2018年北京市西城区中考二模数学试卷

这是一份2018年北京市西城区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，a∥b，直线 a 与直线 b 之间的距离是
A. 线段 PA 的长度B. 线段 PB 的长度
C. 线段 PC 的长度D. 线段 CD 的长度

2. 将某不等式组的解集 −1≤x<3 表示在数轴上，下列表示正确的是
A. B.
C. D.

3. 下列运算中，正确的是
A. x2+5x2=6x4B. x3⋅x2=x6C. x23=x6D. xy3=xy3

4. 下列实数中，在 2 和 3 之间的是
A. πB. π−2C. 325D. 328

5. 一副直角三角板如图放置，其中 ∠C=∠DFE=90∘，∠A=45∘，∠E=60∘，点 F 在 CB 的延长线上．若 DE∥CF，则 ∠BDF 等于
A. 35∘B. 30∘C. 25∘D. 15∘

6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF．观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是
A. EFAB=CFFBB. EFAB=CFCBC. CECA=CFFBD. CEEA=CFCB

7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了 10 名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如表：
选手12345678910时间min129136140145146148154158165175
由此所得的以下推断不正确的是
A. 这组样本数据的平均数超过 130
B. 这组样本数据的中位数是 147
C. 在这次比赛中，估计成绩为 130 min 的选手的成绩会比平均成绩差
D. 在这次比赛中，估计成绩为 142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好

8. 如图 1 所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为 20 m/s 和 vm/s，起初甲车在乙车前 am 处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设 xs 后两车相距 ym，y 与 x 的函数关系如图 2 所示．有以下结论：
①图 1 中 a 的值为 500；
②乙车的速度为 35 m/s；
③图 1 中线段 EF 应表示为 500+5x；
④图 2 中函数图象与 x 轴交点的横坐标为 100．
其中所有的正确结论是
A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如果 2−x 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

10. 不透明袋子中装有 5 个红色球和 3 个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．

11. 如图，等边三角形 ABC 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积等于 ．

12. 某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方．社长发现若购买 2 个A款魔方和 6 个B款魔方共需 170 元，购买 3 个A款魔方和购买 8 个B款魔方所需费用相同．求每款魔方的单价．设A款魔方的单价为 x 元，B款魔方的单价为 y 元，依题意可列方程组为 ．

13. 如图，在矩形 ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形 EFGH．若 AB=8，AD=6，则四边形 EFGH 的周长等于 ．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y=3x+22−1 平移后得到抛物线 y=3x2+2．请你写出一种平移方法．答： ．

15. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AC 与 ⊙O 相切于点 A，弦 BD∥OC．若 ∠C=36∘，则 ∠DOC= ∘．

16. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，A−3,0，B4,0，边 AD 长为 5．现固定边 AB，“推”矩形使点 D 落在 y 轴的正半轴上（落点记为 Dʹ），相应地，点 C 的对应点 Cʹ 的坐标为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：6cs60∘−27+π−20−3−2．

18. 解方程：xx−2+12−x=3．

19. 如图，在四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，DE⊥AB 于点 E，∠A=66∘，∠ABC=90∘，BC=AD，求 ∠C 的度数．

20. 先化简，再求值：1−5x+2÷x2−6x+9x+2，其中 x=−5．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AB 于点 B，BE=CD，连接 CE，DE．
（1）求证：四边形 CDBE 为矩形；
（2）若 AC=2，tan∠ACD=12，求 DE 的长．

22. 阅读下列材料：
材料一：
早在 2011 年 9 月 25 日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011 年全年网络售票仅占 1.68%．2012 年至 2014 年，全年网络售票占比都在 2% 左右．2015 年全年网络售票占 17.33%，2016 年全年网络售票占比增长至 41.14%．2017 年 8 月实现网络售票占比 77%．2017 年 10 月 2 日，首次实现全部网上售票．与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务．实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验．
材料二：
以下是某同学根据网上搜集的数据制作的 2013∼2017 年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表．
年度20132014201520162017参观人数人次74500007630000729000075500008060000年增长率%38.72.4−
他还注意到了如下的一则新闻：2018 年 3 月 8 日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观．国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战．参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的．但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样．”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式．
根据以上信息解决下列问题．
（1）补全以下两个统计图；
（2）请你预估 2018 年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=mxx<0 的图象经过点 A−4,n，AB⊥x 轴于点 B，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，CD⊥x 轴于点 D，△ABD 的面积为 8．
（1）求 m，n 的值；
（2）若直线 y=kx+bk≠0 经过点 C，且与 x 轴，y 轴的交点分别为点 E，F，当 CF=2CE 时，求点 F 的坐标．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦 CD⊥AB 于点 E，且 DC=AD．过点 A 作 ⊙O 的切线，过点 C 作 DA 的平行线，两直线交于点 F，FC 的延长线交 AB 的延长线于点 G．
（1）求证：FG 与 ⊙O 相切；
（2）连接 EF，求 tan∠EFC 的值．

25. 阅读下面材料：
已知：如图，在正方形 ABCD 中，边 AB=a1．
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小．
请解决以下问题．
（1）完成表格中的填空：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
（2）根据以上第三步､第四步的作法画出第三个正方形 CHIJ（不要求尺规作图）．

26. 抛物线 M：y=ax2−4ax+a−1a≠0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），抛物线的顶点为 D．
（1）抛物线 M 的对称轴是直线 ；
（2）当 AB=2 时，求抛物线 M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线 l：y=kx+bk≠0 经过抛物线的顶点 D，直线 y=n 与抛物线 M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为 x1，x2，直线 y=n 与直线 l 的交点的横坐标记为 x3x3>0，若当 −2≤n≤−1 时，总有 x1−x3>x3−x2>0，请结合函数的图象，直接写出 k 的取值范围．

27. 如图 1，在等边三角形 ABC 中，CD 为中线，点 Q 在线段 CD 上运动，将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 E 落在射线 BC 上，连接 BQ，设 ∠DAQ=α（0∘<α<60∘ 且 α≠30∘）．
（1）当 0∘<α<30∘ 时，
①在图 1 中依题意画出图形，并求 ∠BQE（用含 α 的式子表示）；
②探究线段 CE，AC，CQ 之间的数量关系，并加以证明；
（2）当 30∘<α<60∘ 时，直接写出线段 CE，AC，CQ 之间的数量关系．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 Qx,yx≠0，将它的纵坐标 y 与横坐标 x 的比 yx 称为点 Q 的“理想值”，记作 LQ．如 Q−1,2 的“理想值”LQ=2−1=−2．
（1）①若点 Q1,a 在直线 y=x−4 上，则点 Q 的“理想值”LQ 等于 ；
②如图，C3,1，⊙C 的半径为 1．若点 Q 在 ⊙C 上，则点 Q 的“理想值”LQ 的取值范围是 ．
（2）点 D 在直线 y=−33x+3 上，⊙D 的半径为 1，点 Q 在 ⊙D 上运动时都有 0≤LQ≤3，求点 D 的横坐标 xD 的取值范围；
（3）M2,mm>0，Q 是以 r 为半径的 ⊙M 上任意一点，当 0≤LQ≤22 时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径 r 的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. C
5. D
6. B
7. C
8. A
第二部分
9. x≤2
10. 38
11. 43π
12. 2x+6y=170,3x=8y
13. 20
14. 答案不唯一，例如，将抛物线 y=3x+22−1 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到抛物线 y=3x2+2
15. 54
16. 7,4
第三部分
17. 6cs60∘−27+π−20−3−2=6×12−33+1−2−3=3−33+1−2+3=2−23.
18. 去分母，得
x−1=3x−2.
去括号，得
x−1=3x−6.
移项，得
3x−x=6−1.
合并同类项，得
2x=5.
系数化为 1，得
x=52.
经检验，原方程的解为 x=52．
19. 如图，连接 BD．
因为 E 为 AB 的中点，DE⊥AB 于点 E，
所以 AD=BD．
所以 ∠1=∠A．
因为 ∠A=66∘，
所以 ∠1=66∘．
因为 ∠ABC=90∘，
所以 ∠2=∠ABC−∠1=24∘．
因为 AD=BC，
所以 BD=BC．
所以 ∠C=∠3．
所以 ∠C=180∘−∠22=78∘．
20. 1−5x+2÷x2−6x+9x+2=x−3x+2×x+2x−32=1x−3.
当 x=−5 时，原式=−18．
21. （1） 如图．
因为 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AB 于点 B，
所以 ∠CDA=∠DBE=90∘．
所以 CD∥BE．
又因为 BE=CD，
所以四边形 CDBE 为平行四边形．
又因为 ∠DBE=90∘，
所以四边形 CDBE 为矩形．
（2） 因为四边形 CDBE 为矩形，
所以 DE=BC．
因为在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，
可得 ∠ACD=∠1．
因为 tan∠ACD=12，
所以 tan∠1=tan∠ACD=12．
因为在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，tan∠1=12，
所以 BC=ACtan∠1=4．
所以 DE=BC=4．
22. （1） 补全统计图如图．
（2） 答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．
23. （1） 如图 1．
因为点 A 的坐标为 A−4,n，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，
所以点 C 的坐标为 C4,−n．
因为 AB⊥x 轴于点 B，CD⊥x 轴于点 D，
所以 B，D 两点的坐标分别为 B−4,0，D4,0．
因为 △ABD 的面积为 8，S△ABD=12AB×BD=12×−n×8=−4n，
所以 −4n=8．
解得 n=−2．
因为函数 y=mxx<0 的图象经过点 A−4,n，
所以 m=−4n=8．
（2） 由（1）得点 C 的坐标为 C4,2．
①如图 1，当 k<0 时，设直线 y=kx+b 与 x 轴，y 轴的交点分别为点 E1，F1．
由 CD⊥x 轴于点 D 可得 CD∥OF1．
所以 △E1CD∽△E1F1O．
所以 DCOF1=E1CE1F1．
因为 CF1=2CE1，
所以 DCOF1=13．
所以 OF1=3DC=6．
所以点 F1 的坐标为 F10,6．
②如图 2，
当 k>0 时，设直线 y=kx+b 与 x 轴，y 轴的交点分别为点 E2，F2．
同理可得 CD∥OF2，DCOF2=E2CE2F2．
因为 CF2=2CE2，
所以 E2 为线段 CF2 的中点，E2C=E2F2．
所以 OF2=DC=2．
所以点 F2 的坐标为 F20,−2．
综上所述，点 F 的坐标为 F10,6，F20,−2．
24. （1） 如图，连接 OC，AC．
因为 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
所以 CE=DE，AD=AC．
因为 DC=AD，
所以 DC=AD=AC．
所以 △ACD 为等边三角形．
所以 ∠D=∠DCA=∠DAC=60∘．
所以 ∠1=12∠DCA=30∘．
因为 FG∥DA，
所以 ∠DCF+∠D=180∘．
所以 ∠DCF=180∘−∠D=120∘．
所以 ∠OCF=∠DCF−∠1=90∘．
所以 FG⊥OC．
所以 FG 与 ⊙O 相切．
（2） 如图，作 EH⊥FG 于点 H．
设 CE=a，则 DE=a，AD=2a．
因为 AF 与 ⊙O 相切，
所以 AF⊥AG．
又因为 DC⊥AG，
可得 AF∥DC．
又因为 FG∥DA，
所以四边形 AFCD 为平行四边形．
因为 DC=AD，AD=2a，
所以四边形 AFCD 为菱形．
所以 AF=FC=AD=2a，∠AFC=∠D=60∘．
由（1）得 ∠DCG=60∘，EH=CE⋅sin60∘=32a，CH=CE⋅cs60∘=12a．
所以 FH=CH+CF=52a．
因为在 Rt△EFH 中，∠EHF=90∘，
所以 tan∠EFC=EHFH=32a52a=35．
25. （1） ①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
② 2−1a1；
③ 2−12a1；
④ 2−1n−1a1
（2） 所画正方形 CHIJ 见如图．
26. （1） x=2
（2） 因为抛物线 y=ax2−4ax+a−1 的对称轴为直线 x=2，抛物线 M 与 x 轴的交点为点 A，B（点 A 在点 B 左侧），AB=2，
所以 A，B 两点的坐标分别为 A1,0，B3,0．
因为点 A 在抛物线 M 上，
所以将 A1,0 的坐标代入抛物线的函数表达式，得 a−4a+a−1=0．
解得 a=−12．
所以抛物线 M 的函数表达式为 y=−12x2+2x−32．
（3） k>54．
【解析】如图．
27. （1） 当 0∘<α<30∘ 时，
①画出的图形如图 2 所示．
因为 △ABC 为等边三角形，
所以 ∠ABC=60∘．
因为 CD 为等边 △ABC 的中线，Q 为线段 CD 上的点，
由等边三角形的对称性得 QA=QB．
因为 ∠DAQ=α，
所以 ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60∘−α．
因为线段 QE 为线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转所得，
所以 QE=QA．
所以 QB=QE．
可得 ∠BQE=180∘−2∠QBE=180∘−260∘−α=60∘+2α．
② CE+AC=3CQ．
证法一：
如图 3，延长 CA 到点 F，使得 AF=CE，连接 QF，作 QH⊥AC 于点 H．
因为 ∠BQE=60∘+2α，点 E 在 BC 上，
所以 ∠QEC=∠BQE+∠QBE=60∘+2α+60∘−α=120∘+α．
因为点 F 在 CA 的延长线上，∠DAQ=α，
所以 ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120∘+α．
所以 ∠QAF=∠QEC．
又因为 AF=CE，QA=QE，
所以 △QAF≌△QEC．
所以 QF=QC．
因为 QH⊥AC 于点 H，
所以 FH=CH，CF=2CH．
因为在等边三角形 ABC 中，CD 为中线，点 Q 在 CD 上，
所以 ∠ACQ=12∠ACB=30∘，即 △QCF 为底角为 30∘ 的等腰三角形．
所以 CH=CQ⋅cs∠HCQ=CQ⋅cs30∘=32CQ．
所以 CE+AC=AF+AC=CF=2CH=3CQ．
即 CE+AC=3CQ．
思路二：
如图 4，延长 CB 到点 G，使得 BG=CE，连接 QG，
可得 △QBG≌△QEC，△QCG 为底角为 30∘ 的等腰三角形，
与证法一同理可得 CE+AC=BG+BC=CG=3CQ．
（2） AC−CE=3CQ．
【解析】如图 5，
当 30∘<α<60∘ 时，AC−CE=3CQ．
28. （1） ① −3；
② 0≤LQ≤3
（2） 设直线 y=−33x+3 与 x 轴，y 轴的交点分别为点 A，点 B，可得 A33,0，B0,3．
所以 OA=33，OB=3，∠OAB=30∘．
由 0≤LQ≤3，作直线 y=3x．
①如图 1，当 ⊙D 与 x 轴相切时，相应的圆心 D1 满足题意，其横坐标取到最大值．
作 D1E1⊥x 轴于点 E1，
可得 D1E1∥OB，D1E1BO=AE1AO．
因为 ⊙D 的半径为 1，
所以 D1E1=1．
所以 AE1=3，OE1=OA−AE1=23．
所以 xD1=23．
②如图 2，当 ⊙D 与直线 y=3x 相切时，相应的圆心 D2 满足题意，其横坐标取到最小值．
作 D2E2⊥x 轴于点 E2，
则 D2E2⊥OA．
设直线 y=3x 与直线 y=−33x+3 的交点为 F．
可得 ∠AOF=60∘，OF⊥AB．
则 AF=OA⋅cs∠OAF=33×32=92．
因为 ⊙D 的半径为 1，
所以 D2F=1．
所以 AD2=AF−D2F=72．
所以 AE2=AD2⋅cs∠OAF=72×32=734，OE2=OA−AE2=534．
所以 xD2=534．
由①②可得，xD 的取值范围是 534≤xD≤23．
（3） 画图见图 3．
2．