2019_2020学年哈尔滨市香坊区八上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年哈尔滨市香坊区八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列计算正确的是
A. a2+a2=a4B. a3⋅a2=a6
C. a23=a6D. a+b2=a2+b2

2. 下列汽车标志不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若分式 x+2x−1 的值为 0，则 x 的值为
A. 2B. −2C. 1D. −1

4. 下列计算正确的是
A. 3+3=33B. 27÷3=3C. 2⋅3=5D. 4=±2

5. 下列二次根式中属于最简二次根式的是
A. 14B. 48C. abD. 4a+1

6. 已知 xy≠0，且 xy=y−x，则分式 1x−1y 的值为
A. xyB. y−xC. 1D. −1

7. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=40∘，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则 ∠CBE 的度数为
A. 30∘B. 40∘C. 70∘D. 80∘

8. 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a>b）（如图 1），把余下的部分拼成一个长方形（如图 2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
A. a+b2=a2+2ab+b2
B. a−b2=a2−2ab+b2
C. a+2ba−b=a2+ab−2b2
D. a2−b2=a+ba−b

9. 小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为 2800 米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的 4 倍，骑自行车比步行上学早到 30 分钟．设小玲步行的平均速度为 x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是
A. 2800x−28004x=30B. 28004x−2800x=30
C. 2800x−28005x=30D. 28005x−2800x=30

10. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，连接 AD，E 在 BC 的延长线上，连接 AE，∠E=2∠CAD，下列结论：
① AD⊥BC；
② ∠E=∠BAC；
③ CE=2CD；
④ AE=BE．
其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 已知一粒大米的质量为 0.000021 千克，把 0.000021 用科学记数法表示为 ．

12. 计算 −3−2= ．

13. 要使分式 2xx+1 有意义，则 x 须满足的条件为 ．

14. 计算：75×8÷6= ．

15. 把多项式 4mx2−my2 因式分解的结果是 ．

16. 计算：15x2y−10xy2÷5xy 的结果为 ．

17. 若 a+b=7，ab=12，则 a2+b2 的值为 ．

18. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，D 是直线 AB 上一点，BD=12AB，连接 CD，则 ∠BDC 的度数为 ．

19. 如图，△ABC 中，AB=5，AC=4，BO 平分 ∠ABC，CO 平分 ∠ACB，过点 O 作 BC 的平行线，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，则 △AMN 的周长为 ．

20. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 延长线上一点，DE⊥AB 交 AB 于点 E，EF⊥BC 交 BC 于点 F．若 CD=3AE，CF=6，则 AC 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 计算下列各题：
（1）−2x2y3⋅−2xy；
（2）23+623−6．

22. 先化简，再求值：a2−1a2+2a+1÷a2−aa+1，其中 a=27−12．

23. 图 1 、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，A，B，C 三点均在小正方形的顶点上．
（1）在图 1 中画出凸四边形 ABCD，点 D 在小正方形的顶点上，且使四边形 ABCD 是只有一条对称轴的轴对称图形；
（2）在图 2 中画出凸四边形 ABCE，点 E 在小正方形的顶点上，且使四边形 ABCE 是四条对称轴的轴对称图形．

24. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
∵x+4x+2=x2+6x+8，
∴x2+6x+8=x+4x+2．
由此可见 x2+6x+8 是可以因式分解成 x+4x+2 的，爱研究问题的小明同学经过认真思考，找到了 x2+6x+8 的因式分解方法如下：x2+6x+8=x2+6x+32−32+8=x+32−1=x+3+1x+3−1=x+4x+2．
根据你对以上内容的理解，解答下列问题：
（1）小明同学在对 x2+6x+8 进行因式分解的过程中，在 x2+6x 的后面加 32，其目的是构成完全平方式，请在下面两个多项式的后面分别加上适当的数，使这成为完全平方式，并将添加后的多项式写成平方的形式．
① x2+4x+ = 2；
② x2−8x+ = 2．
（2）请模仿小明的方法，尝试对多项式 x2+10x−24 进行因式分解．

25. 育才中学 2015 年在某商场购买甲、乙两种不同品牌的足球，购买甲品牌足球共花费 2000 元，购买乙品牌足球共花费 1600 元，购买甲品牌足球数量是购买乙品牌足球数量的 2 倍，且购买一个乙品牌足球比购买一个甲品牌足球多花 30 元．
（1）求购买一个甲品牌足球、一个乙品牌足球各需多少元．
（2）2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种品牌足球共 50 个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲品牌足球的售价比第一次购买时提高了 20%，乙品牌足球的售价按第一次购买时的售价打九折销售．如果此次购买甲、乙两种品牌足球的总费用不超过 3240 元，那么这所学校最多可购买多少个乙品牌足球?

26. 在 △ABC 中，CD⊥AB 交 AB 于点 D，∠A=2∠BCD．
（1）如图 1，求证：AB=AC；
（2）如图 2，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连接 CE，BF，CE=BF，求证：∠BEC=∠CFB；
（3）如图 3，在（2）的条件下，作 EG∥BC 交 AC 于点 G，若 ∠CBF=2∠ACE，EG=2，BC=6，求 BF 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点的坐标为 5,0，B 点与 A 点关于 y 轴对称，C 点在 y 轴上，连接 AC，BC，∠ACB=90∘．
（1）求 C 点坐标；
（2）点 Pt,−2t+5 是 △AOC 内部一点，Q 是第二象限内一点，连接 PC，QC，且 ∠PCQ=90∘，PC=CQ，作 QE⊥OC，垂足为 E，请用含 t 的式子表示 OE 的长；
（3）在（2）的条件下，延长 QE 交 AC 于点 M，连接 MP，延长 MP 交 x 轴于点 N，连接 BM，取 BM 的中点 G，连接 QG，延长 QG 交 x 轴于点 H，当 QM=6HN 时，求 MP 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】（A）原式=2a2，故A错误；
（B）原式=a3+2=a5，故B错误；
（C）计算正确，故C正确；
（D）原式=a2+2ab+b2，故D错误．
2. A【解析】A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
3. B【解析】由题意，得 x+2=0 且 x−1≠0，
解得 x=−2．
4. B
5. A
【解析】14 是最简二次根式，故选项A正确；
48=43，故选项B错误；
ab=abb，故选项C错误；
4a+1=2a+1，故选项D错误．
6. C【解析】∵xy=y−x，
∴y−xxy=1，
则
原式=y−xxy=1.
7. A【解析】∵ 等腰 △ABC 中，AB=AC，∠A=40∘，
∴∠ABC=∠C=180∘−∠A2=70∘．
∵ 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40∘，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30∘．
8. D【解析】∵ 图甲中阴影部分的面积 =a2−b2，图乙中阴影部分的面积 =a+ba−b，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b．
9. A
10. C
【解析】① ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC；
② ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，
∴∠BAC=2∠CAD，
∵∠E=2∠CAD，
∴∠E=∠BAC；
③无法证明 CE=2CD；
④ ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠CAE，∠E=∠BAC，
∴∠B=∠EAB，
∴AE=BE．
第二部分
11. 2.1×10−5
【解析】0.000021 用科学记数法可表示为 2.1×10−5．
12. 19
【解析】−3−2=1−32=19．
13. x≠−1
【解析】由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1．
14. 10
【解析】75×8÷6=75×8÷6=100=10.
15. m2x+y2x−y
【解析】原式=m4x2−y2=m2x+y2x−y.
16. 3x−2y
【解析】15x2y−10xy2÷5xy=15x2y÷5xy−10xy2÷5xy=3x−2y.
17. 25
【解析】∵a+b=7，ab=12，
∴a2+b2=a+b2−2ab=72−2×12=25.
18. 30∘ 或 60∘
【解析】当点 D 在线段 AB 上时，如图 1 所示：
在 Rt△ABC 中，∠A=30∘，BD=12AB，
∴BC=12AB，CD=12AB，即 BC=BD=CD，
∴△BCD 为等边三角形，
此时 ∠BDC=60∘；
当点 D 在 AB 延长线上时，如图 2 所示，
同理可得 BD=BC，
∵∠ABC=60∘，
∴∠BCD=∠BDC=30∘，
综上，∠BDC=30∘或60∘．
19. 9
【解析】∵∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线交于点 O，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵BC∥MN，
∴∠BOM=∠CBO，∠CON=∠BCO，
∴∠BOM=∠ABO，∠CON=∠ACO，
∴OM=BM，ON=CN，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+OM+AN+NC=AB+AC=9.
20. 10
【解析】AC 与 DE 相交于 G，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60∘，
∵DE⊥AE，
∴∠AGE=30∘，
∴∠CGD=30∘，
∵∠ACB=∠CGD+∠D，
∴∠D=30∘，
∴CG=CD，
设 AE=x，则 CD=3x，CG=3x，
在 Rt△AEG 中，AG=2AE=2x，
∴AB=BC=AC=5x，
∴BE=4x，BF=5x−6，
在 Rt△BEF 中，BE=2BF，
即 4x=25x−6，解得 x=2，
∴AC=5x=10．
第三部分
21. （1） 原式=−8x6y3⋅−2xy=16x7y4.
（2） 原式=232−62=12−6=6.
22. 原式=a+1a−1a+12⋅a+1aa−1=1a.
∵a=27−12=33−23=3，
∴原式=13=33．
23. （1） 下面两个图形画出一个即可．
（2） 如图所示：
24. （1） 22；x+2；42；x−4
（2） x2+10x−24=x2+10x+52−52−24=x+52−49=x+5+7x+5−7=x+12x−2.
25. （1） 设购买一个甲品牌足球需 x 元，则购买一个乙品牌足球需 x+30 元，
由题意得：
2000x=2×1600x+30.
解得：
x=50.
经验验 x=50 是原方程的解，且符合题意．
当 x=50 时，x+30=80，
答：购买一个甲品牌足球需 50 元，购买一个乙品牌足球需 80 元．
（2） 设这所学校再次购买 a 个乙品牌足球，则购买 50−a 个甲品牌足球，
由题意得：
50×1+20%×50−a+80×90%a≤3240.
解得：
a≤20.∴
这所学校最多可购买 20 个乙品牌足球．
26. （1） 如图 1，设 ∠BCD=x，则 ∠A=2∠BCD=2x，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∴∠ABC=90∘−x，
∵∠A=2x，
∴∠ACB=180∘−2x−90∘−x=90∘−x，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
（2） 如图 2，作 BH⊥AC 交 AC 于 H，
∴∠AHB=∠ADC=90∘，
∵ 在 △ABH 和 △ACD 中，
∠AHB=∠ADC,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABH≌△ACD，
∴BH=CD，
∵∠BHF=∠EDC=90∘，
∴ 在 Rt△BHF 和 Rt△CDE 中，
CE=BF,BH=CD,
∴Rt△BHF≌Rt△CDE，
∴∠BEC=∠CFB．
（3） 如图 3，延长 CB 至点 M，使 BM=EG，连接 EM，设 ∠ACE=α，∠CFB=β，
∴∠CBF=2∠ACE=2α，∠ACB=∠ABC=2α+β，∠BEC=∠CFB=β，
∵∠ACE=α，
∴∠ECB=α+β，
在 △ECB 中，α+β+β+2α+β=180∘，
∴α+β=60∘，
∴∠ECB=60∘，
∵EG∥BC，
∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AEG=∠ABC=∠ACB=∠AGE，
∴AE=AG，
∵AB=AC，
∴AB−AE=AC−AG，
∴BE=CG，
∵∠AGE+∠EGC=180∘，∠ABC+∠EBM=180∘，
又 ∵∠AGE=∠ABC，
∴∠EGC=∠EBM，
在 △EGC 与 △MBE 中，
GC=BE,∠EGC=∠MBE,EG=MB,
∴△EGC≌△MBE，
∴EM=EC，
∵∠ECB=60∘，
∴△ECM 是等边三角形，
∴CE=CM=BM+BC=EG+BC=2+6=8，
又 ∵CE=BF，
∴BF=8．
27. （1） ∵B 点与 A 点关于 y 轴对称，C 点在 y 轴上，
∴OC 垂直平分 AB，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90∘，
∴∠CBA=∠CAB=45∘，
∵∠AOC=90∘，
∴∠CAB=∠ACO=45∘，
∴OA=OC，
∵A 点的坐标为 5,0，
∴OA=OC=5，
∴C0,5．
（2） 作 PD⊥OC 交 OC 于点 D，如图 1 所示，
∵QE⊥OC，PD⊥OC，
∴∠QEC=∠PDC=90∘，
∵Pt,−2t+5，
∴PD=t，
∵∠PCQ=90∘，
∴∠PCD+∠QCE=90∘，
∵∠PDC=90∘，
∴∠PCD+∠P=90∘，
∴∠QCE=∠P，
在 △PDC 与 △CEQ 中，
∠CPD=∠QCE,∠PDC=∠QEC,PC=CQ,
∴△PDC≌△CEQ，
∴CE=PD=t，
∵OC=5，
∴OE=5−t．
（3） 如图 2，作 PD⊥OC 交 OC 与点 D，QM 交 OC 于点 E，
∵Pt,−2t+5，
∴OD=−2t+5，
∵OC=5，
∴CD=2t，
由（2）知 △PDC≌△CEQ，
∴QE=CD=2t，
∵OE=5−t，
∴Q−2t,5−t，
∵QE⊥OC，
∴∠CEM=90∘，
∵∠ACO=45∘，
∴∠CME=∠ACO=45∘，
∴CE=EM=t，
∴Mt,5−t，
∵Pt,−2t+5，
∴PM∥y 轴，Nt,0，PM=5−t−−2t+5=t，
∵G 是 BM 的中点，
∴BG=GM，
∵QE⊥OC，
∴∠QEC=∠BOC=90∘，
∴QM∥BN，
∴∠QMB=∠HBM，
在 △QGM 与 △HGB 中，
∠QMG=∠HBG,MG=BG,∠QGM=∠HGB,
∴△QGM≌△HGB，
∴BH=QM=2t+t=3t，
∵B 点与 A 点关于 y 轴对称，A 点的坐标为 5,0，
∴B−5,0，
∵Nt,0，
∴NB=t+5，
∴HN=5−2t，
∵QM=6HN，
∴3t=65−2t，
∴t=2，
∴PM=2．