，
∴AD=AB⋅sin67∘≈520×1213=624013=480 km，BD=AB⋅cs67∘≈520×513=260013=200 km．
∵C 地位于 B 地南偏东 30∘ 方向，
∴∠CBD=30∘，
∴CD=BD⋅tan30∘=200×33=20033 km，
∴AC=AD+CD=480+20033≈480+115=595km．
答：A 地到 C 地之间高铁线路的长为 595 km．
23. （1） 305−x；2805−x
【解析】∵ 载客量 = 汽车辆数 × 单车载客量，租金 = 汽车辆数 × 单车租金，
∴ B型客车载客量 =305−x（人）；
B型客车租金 =2805−x（人）；
填表如下：
车辆数辆载客量租金元Ax45x400xB5−x305−x2805−x
（2） 根据题意，400x+2805−x≤1900，
解得：x≤416，
∴x 的最大值为 4．
（3） 由（2）可知，x≤416，故 x 可能取值为 0，1，2，3，4，
①A型 0 辆，B型 5 辆，租车费用为 400×0+280×5=1400 元，但载客量为 45×0+30×5=150<195，故不合题意舍去；
②A型 1 辆，B型 4 辆，租车费用为 400×1+280×4=1520 元，但载客量为 45×1+30×4=165<195，故不合题意舍去；
③A型 2 辆，B型 3 辆，租车费用为 400×2+280×3=1640 元，但载客量为 45×2+30×3=180<195，故不合题意舍去；
④A型 3 辆，B型 2 辆，租车费用为 400×3+280×2=1760 元，但载客量为 45×3+30×2=195=195（人），符合题意；
⑤A型 4 辆，B型 1 辆，租车费用为 400×4+280×1=1880 元，但载客量为 45×4+30×1=210（人），符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型 3 辆，B型 2 辆．
24. （1） ∵ 将该长方形沿 OB 翻折，点 A 的对应点为点 D，OD 与 BC 交于点 E，
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB．
（2） ∵ 点 B 的坐标为 8,4，
∴ 直线 OB 解析式为 y=12x，
∵ 点 P 是直线 OB 上的任意一点，
∴ 设 Pa,12a．
∵O0,0，C0,4，
∴OC=4，PO2=a2+12a2=54a2，PC2=a2+4−12a2．
当 △OPC 是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：
①如果 PO=PC，那么 PO2=PC2，则 54a2=a2+4−12a2，
解得 a=4，即 P4,2；
②如果 PO=OC，那么 PO2=OC2，则 54a2=16，
解得 a=±855，即 P855,455 或 P−855,−455；
③如果 PC=OC 时，那么 PC2=OC2，则 a2+4−12a2=16，
解得 a=0（舍）或 a=165，即 P165,85；
故满足条件的点 P 的坐标为 4,2 或 855,455 或 P−855,−455 或 165,85．
（3） AM+MN 的最小值为 325．
【解析】如图，过点 D 作 OA 的垂线交 OB 于点 M，交 OA 于点 N，
此时的点 M，N 是 AM+MN 的最小值的位置，求出 DN 就是 AM+MN 的最小值．
由（1）有，EO=EB，
∵ 长方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为 8,4，
设 OE=x，则 DE=8−x，
在 Rt△BDE 中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，
∴16+8−x2=x2，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴DE=3，BE=5，BD=4，
∵S△BDE=12DE×BD=12BE×DG，
∴DG=DE×BDBE=125，
由题意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=125+4=325．
即：AM+MN 的最小值为 325．
25. （1） ∵OB=OC=3，
∴B3,0，C0,3，
将其代入 y=−x2+bx+c，得 −32+3b+c=0,c=3, 解得 b=2,c=3.
（2） 设点 F 的坐标为 0,m．
∵ 对称轴为直线 x=1，
∴ 点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 的坐标为 2,m．
由（I）可知抛物线解析式为 y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴E1,4，
∵ 直线 BE 经过点 B3,0，E1,4，
∴ 利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y=−2x+6．
∵ 点 F 在 BE 上，
∴m=−2×2+6=2，即点 F 的坐标为 0,2．
（3） 存在点 Q 满足题意．
设点 P 坐标为 n,0，则 PA=n+1，PB=PM=3−n，PN=−n2+2n+3．
过点 Q 作 QR⊥PN，垂足为点 R，
∵S△PQN=S△APM，
∴12n+13−n=12−n2+2n+3⋅QR，
∴QR=1．
①点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为 n−1,−n2+4n，R 点的坐标为 n,−n2+4n，N 点的坐标为 n,−n2+2n+3，
∴ 在 Rt△QRN 中，NQ2=1+2n−32，
∴n=32 时，NQ 取最小值 1，此时 Q 点的坐标为 12,154；
②点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为 n+1,−n2+4，
同理，NQ2=1+2n−12，
∴n=12 时，NQ 取最小值 1，此时 Q 点的坐标为 32,154．
综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为 12,154 或 32,154．