2018年东莞市中堂星晨学校中考一模数学试卷

这是一份2018年东莞市中堂星晨学校中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重．森林是“地球之肺”，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物，2830000000 可用科学记数法表示为
A. 28.3×108B. 2.83×109C. 2.83×10D. 2.83×107

2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 某大米包装袋上标注着“净含量 10 kg±150 g”，小华从商店买了 2 袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是
A. 100 gB. 150 gC. 300 gD. 400 g

4. 下列因式分解正确的是
A. x2−4=x+4x−4B. x2+x+1=x+12
C. x2−2x−3=x−12−4D. 2x+4=2x+2

5. 一个菱形的两条对角线的长分别为 5 和 8，那么这个菱形的面积是
A. 40B. 20C. 10D. 25

6. 一个不透明的袋子中装有 2 个红球、 3 个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是
A. 至少有 1 个球是红球B. 至少有 1 个球是白球
C. 至少有 2 个球是红球D. 至少有 2 个球是白球

7. 如图，一只蚂蚁从长宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是
A. 32+8B. 10C. 14D. 无法确定

8. 使式子 13−x 有意义的 x 的值是
A. x>0B. x≠9
C. x≥0 且 x≠9D. x>0 或 x≠9

9. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，若 ADDB=12，DE=3，则 BC 的长度是
A. 6B. 8C. 9D. 10

10. 已知抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y<0，则 x 的取值范围是
A. −1C. x<−1 或 x>4D. x<−1 或 x>3

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 写出一个二次项系数为 1，且一个根是 3 的一元二次方程 ．

12. 点 C 在射线 AB 上，若 AB=3，BC=2，则 AC 为 ．

13. 如图，已知 △ABC≌△ADE，若 AB=7，AC=3，则 BE 的值为 ．

14. 如图，⊙O 的直径 CD 经过弦 EF 的中点 G，∠DCF=20∘，则 ∠EOD 等于 ．

15. 不等式组 x−3≥0,3x<2x+4 的解为 ．

16. 如图所示，△ABC 中，∠BAC=33∘，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 50∘，对应得到 △ABʹCʹ，则 ∠BʹAC 的度数为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：16x4−2x1x÷3x．

18. 已知 x+4y−3z=0,4x−5y+2z=0, xyz≠0，求 3x2+2xy+z2x2+y2 的值．

19. 如图，已知在四边形 ABCD 中，∠A=90∘，AB=2 cm，AD=5 cm，CD=5 cm，BC=4 cm，求四边形 ABCD 的面积．

20. 怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为 14 元，售价分别为 20 元、 18 元，这两种菜品每天的营业额共为 1120 元，总利润为 280 元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份?
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降 0.5 元可多卖 1 份；B种菜品售价每提高 0.5 元就少卖 1 份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?

21. 第 15 中学的九年级学生在社会实践中，调查了 500 位杭州市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用以下扇形统计图表示．
（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；
（2）请根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议．

22. 在平面直角坐标系中按下列要求作图．
（1）作出第三象限中的小鱼关于 x 轴的对称图形；
（2）将（1）中得到的图形再向右平移 6 个单位长度．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=54∘，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 B 作 ⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F．
（1）求证：BE=CE；
（2）求 ∠CBF 的度数；
（3）若 AB=6，求弧 AD 的长．

24. 如图，已知：在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=1，点 P 是 AC 上不与点 A，C 重合的一动点，PQ⊥BC 于 Q，QR⊥AB 于 R．
（1）求证：PQ=CQ．
（2）设 CP 的长为 x，QR 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．
（3）PR 能否平行于 BC?如果能，试求出 x 的值；若不能，请简述理由．

25. 如图 1，抛物线 y=−38x2−34x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，点 D 的坐标是 0,−1，连接 BC，AC．
（1）求出直线 AD 的解析式；
（2）如图 2，若在直线 AC 上方的抛物线上有一点 F，当 △ADF 的面积最大时，有一线段 MN=5（点 M 在点 N 的左侧）在直线 BD 上移动，首尾顺次连接点 A，M，N，F 构成四边形 AMNF，请求出四边形 AMNF 的周长最小时点 N 的横坐标；
（3）如图 3，将 △DBC 绕点 D 逆时针旋转 α∘0<α∘<180∘，记旋转中的 △DBC 为 △DBʹCʹ，若直线 BʹCʹ 与直线 AC 交于点 P，直线 BʹCʹ 与直线 DC 交于点 Q，当 △CPQ 是等腰三角形时，求 CP 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】2830000000=2.83×109．
2. D
3. D【解析】根据题意得：10+0.15=10.15kg，10−0.15=9.85kg，
∵ 两袋两大米最多差 10.15−9.85=0.3kg=300g，
∴ 这两袋大米相差的克数不可能是 400 g．
4. D
5. B
【解析】∵ 菱形的两条对角线的长分别为 5 和 8，
∴ 这个菱形的面积是 12×5×8=20．
6. B
7. B【解析】将点 A 和点 B 所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为 6 和 8，故矩形对角线长 AB=62+82=10，即蚂蚁所行的最短路线长是 10．
8. C【解析】当 x 满足 3−x≠0,x≥0,
即 x≥0 且 x≠9 时，式子 13−x 有意义．
9. C【解析】∵ADDB=12，
∴ADAB=13，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，
∵DE=3，
∴BC=9．
10. B
第二部分
11. x2−3x=0，答案不唯一
【解析】根据题意，设该一元二次方程为：x+bx+a=0；
∵ 该方程的一个根是 3，
∴ 该一元二次方程可以是：xx−3=0．
即 x2−3x=0．
12. 1 或 5
【解析】当 C 在线段 AB 上时，
AC=AB−BC=3−2=1；
当 C 在线段 AB 的延长线时，
AC=AB+BC=3+2=5，即 AC=1或5．
13. 4
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵AB=7，AC=3，
∴BE=AB−AE=AB−AC=7−3=4．
14. 40∘
15. 3≤x<4
【解析】解不等式 x−3≥0，得：x≥3，
解不等式 3x<2x+4，得：x<4，
∴ 不等式组的解集为 3≤x<4．
16. 17∘
【解析】∵∠BAC=33∘，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 50∘，对应得到 △ABʹCʹ，
∴∠BʹACʹ=33∘，∠BABʹ=50∘，
∴∠BʹAC 的度数 =50∘−33∘=17∘．
第三部分
17. 原式=8x−2x÷3x=6x÷3x=2.
18. x+4y−3z=0,4x−5y+2z=0,
整理得 x+4y=3z,4x−5y=−2z,
解得 x=13z,y=23z,
代入 3x2+2xy+z2x2+y2=3×13z2+2×13z×23z+z213z2+23z2=169z259z2=165．
19. 连接 BD．
∵∠A=90∘，AB=2 cm，AD=5 cm，
∴ 根据勾股定理可得 BD=3 cm，
又 ∵CD=5 cm，BC=4 cm，
∴CD2=BC2+BD2，
∴△BCD 是直角三角形，
∴∠CBD=90∘，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD+12BC⋅BD=12×2×5+12×4×3=5+6cm2.
20. （1） 设该店每天卖出A，B两种菜品分别为 x，y 份，
根据题意得，
20x+18y=1120,20−14x+18−14y=280.
解得：
x=20,y=40.
答：该店每天卖出这两种菜品共 60 份．
（2） 设A种菜品售价降 0.5a 元，即每天卖 20+a 份；总利润为 w 元．
∵ 两种菜品每天销售总份数不变，
∴ B种菜品卖 40−a 份，每份售价提高 0.5a 元．
w=20−14−0.5a20+a+18−14+0.5a40−a=6−0.5a20+a+4+0.5a40−a=−0.5a2−4a+120+−0.5a2+16a+160=−a2+12a+280=−a−62+316.
当 a=6 时，w 最大，w=316．
答：这两种菜品每天的总利润最多是 316 元．
21. （1） 如图：
步行：500×6%=30（位），
自行车：500×20%=100（位），
电动车：500×12%=60（位），
公交车：500×56%=280（位），
私家车：500×6%=30（位）．
（2） 诸如公交优先，或宣传步行有利健康等，答案不唯一．
22. （1）
（2）
23. （1） 连接 AE，如图一．
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠AEB=90∘（即 AE⊥BC），
∵AB=AC，
∴BE=CE．
（2） ∵∠BAC=54∘，AB=AC，
∴∠ABC=63∘，
∵BF 是 ⊙O 切线，
∴∠ABF=90∘，
∴∠CBF=∠ABF−∠ABC=27∘．
（3） 连接 OD，如图二．
∵OA=OD，∠BAC=54∘，
∴∠AOD=72∘，
∵AB=6，
∴OA=3，
∴AD 的长 =nπr180=72⋅π×3180=65π．
24. （1） ∵∠A=90∘，AB=AC=1，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45∘，
∵PQ⊥CQ，
∴△PCQ 为等腰直角三角形，
∴PQ=CQ．
（2） ∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴BC=2AB=2，
∵△PCQ 为等腰直角三角形，
∴CQ=22PC=22x，
同理可证得 △BQR 等腰直角三角形，
∴BQ=2RQ=2y，
∵BQ+CQ=BC，
∴2y+22x=2，
∴y=−12x+10如图．
（3） 能．理由如下：
∵AR=1−y，AP=1−x，
∴AR=1−−12x+1，
当 AR=AP 时，PR∥BC，
即 1−−12x+1=1−x，
解得 x=23，
∵0 ∴PR 能平行于 BC．
25. （1） 抛物线 y=−38x2−34x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点，
令 y=0，得 0=−38x2−34x+3，
∴ x=2 或 x=−4，
∴ A−4,0，B2,0，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，将 A，D 两点坐标代入，得 −4k+b=0,b=−1, 解得 k=−14,b=−1,
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−14x−1．
（2） 如图 1，过点 F 作 FH⊥x 轴，交 AD 于 H，
设 Fm,−38m2−34m+3，则 Hm,−14m−1，
∴ FH=−38m2−34m+3−−14m−1=−38m2−12m+4，
∴
S△ADF=S△AFH+S△DFH=12FH×xD−xA=2FH=2×−38m2−12m+4=−34m2−m+8=−34m+232+253,
∴ 当 m=−23 时，S△ADF 最大，
此时 F−23,103．
如图 2，作点 A 关于直线 BD 的对称点 A1，AA1 交直线 BD 于点 K，把 A1 沿平行直线 DB 的方向平移到 A2，且 A1A2=5，过点 A1 作 A1R⊥x 轴于点 R，连接 A2F，交直线 BD 于点 N，把点 N 沿直线 BD 向左平移 5 得点 M，连接 AM，此时四边形 AMNF 的周长最小．
∵ OB=2，OD=1，
∴ tan∠OBD=12，
∵ AB=6，
∴ AK=655，
∴ AA1=2AK=1255，
∵ A1R⊥x 轴，AA1⊥BK，∠BAK=∠BAK，
∴ ∠AA1R=∠OBD，
∴ 在 Rt△AA1R 中，AR=125，A1R=245，
∴ OR=OA−AR=85，
∴ A1−85,−245，
过 A2 作 A2P⊥A1R，
易得 ∠A1A2P=∠ABK，
∵ A1A2=5，
∴ A2P=2，A1P=1，
∴ A225,−195，
设直线 A2F 的解析式为 y=ux+v，代入 A2，F 点坐标，得 25u+v=−195,−23u+v=103, 解得 u=−10716,v=−98,
∴ A2F 的解析式为 y=−10716x−98, ⋯⋯①
∵ B2,0，D0,−1，
∴ 直线 BD 的解析式为 y=12x−1, ⋯⋯②
联立 ①② 得，x=−2115，
∴ N 点的横坐标为：−2115．
（3） ∵ C0,3，B2,0，D0,−1，
∴ CD=4，OB=2，由勾股定理得 BC=13，BC 边上的高为 h．
根据等面积法得，12BC×h=12CD×OB，
∴ h=CD×OBBC=4×213=81313，
∵ A−4,0，C0,3，
∴ OA=4，OC=3，
∴ tan∠ACD=OAOC=43，
①当 PC=PQ 时，简图如图 3，
过点 P 作 PG⊥CD 于 G，过点 D 作 DH⊥PQ 于 H，易得 DH=81313，△PGQ∽△DHQ，
设 CG=3a，则 QG=3a，
∵ tan∠ACD=43，
∴ PG=4a，PQ=PC=5a，
∴ DQ=CD−CQ=4−6a，
∵ △PGQ∽△DHQ，
∴ PGDH=PQDQ，
∴ 4a81313=5a4−6a，
∴ a=23−51339，
∴ PC=5a=103−251339；
②当 PC=CQ 时，简图如图 4，
过点 P 作 PG⊥CD 于 G，过 D 作 DH⊥PQ 交 PQ 的延长线于 H，易得 DH=81313，△PGQ∽△DHQ，
∵ tan∠ACD=43，
∴ 设 CG=3p，则 PG=4p，
∴ CQ=PC=5p，
∴ QG=CQ−CG=2p，
∴ PQ=25p，
∴ DQ=CD−CQ=4−5p，
∵ △PGQ∽△DHQ，
∴ 同①的方法可得出，PC=4−46513；
③当 QC=PQ 时，简图如图 5，
过点 Q 作 QG⊥PC 于 G，过点 C 作 CN⊥PQ 于 N，过 D 作 DH⊥PQ 交 PQ 的延长线于 H，易得 DH=81313，△CQN∽△DQH，
设 CG=3q，则 QG=4q，PQ=CQ=5q，
∴ PG=3q，
∴ PC=6q，
∴ DQ=CD−CQ=4−5q，
利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，
∴ CN=245q，
∵ △CQN∽△DQH，
∴ 同①的方法得出 PC=245−101313；
④当 PC=CQ 时，简图如图 6，
过点 P 作 PG⊥CD 于 G，过 D 作 DH⊥PQ 于 H，易得 DH=81313，△QPG∽△QDH，
设 CG=3r，则 PG=4r，CQ=PC=5r，QG=8r，
∴ QD=4+5r，PQ=45r，
∵ △QPG∽△QDH，
∴ 同①方法可得出：CP=86513−4；
综上所述，PC 的值为：103−251339 或 4−46513 或 245−101313 或 86513−4．