2018年天津市东丽区中考一模数学试卷

这是一份2018年天津市东丽区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −2+−3 的结果是
A. −1B. 1C. −5D. 5

2. 2cs45∘ 的值等于
A. 1B. 2C. 3D. 2

3. 下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. “嫦娥一号”卫星顺利进入绕月工作轨道，行程约有 1800000 千米，1800000 这个数用科学记数法可以表示为
A. 0.18×107B. 1.8×105C. 1.8×106D. 18×105

5. 由 5 个小立方体搭成如图所示的几何体，从左面看到的平面图形是
A. B.
C. D.

6. 估算 17 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算 1x−1−xx−1 结果是
A. 0B. 1C. −1D. x

8. 一元二次方程 x2−3x=−2 的解是
A. x1=1，x2=2B. x1=−1，x2=2
C. x1=−1，x2=−2D. 方程无实数解

9. 如图，△DEF 是由 △ABC 绕点 O 旋转 180∘ 而得到的，则下列结论不成立的是
A. 点 A 与点 D 是对应点B. BO=EO
C. ∠ACB=∠FDED. AB∥DE

10. 若 A−6,y1，B−2,y2，C3,y3 在反比例函数 y=a2+1x（a 为常数）的图象上，则 y1，y2，y3 大小关系为
A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2

11. 如图，点 D 在 △ABC 边 BC 的延长线上，BA=BC，DB=DA，若 ∠BAC=m，∠ADB=n，则 m 与 n 之间的关系是
A. 3m+n=180∘B. 4m−n=180∘C. 3m−n=180∘D. 2m+n=180∘

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，则下列结论中正确的个数有
① 4a+b=0；
② 9a+3b+c<0；
③若 A−3,y1，B−12,y2，C5,y3 在该函数图象上，则 y1④若方程 ax+1x−5=−3 的两根为 x1 和 x2，且 x1A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共3小题；共15分）
13. 计算：−a2⋅a3= ．

14. 计算：18−32= ．

15. 小明掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 点，得到的点数为奇数的概率是 ．

三、解答题（共1小题；共13分）
16. 一条直线经过点 −1,1，这条直线的表达式可能是（写出一个即可） ．

四、填空题（共2小题；共10分）
17. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC=3，BC=4，则 OC 的长为 ．

18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 均为格点，P，E 分别为 BC，AB 的中点．
（Ⅰ）E 到 P 的距离等于 ；
（Ⅱ）将 △ABC 绕点 C 旋转，点 A，B，E 的对应点分别为 Aʹ，Bʹ，Eʹ，当 PEʹ 取得最大值时，请借助无刻度尺，在如图所示的网格中画出旋转后的 △AʹBʹC，并简要说明你是怎么画出来的： ．

五、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2x+4≤0, ⋯⋯①12x+8−2>0, ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答：
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了倡导“节约用水，从我做起”的活动，某市政府决定对市直机关 500 户家庭的用水情况作一次调查，调查小组随机抽查了其中 100 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）.并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）求这 100 个样本数据的平均数、众数和中位数；
（2）根据样本数据，估计该市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有多少户?

21. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，D 为 AC 的中点，连接 OD 交弦 AC 于点 F，过点 D 作 DE∥AC，交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 CD，若 OA=AE=4，求四边形 ACDE 的面积．

22. 如图，一艘船在 A 处望见灯塔 E 在北偏东 60∘ 方向上，此船沿正东方向航行 60 海里后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 E 在北偏东 15∘ 方向上．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
（1）求 ∠AEB 的度数；
（2）①求 A 处到灯塔 E 的距离 AE；
②已知灯塔 E 周围 40 海里内有暗礁，问：此船继续向东方向航行，有无触礁危险?

23. 服装店准备购进甲乙两种服装共 100 件，费用不得超过 7500 元．甲种服装每件进价 80 元，每件售价 120 元；乙种服装每件进价 60 元，每件售价 90 元．
（1）设购进甲种服装 x 件，试填写表：
表一
购进甲种服装的数量/件1020x购进甲种服装所用费用/元8001600 购进乙种服装所用费用/元5400
表二
购进甲种服装的数量/件1020x甲种服装获得的利润/元 800 乙种服装获得的利润/元27002400
（2）给出能够获得最大利润的进货方案，并说明理由．

24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABDE 的边 AB=4，BD=8，B4,4，点 A，点 E 都在 x 轴上，线段 BD 与 y 轴交于点 C，点 M 是矩形 ABDE 的对称中心．
（1）写出点 M 的坐标；
（2）现将线段 OM 绕点 O 顺时针旋转得到 OMʹ，旋转角为 α，连接 AMʹ，以 AMʹ 为边作正方形 AMʹPQ（点 A，Mʹ，P，Q 成顺时针排列）．
①若 0∘<α≤90∘，PQ∥BD 时，求旋转角 α 的度数；
②若 0∘<α≤180∘，直线 PQ 与直线 BD 所成的夹角为 30∘ 时，求旋转角 α 的度数；
③若 0∘<α≤360∘，请直接写出线段 PQ 与线段 BD 存在交点时旋转角 α 的取值范围 （直接写出结果即可）．

25. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 1,1，1,2，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足为 D，C，得到正方形 ABCD，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，点 P 为第一象限内抛物线上一点（不与点 A 重合），过点 P 分别作 x 轴 y 轴的垂线，垂足为 E，F，设点 P 的横坐标为 m，矩形 PFOE 与正方形 ABCD 重叠部分图形的周长为 L．
（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．
（2）当矩形 PFOE 的面积被抛物线的对称轴平分时，求 m 的值．
（3）当 m<2 时，求 L 与 m 之间的函数关系式．
（4）设线段 BD 与矩形 PFOE 的边交于点 Q，当 △FDQ 为等腰直角三角形时，直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. B
4. C
5. D
6. C
7. C
8. A
9. C
10. D
11. B
12. C【解析】由抛物线的对称轴为直线 x=2 可得 −b2a=2，即 4a+b=0，故①正确；
由抛物线的对称性知 x=0 和 x=4 时，y>0，
则 x=3 时，y=9a+3b+c>0，故②错误；
因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线 x=2，
所以抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
因为点 A 到对称轴的水平距离为 5，点 B 到对称轴的水平距离为 2.5，点 C 到对称轴的水平距离为 3，
所以 y1令 y=ax+1x−5，则抛物线 y=ax+1x−5 与 y=ax2+bx+c 形状相同、开口方向相同，且与 x 轴的交点为 −1,0，3,0，
函数图象如图所示，
由函数图象可知方程 ax+1x−5=−3 的两根即为抛物线 y=ax+1x−5 与直线 y=−3 交点的横坐标，
所以 x1<−1<5第二部分
13. −a5
14. −2
15. 12
第三部分
16. y=−x（答案不唯一）
第四部分
17. 722
【解析】如图，过点 O 作 OM 垂直于 CA 于点 M，作 ON 垂直于 CB 于点 N，
∴∠OMC=∠ONC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴ 四边形 MCNO 是矩形，
∴∠MON=90∘，
∵ 正方形 ABDE 对角线交于点 O，
∴OA=OB，∠AOB=90∘，
∴∠MON−∠AON=∠AOB−∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
在 △AOM 和 △BON 中，
∠AOM=∠BON,∠OMA=∠ONB=90∘,OA=OB,
∴△AOM≌△BONAAS，
∴OM=ON，AM=BN，
∴∠ACO=∠BCO=45∘，
∴ 矩形 MCNO 是正方形，
∵AC=3，BC=4，
∴CN=CM=AC+BC2=72，
∵∠OCN=45∘，由勾股定理得：OC=722．
18. 2，如图：
取格点 D，M，N，F，T，R，连接 DC，MN，相交于点 Bʹ，连接 TC，FR，相交于点 Aʹ，连接 BʹAʹ，AʹC，CBʹ，则 △AʹBʹC 即为所求
【解析】（Ⅰ）∵AE=EB，CP=PB，
∴PE=12AC=2．
第五部分
19. （1） x≤−2
（2） x>−4
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示如图所示：
（4） −420. （1） 这 100 个样本数据的平均数是：1100×10×20+11×40+12×10+13×20+14×10=11.6（吨）；
11 出现的次数最多，出现了 40 次，则众数是 11；
把这 100 个数从小到大排列，最中间两个数的平均数是 11，则中位数是 11．
（2） 根据题意得：20+40+10100×500=350（户），
答：该市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有 350 户．
21. （1） ∵D 为 AC 的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 DC，
∵D 为 AC 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∵AC∥DE，且 OA=AE，
∴F 为 OD 的中点，即 OF=FD，
在 △AFO 和 △CFD 中，
AF=CF,∠AFO=∠CFD,CF=FD,
∴△AFO≌△CFDSAS，
∴S△AFO=S△CFD，
∴S四边形ACDE=S△ODE，
在 Rt△ODE 中，OD=OA=AE=4，
∴OE=8，
∴DE=OE2−OD2=43，
∴S四边形ACDE=S△ODE=12×OD×DE=12×4×43=83．
22. （1） ∠AEB=180∘−30∘−90∘−15∘=45∘．
（2） ①如图，作 BM⊥AE，EH⊥AB，垂足分别为 M，H，
因为 AB=60 海里，∠MAB=30∘，
所以 BM=30 海里，AM=AB⋅cs∠MAB=60×cs30∘=303（海里），
因为 ∠MBE=90∘−∠AEB=90∘−45∘=45∘=∠AEB，
所以 EM=ME=30 海里，
所以 AE=303+30≈82（海里），
所以 EH=153+15≈41（海里），
②因为 EH=41海里>40海里，
所以此船继续向正东方向航行，无触礁危险．
23. （1） 表一
购进甲种服装的数量/件1020x购进甲种服装所用费用/元8001600 80x 购进乙种服装所用费用/元5400 4800 6000−60x
表二
购进甲种服装的数量/件1020x甲种服装获得的利润/元 400 800 40x 乙种服装获得的利润/元27002400 3000−30x
（2） 因为 80x+6000−60x≤7500，
所以 x≤75．
设获得的利润为 y 元，
则 y=40x+3000−30x=10x+3000，
所以当 x=75 时，y 取最大值，最大值为 3750．
故当购进甲种服装 75 件，购进乙种服装 25 件时，销售利润最高．
24. （1） M0,2．
【解析】由题意可知，四边形 ABCO 、四边形 OCDE 是正方形，边长都是 4，
∵M 是矩形 ABDE 的对称中心，
∴OM=MC=2，
∴M0,2．
（2） ①如图 1 中，
当点 Mʹ 在 OA 上时，PQ∥BA，此时旋转角为 90∘，
∴α=90∘．
②如图 2 中，作 MʹH⊥OA 于 H．
∵ 直线 PQ 与直线 BD 所成的夹角为 30∘，
∴ 直线 AMʹ 与 x 轴的夹角为 30∘，设 Mʹa,b，
则有 b4−a=33，
∴a=4−3b，
在 Rt△OHMʹ 中，
∵OMʹ2=HMʹ2+OH2，
∴4−3b2+b2=22，
∴b=3，a=1，
∴tan∠OMʹH=33，
∴∠MOMʹ=∠OMʹH=30∘，
∴α=30∘，
如图 3 中，
当直线 PQ 与直线 BD 所成的夹角为 30∘，同理可得 α=150∘，
综上所述，当直线 PQ 与直线 BD 所成的夹角为 30∘ 时，旋转角为 30∘ 或 150∘．
③ 30∘≤α≤45∘ 或 180∘≤α≤225∘
【解析】③设 Mʹa,b，则 Pa+b,b+4−a，Q4+b,4−a．
如图 4 中，当线段 PQ 经过点 B 时，
易证 △AMʹO≌△AQB，可得 ∠OMʹA=90∘，
∵OMʹ=2，OA=4，
∴OA=2OMʹ，
∴∠OAMʹ=30∘，∠AOMʹ=60∘，
∴α=30∘．
如图 5 中，当 P 在线段 BD 上时，b+4−a=4，可得 a=b，α=45∘；
如图 6 中，当 Q 在线段 BD 上时，4−a=4，可得 a=0，α=180∘；
如图 7 中，当 P 在线段 BD 上时，b+4−a=4，可得 a=b，α=225∘．
综上所述，当 30∘≤α≤45∘ 或 180∘≤α≤225∘ 时，线段 PQ 与线段 BD 存在交点．
25. （1） ∵B1,2，BC⊥y 轴于 C，
∴C0,2，
将点 A1,1，C0,2 代入 y=x2+bx+c 中，得到：b=−2，c=2．
∴ 抛物线所对应的函数表达式为：y=x2−2x+2．
（2） ∵PE∥y 轴，矩形 PFOE 的面积被抛物线的对称轴平分，
∴P，F 点关于抛物线的对称轴对称，
∵ 抛物线的顶点坐标为 1,1，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1．
∵F 点的横坐标为 0，
∴m=2．
（3） ∵ 点 P 的横坐标为 m，点 P 为第一象限内抛物线上的点且不与点 A 重合，
∴Pm,m2−2m+2（m>0，且 m≠1）．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，且 A1,1，
∴D0,1，B1,2，F0,m2−2m+2，
∴PF=m，FD=m2−2m+2−1=m2−2m+1，
根据点 P 在点 A 的左右不同分两种情况（如图 1）：
当 0当 1 （4） m 的取值范围为 3−52≤m<1 或 1【解析】连接 BD，如图 2 所示．
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，
将 D0,1，B1,2 代入 y=kx+b 中，
得：b=1,k+b=2, 解得：k=1,b=1,
∴ 直线 BD 的解析式为 y=x+1．
联立直线 BD 与抛物线解析式得：y=x+1,y=x2−2x+2,
解得：x1=3−52,y1=5−52 或 x2=3+52,y2=5+52（舍去）．
当 0解得：m1=2−3 或 m2=2+3（舍去），
∴∠FQD=90∘，此时，△FDQ 为等腰直角三角形；
当 3−52≤m<1 时，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45∘，
∵∠DFQ=90∘，
∴△FDQ 为等腰直角三角形；
当 1 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45∘，
∵∠DFQ=90∘，
∴△FDQ 为等腰直角三角形；
当 m>2 时，线段 BD 与矩形 PFOE 的边只有一个交点 D，没有点 Q，
∴ 不存在 △FDQ．
综上可知：当 △FDQ 为等腰直角三角形时，m 的取值范围为 3−52≤m<1 或 1