2018年北京市昌平区中考二模数学试卷

这是一份2018年北京市昌平区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 将一副直角三角板如图放置，那么 ∠AOB 的大小为
A. 150∘B. 135∘C. 120∘D. 90∘

2. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. a>cB. bc>0
C. a+d>0D. b<−2

3. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，a∥b，以直线 b 上两点 A 和 B 为顶点的 Rt△ABC（其中 ∠C=90∘）与直线 a 相交，若 ∠1=30∘，则 ∠ABC 的度数为
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘

5. 第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简．如图，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，如果表示国际特色农产品馆的坐标为 −5,0，表示科技生活馆的点的坐标为 6,2，则表示多彩农业馆所在的点的坐标为
A. 3,5B. 5,−4C. −2,5D. −3,3

6. 某九年一贯制学校在六年级和九年级的男生中分别随机抽取 40 名学生测量他们的身高，将数据分组整理后，绘制的频数分布直方图如图，其中两条纵向虚线上端的数值分别是每个年级抽出的 40 名男生身高的平均数，根据统计图提供的信息，下列结论不合理的是
A. 六年级 40 名男生身高的中位数在第 153∼158 cm 组
B. 可以估计该校九年级男生的平均身高比六年级的平均身高高出 18.6 cm
C. 九年级 40 名男生身高的中位数在第 168∼173 cm 组
D. 可以估计该校九年级身高不低于 158 cm 但低于 163 cm 的男生所占的比例大约是 5%

7. 某校九年级（1）班在“迎中考百日誓师”活动中打算制做一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字．如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是
A. 舍B. 我C. 其D. 谁

8. 一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是
A. 甲乙两地相距 1200 千米
B. 快车的速度是 80 千米/小时
C. 慢车的速度是 60 千米/小时
D. 快车到达甲地时，慢车距离乙地 100 千米

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个满足 3
10. 如图，∠1 是五边形 ABCDE 的一个外角．若 ∠1=60∘，则 ∠A+∠B+∠C+∠D 的度数为 ．

11. 如果 a2+a−3=0，那么代数式 a+2a+1a⋅a2a+1 的值是 ．

12. 近年来，随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者开始接受并购买新能源汽车，我国新能源汽车的生产量和销售量都大幅增长，如图是 2014∼2017 年新能源汽车生产和销售的情况：根据统计图中提供的信息，预估全国 2018 年新能源汽车销售量约为 万量，你的预估理由是 ．

13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共三卷．卷上叙述了算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，卷下对后世的影响最深，其中卷下记载这样一道经典的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”意思是：“鸡和兔关在一个笼子里，从上面看，有 35 个头；从下面看，有 94 条脚．问笼中各有多少只鸡和多少只兔?”，设有鸡 x 只，兔子 y 只，可列方程组为 ．

14. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为 2.0 米，树的底部与平面镜的水平距离为 8.0 米，若小文的眼睛与地面的距离为 1.6 米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）．

15. “直角”在初中几何学习中无处不在．
课堂上李老师提出一个问题：如图，已知 ∠AOB．判断 ∠AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
小丽的方法：如图，在 OA，OB 上分别取点 C，D，以点 C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 OB 的反向延长线于点 E．
若 OE=OD，则 ∠AOB=90∘．
李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ．

16. 如图，在圆 O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60∘，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：6sin45∘−18+2−3+22−30．

18. 本题给出解不等式组 −2x<4, ⋯⋯①5x≤4x+3 ⋯⋯② 的过程，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（4）此不等式组的解集为 ．

19. 解方程：xx−3−3x2−9=1．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−n+3x+3n=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的 n 值，写出这个方程并求出此时方程的根．

21. 如图，已知 △ACB 中，∠ACB=90∘，CE 是 △ACB 的中线，分别过点 A 、点 C 作 CE 和 AB 的平行线，交于点 D．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）若 CE=4，且 ∠DAE=60∘，求 △ACB 的面积．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+ba≠0 与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于点 A4,1 和 B−1,n．
（1）求 n 的值和直线 y=ax+b 的表达式；
（2）根据这两个函数的图象，直接写出不等式 ax+b−kx<0 的解集．

23. 某学校八、九两个年级各有学生 180 人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：
从八、九两个年级各随机抽取 20 名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
八年级
7886748175768770759075798170748086698377
九年级
9373888172819483778380817081737882807040
（1）整理、描述数据：
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 80 分及以上为体质健康优秀，70∼79 分为体质健康良好，60∼69 分为体质健康合格，60 分以下为体质健康不合格）
分析数据：
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级平均数中位数众数方差八年级九年级7880.552.1
请将以上两个表格补充完整；
（2）得出结论：
（1）估计九年级体质健康优秀的学生人数为 ；
（2）可以推断出 年级学生的体质健康情况更好一些，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 F，连接 DF．
（1）求证：DF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 BC，若 ∠BCF=30∘，BF=2，求 CD 的长．

25. 有这样一个问题：探究函数 y=16x3−2x 的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数 y=16x3−2x 的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
x⋯−4−3.5−3−2−101233.54⋯y⋯−83−74832831160−116−83m74883⋯
（1）求 m 的值为 ；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（3）方程 16x3−2x=−2 实数根的个数为 ；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质 ；
（5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线 y=12x，根据图象写出方程 16x3−2x=12x 的一个正数根约为 （精确到 0.1）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）若点 Pm,n 是抛物线上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 D．
①在 a>0 的条件下，当 −2≤m≤2 时，n 的取值范围是 −4≤n≤5，求抛物线的表达式；
②若 D 点坐标 4,0，当 PD>AD 时，求 a 的取值范围．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC>BC，BD 是 AC 边上的高，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E，连接 BE．
（1）①依题意补全图形；
②若 ∠BAC=α，求 ∠DBE 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2）若 DE=2AE，点 F 是 BE 中点，连接 AF，BD=4，求 AF 的长．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C 我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．
例如：点 A−2,0，点 B1,1，点 C−1,−2，则 A，B，C 三点的“横长”a=1−−2=3，A，B，C 三点的“纵长”b=1−−2=3．因为 a=b，所以 A，B，C 三点为正方点．
（1）在点 R3,5，S3,−2，T−4,−3 中，与点 A，B 为正方点的是 ；
（2）点 P0,t 为 y 轴上一动点，若 A，B，P 三点为正方点，t 的值为 ；
（3）已知点 D1,0．
①平面直角坐标系中的点 E 满足以下条件：点 A，D，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点 E 组成的图形；
②若直线 l：y=12x+m 上存在点 N，使得 A，D，N 三点为正方点，直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. B
5. C
6. A
7. D
8. C
第二部分
9. 答案不唯一：2，3，4
10. 420∘
11. 3
12. 答案不唯一（只要理由合理均可给分），答案不唯一（只要理由合理均可给分）
13. x+y=35,2x+4y=94
14. 6.4
15. 两条边相等的三角形为等腰三角形，等腰三角形的三线合一
16. 833
第三部分
17. 6sin45∘−18+2−3+22−30=32−32+2−3+1=3−3.
18. （1） x>−2
（2） x≤3
（3） 如图所示：
（4） −219.
xx−3−3x2−9=1.
去分母得：
xx+3−3=x2−9.
解得：
x=−2.
检验：把 x=−2 代入 x2−9=−5≠0，
∴ 方程的解为 x=−2．
20. （1） ∵Δ=n+32−12n=n−32，
∵n−32≥0，
∴ 方程有两个实数根．
（2） 答案不唯一．例如：
∵ 方程有两个不相等的实根，
∴n≠3，
n=0 时，方程化为 x2−3x=0，
因式分解为：xx−3=0，
∴x1=0，x2=3．
21. （1） 因为 AD∥CE，CD∥AE，
所以四边形 AECD 为平行四边形．
因为 ∠ACB=90∘，CE 是 △ACB 的中线，
所以 CE=AE．
所以四边形 ADCE 是菱形．
（2） 因为 CE=4，AE=CE=EB，
所以 AB=8，AE=4．
因为四边形 ADCE 是菱形，∠DAE=60∘，
所以 ∠CAE=30∘．
因为在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，AB=8，
cs∠CAB=ACAB=32，CB=12AB=4，
所以 AC=43，
所以 S△ABC=12AC⋅BC=83．
22. （1） 把点 A4,1 代入 y=kx，解得 k=4．
把点 B−1,n 代入 y=4x，解得 n=−4．
点 A4,1 和 B−1,−4 代入 y=ax+ba≠0 得 4k+b=1,−k+b=−4,
解得 k=1,b=−3.
∴ 一次函数的表达式为 y=x−3．
（2） x<−1 或 023. （1）
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级平均数中位数众数方差八年级九年级7880.58152.1
（2） （1）108
（2）略；答案不唯一，理由需支撑推断结论
24. （1） 连接 OD．
因为 CF 是 ⊙O 的切线，
所以 ∠OCF=90∘．
所以 ∠OCD+∠DCF=90∘，
因为 直径AB⊥弦CD，
所以 CE=ED，即 OF 为 CD 的垂直平分线．
所以 CF=DF．
所以 ∠CDF=∠DCF．
因为 OC=OD，
所以 ∠CDO=∠OCD．
所以 ∠CDO+∠CDF=∠OCD+∠DCF=90∘．
所以 OD⊥DF．
所以 DF 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 OD．
因为 ∠OCF=90∘，∠BCF=30∘，
所以 ∠OCB=60∘．
因为 OC=OB，
所以 △OCB 为等边三角形．
所以 ∠COB=60∘．
所以 ∠CFO=30∘．
所以 FO=2OC=2OB．
所以 FB=OB=OC=2．
在直角三角形 OCE 中，∠CEO=90∘，∠COE=60∘，
sin∠COE=CEOC=32．
所以 CE=3．
所以 CD=2CE=23．
25. （1） −32
（2） 如图所示：
（3） 3 个
（4） 图象关于原点中心对称，x>2 时，y 随 x 的增大而增大等（答案不唯一）
（5）
3.9（答案不唯一）
26. （1） 把 y=0 代入二次函数得：ax2−2x−3=0，即 ax−3x+1=0，
∴x1=3，x2=−1，
∵ 点 A 在点 B 的左侧，
∴A−1,0，B3,0．
（2） ①抛物线的对称轴为直线：x=−−2aa=1；
由题意二次函数的顶点为 1,−4a，
代入解析式，可得 a=1，
抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．
② ∵D 点坐标 4,0，PD⊥x 轴，
∴ 点 P 的横坐标为 4，代入 y=ax2−2ax−3a 得 y=5a，
∵D 点坐标 4,0，A 点坐标 −1,0，
∴AD=5，
∵PD>AD，
∴a>1．
27. （1） ①如图．
②因为 AB=AC，∠BAC=α，
所以 ∠ABC=∠ACB=90∘−12α．
因为点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E，BD 是 AC 边上的高，
所以 BD⊥CE，CD=DE．
所以 BE=BC．
所以 ∠BEC=∠ACB=90∘−12α．
所以 ∠DBE=12α．
（2） 作 FG⊥AC 于 G．
因为 BD⊥CE，
所以 FG∥BD．
因为点 F 是 BE 中点，
所以 EG=DG．
所以 FG=12BD．
因为 DE=2AE，
所以 AE=EG=DG．
设 AE=EG=DG=x，则 CD=DE=2x，AC=5x，
所以 AB=AC=5x．
所以 BD=4x．
因为 BD=4，
所以 x=1．
所以 AG=2．
因为 FG=12BD=2，
所以 AF=22．
28. （1） 点 R
（2） −2 或 3
（3） ①画出如图所示的图象；
② m≥52 或 m≤−2．