2019_2020学年成都市大邑县九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年成都市大邑县九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列是一元二次方程的是
A. 2x+1=0B. y2+x=1C. x2−1=0D. 1x+x2=1

2. 如图，在 △ABC 中，E，F 分别在边 AB，AC 上，EF∥BC，EF=3，BC=4，则 AFAC=
A. 23B. 32C. 34D. 43

3. 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+1=0 的根的判断说法正确的是
A. 有两个不等的实根B. 有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根D. 无法判断

4. 点 −3,y1，−2,y2 在反比例函数 y=−1x 的图象上，则下列正确的是
A. y1y2D. y1=y2

5. 将二次函数 y=x2−4x+6 化成顶点式，变形正确的是
A. y=x−22+2B. y=x+22+2
C. y=x+22−2D. y=x−22−2

6. 如图所示的几何体的主视图是
A. B.
C. D.

7. 不透明的口袋内装有红球和白球共 12 个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取 2016 次球，发现有 504 次摸到白球，则口袋中红球的个数是 个．
A. 3B. 4C. 6D. 9

8. 点 D 是线段 AB 的黄金分割点 AD>BD，若 AB=2，则 BD=
A. 5−12B. 3−52C. 5−1D. 3−5

9. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点，DE 交 AC 于点 F，若 DE=12，则 DF 等于
A. 3B. 4C. 6D. 8

10. 下列四个函数图象中，当 x<0 时，函数值 y 随自变量 x 的减小而增大的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 二次函数 y=−x+12+4 的图象的对称轴为 ．

12. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则 tanB= ．

13. 某一时刻，小明发现学校电杆 AB 与木棒 CD 都垂直于地面，且相距 4 米，电杆的影子 BE 与木棒的影子 CE 的顶端重合于点 E，现测得木棒 CD 长 1.2 米，它的影长 CE 为 1 米，则电杆 AB 的高度是 ．

14. 在二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x⋯−2−1012⋯y⋯0−2−204⋯
则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0a≠0 的根为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 计算．
（1）2×−12017−12−1+∣1−2cs45∘∣；
（2）解方程：x2−x−6=0．

16. 如果关于 x 的一元二次方程 k2x2+2k−1x+1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若方程的一个实数根是 x1=1，求 k 的值．

17. 有甲乙两个不透明的布袋，甲布袋装有 2 个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字 1 和 2；乙布袋装有 3 个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字 −3，−1 和 0．先从甲布袋中随机取出一个小球，将小球上标有的数字记作 x；再从乙布袋中随机取出一个小球，再将小球标有的数字记作 y．
（1）用画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；
（2）若从甲、乙两布袋中取出的小球上面的数记作点的坐标 x,y，求点 x,y 在一次函数 y=−2x+1 图象上的概率是多少?

18. 如图，在 △ABC 中，BA=BC，点 E 在 BC 上，且 AE⊥BC，csB=45，EC=3．
（1）分别求 AB 和 AE；
（2）若点 P 在 AB 边上，且 BP=4，求 △BPE 的面积．

19. 如图，一次函数 y=ax+32 图象与 x 轴，y 轴分别相交于 A，B 两点，与反比例函数 y=kxk≠0 的图象相交于点 E，F，已知 A−3,0，F3,t．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点 E 的坐标并求 △EOF 的面积；
（3）结合该图象写出满足不等式 kx−ax≤32 的解集．

20. （1）如图①所示，∠ACB=∠POQ=∠XOB=90∘．求证：
① ∠POA=∠XOQ；
②判断 △PAO 和 △QXO 是否相似，如果两个三角形相似请给出证明，如果不相似，说明理由；
（2）如图②，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠CBA=30∘，AO=BO，点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上，且 ∠POQ=90∘，XO⊥AB 交 BC 于 X，AC=4 cm，AP=x cm0
四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 x1，x2 是方程 x2−5x−6=0 的两个根，则 x12+5x2−6= ．

22. 某校“我爱数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”．以下是该课题小组研究报告的部分内容：
根据表中的内容计算出学校旗杆 AC 的高度为 （结果保留整数）．

23. 从 3，−1，0，1，−2 这五个数中任意取出一个数记作 b，则既能使函数 y=b2−4x 的图象经过第二、四象限，又能使关于 x 的一元二次方程 x2−bx+b+1=0 的根的判别式小于零的概率为 ．

24. 如图，A−7,8，B−5,4，连接 AB 并延长交反比例函数 y=kxx<0 的图象于点 C，若 CAAB=32，则 k= ．

25. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，则下列结论：①关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1，x2=3；② abc>0；③ a+b=c−b；④ y最大值=43c；⑤ a+4b=3c 中正确的有 （填写正确的序号）．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
信息 1：甲、乙两种商品的进货单价之和是 5 元；
信息 2：甲商品零售单价比进货单价多 1 元，乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元．
信息 3：按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品 2 件，共付了 19 元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1 元，这两种商品每天可各多销售 100 件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m 元．在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?

27. （1）操作：如图 1，点 O 为线段 MN 的中点，直线 PQ 与 MN 相交于点 O，请利用图 1 画出一对以点 O 为对称中心的全等三角形．
（2）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
如图 2，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F．试探究线段 AB 与 AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图 3，DE，BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE:EC=1:2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若 AB=5，CF=1，求 DF 的长度．

28. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx2−2x+n 与 x 轴的两个交点分别为 A−3,0，B1,0，过顶点 C 作 CH⊥x 轴于点 H．
（1）求 m，n 的值和顶点 C 的纵坐标；
（2）在 y 轴上是否存在点 D，使得 △ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形?若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），PQ⊥AC 于点 Q，当 △PCQ 与 △ACH 相似时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、不是一元二次方程，故此选项错误．
2. C【解析】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
则 AFAC=EFBC=34．
3. B【解析】∵Δ=22−4×1×1=0，
∴ 原方程有两个相等的实数根．
4. A【解析】∵ 点 −3,y1，−2,y2 在反比例函数 y=−1x 的图象上，
∴−3y1=−1，−2y2=−1，解得：y1=13，y2=12，
∴y15. A
【解析】y=x2−4x+6=x2−4x+4+2=x−22+2．
6. A
7. D【解析】设口袋中红球的个数为 x 个，
根据题意可得 12−x12=5042016，
解得：x=9，
即口袋中红球有 9 个．
8. D【解析】由于 D 为线段 AB=2 的黄金分割点，且 AD>BD，
则 AD=5−12×2=5−1．
∴BD=AB−AD=2−5−1=3−5．
9. D【解析】因为四边形 ABCD 是正方形，E 是 BC 中点，
所以 CE=12AD，
因为 AD∥BC，
所以 ∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，
所以 △CEF∽△ADF，
所以 EFDF=CEAD=12，
所以 12−DFDF=12，
解得 DF=8．
10. D
【解析】当 x<0 时，函数值 y 随自变量 x 的减小而增大，
∴ 图象在 y 轴的左侧从左到右是下降的．
第二部分
11. 直线 x=−1
【解析】因为二次函数 y=−x+12+4，是顶点式，
所以对称轴为：直线 x=−1．
12. 34
【解析】tanB=ACBC=34．
13. 6 米
【解析】由题意知 AB⊥BE，CD⊥BE，
所以 AB∥CD，
则 △ABE∽△DCE，
所以 ABDC=BECE，即 AB1.2=4+11，
解得：AB=6 米．
14. x1=−2，x2=1
【解析】从表中可知：抛物线 y=ax2+bx+c 和 x 轴的交点坐标是 −2,0 和 1,0，
∴ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0a≠0 的根是 x1=−2，x2=1．
第三部分
15. （1） 原式=2×−1−2+1−2×22=−2−2+2−1=−3.
（2）
x2−x−6=0.x−3x+2=0.x−3=0或x+2=0.
解得：
x1=3,x2=−2.
16. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 k2x2+2k−1x+1=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0 且 k2≠0，即 4k−12−4k2>0，解得 k<12 且 k≠0，
∴k 的取值范围为 k<12 且 k≠0．
（2） ∵ 方程的一个实数根为 x1=1，
∴k2+2k−1+1=0，解得 k1=−1+2，k2=−1−2，
即 k 的值为 k1=−1+2，k2=−1−2．
17. （1） 画树状图如图所示：
可能出现的所有结果：1,−1，1,0，1,−3，2,−1，2,0，2,−3．
（2） ∵ 在所有的 6 种等可能结果中，落在 y=−2x+1 图象上的有 1,−1，2,−3 两种结果，
∴ 点 x,y 在一次函数 y=−2x+1 图象上的概率是 13．
18. （1） ∵AE⊥BC，csB=45，
∴ 设 AB=5x，BE=4x，
∵BA=BC，
∴BC=5x，
∵EC=3，CE=BC−BE，
∴5x−4x=3，解得 x=3，
∴AB=5×3=15，BE=4×3=12，
在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得，AE=AB2−BE2=152−122=9．
（2） △ABE 的面积 =12BE⋅AE=12×12×9=54，
∵BP=4，
∴△BPE 的面积 =415×54=14.4．
19. （1） 把 A−3,0 代入一次函数解析式得：0=−3a+32，
解得：a=12，即一次函数解析式为 y=12x+32，
把 F3,t 代入一次函数解析式得：t=3，
则反比例函数解析式为 y=9x．
（2） 联立得：y=9x,y=12x+32, 解得：x1=−6,y1=−32 或 x2=3,y2=3,
∴E−6,−32，
则
S△EOF=S△AOE+S△AOB+S△BOF=12×3×32+12×32×3+12×32×3=274.
（3） 根据图象得：不等式 kx−ax≤32 的解集为 −6≤x<0 或 x≥3．
20. （1） ①因为 ∠POQ=∠XOB=∠XOA=90∘，
所以 ∠AOP+∠POX=∠XOQ+∠POX=90∘，
所以 ∠POA=∠XOQ．
②结论：△PAO∽△QXO．
理由：
因为 ∠ACB=∠XOB=90∘，
所以 ∠A+∠B=90∘，∠OXB+∠B=90∘，
所以 ∠A=∠OXB，
因为 ∠AOP=∠XOQ，
所以 △PAO∽△QXO．
（2） ①如图，当 0在 Rt△ACB 中，∠B=30∘，AC=4 cm，
所以 AB=2AC=8 cm，BC=43 cm．
因为 ∠C=∠ONB=90∘，
所以 ON∥AC，
因为 OA=OB，
所以 CN=BN，
所以 ON=12AC=2 cm，同理可得：AM=CM，OM=12BC=23 cm，
因为 ∠POQ=∠MON=90∘，
所以 ∠POM=∠QON，
因为 ∠OMP=∠ONQ，
所以 △POM∽△QON，
所以 PMQN=OMON=3，
所以 QN=332−xcm，
所以 CQ=23−332−x=433+33xcm，
所以 y=S△CPQ=12⋅CP⋅CQ=124−x⋅433+33x=−36x2+833．
②当 2综上所述，y=124−x433+33x=−36x2+833．
第四部分
21. 25
【解析】∵x1 是方程 x2−5x−6=0 的根，
∴x12−5x1−6=0，
∴x12=5x1+6，
∴x12+5x2−6=5x1+6+5x2−6=5x1+x2，
∵x1，x2 是方程 x2−5x−6=0 的两个根，
∴x1+x2=5，
∴x12+5x2−6=5×5=25．
22. 12 m
【解析】∵∠ADB=60∘，∠AEB=30∘，
∴∠DAE=60∘−30∘=30∘=∠AEB，
∴AD=DE=FG=12 m，
在 Rt△ABD 中，sin60∘=ABAD=AB12，解得：AB=63 m，
AC=63+1.6≈6×1.7+1.6≈12m．
答：学校旗杆 AC 的高度是 12 m．
23. 25
【解析】∵ 函数 y=b2−4x 的图象经过第二、四象限，
∴b2−4<0，解得：−2 ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−bx+b+1=0 的根的判别式小于零，
∴−b2−4b+1<0，
∴2−22 ∴ 使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的 b 的值有 0，1，
∴ 此事件的概率为 25．
24. −8
【解析】如图，作 AD⊥x 轴于 D，BE⊥x 轴于 E，CF⊥x 轴于 F，
则 AD∥BE∥CF，
∴FEED=BCAB，
∵CAAB=32，
∴BCAB=12，
∴FEED=12，
∵A−7,8，B−5,4，
∴DE=2，
∴EF=1，
∴OF=4，即点 C 的横坐标为 −4，
同理，点 C 的纵坐标为 2，即点 C 的坐标为 −4,2，
∵ 点 C 在反比例函数 y=kxx<0 的图象上，
∴k=−4×2=−8．
25. ①③④
【解析】①因为抛物线与 x 轴一个交点坐标为 3,0，且对称轴为直线 x=1，
所以抛物线与 x 轴另一个交点坐标为 −1,0，
即关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解为 x1=−1，x2=3，
选项①正确；
②因为二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交点在正半轴，
所以 ab<0，c>0，即 abc<0，
选项②错误；
③由对称轴是：直线 x=1=−b2a，得 b=−2a，
所以 a+b=a−2a=−a，
因为抛物线与 x 轴另一个交点坐标为 −1,0，
所以 a−b+c=0，
所以 c−b=−a，
所以 a+b=c−b，
选项③正确；
④由 a−b+c=0 和 b=−2a 得：a=−13c，
所以 y最大值=4ac−b24a=c−b24a=c−4a24a=c−−13c=4c3，
选项④正确；
⑤因为 a+4b=a−8a=−7a=−7×−13c=7c3，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④．
第五部分
26. （1） 设甲商品的进货单价是 x 元，乙商品的进货单价是 y 元．
根据题意，得
x+y=5,3x+1+22y−1=19,
解得
x=2,y=3.
答：甲商品的进货单价是 2 元，乙商品的进货单价是 3 元．
（2） 设该商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为 s 元，则
s=1−m500+100×m0.1+5−3−m300+100×m0.1,
即
s=−2000m2+2200m+1100=−2000m−0.552+1705.
∴ 当 m=0.55 时，s 有最大值，最大值为 1705．
答：当 m 定为 0.55 元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是 1705 元．
27. （1） 如图 1 所示即为所求（答案不唯一）．
（2） 结论：AB=AF+CF．
证明：如图 2，分别延长 AE，DF 交于点 M．
因为 E 为 BC 的中点，
所以 BE=CE，
因为 AB∥CD，
所以 ∠BAE=∠M，
在 △ABE 与 △MCE 中，
因为 ∠BAE=∠M,∠AEB=∠MEC,BE=CE,
所以 △ABE≌△MCEAAS，
所以 AB=MC，
又因为 ∠BAE=∠EAF，
所以 ∠M=∠EAF，
所以 MF=AF，
又因为 MC=MF+CF，
所以 AB=AF+CF．
（3） 如图 3，分别延长 DE，CF 交于点 G．
因为 AB∥CF，
所以 ∠B=∠C，∠BAE=∠G，
所以 △ABE∽△GCE，
所以 ABGC=BECE，
又因为 BEEC=12，
所以 ABGC=12，
因为 AB=5，
所以 GC=10，
因为 FC=1，
所以 GF=9，
因为 AB∥CF，
所以 ∠BAE=∠G，
又因为 ∠BAE=∠EDF，
所以 ∠G=∠EDF，
所以 GF=DF，
所以 DF=9．
28. （1） 把 A−3,0，B1,0 分别代入 y=mx2−2x+n，
得 9m+6+n=0,m−2+n=0, 解得：m=−1,n=3,
则该抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3，
∵y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴ 顶点 C 的坐标为 −1,4，点 C 的纵坐标为 4．
（2） 存在，如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E．
设 D0,c，则 OD=c，
∵A−3,0，C−1,4，
∴CE=1，OA=3，OE=4，
假设在 y 轴上存在满足条件的点 D，
∴ 由 ∠CDA=90∘ 得 ∠1+∠2=90∘，
又 ∵∠2+∠3=90∘，
∴∠3=∠1，
又 ∵∠CED=∠DOA=90∘，
∴△CED∽△DOA，
∴CEED=DOAO，
∵D0,c，
则 14−c=c3，变形，得 c2−4c+3=0，解得 c1=3，c2=1，
经检验，c1=3，c2=1 是原方程的解，并且满足题意．
综合上述：在 y 轴上存在 D0,3 或 D0,1，使 △ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形．
（3） ①若点 P 在对称轴右侧（如图 2），只能是 △PCQ∽△CAH，得 ∠QCP=∠CAH，
延长 CP 交 x 轴于 M，
∴AM=CM，
∴AM2=CM2．
设 Mm,0，则 m+32=42+m+12，
∴m=2，即 M2,0，
设直线 CM 的解析式为 y=k1x+b1，
则 −k1+b1=4,2k1+b1=0, 解之得：k1=−43,b1=83,
∴ 直线 CM 的解析式 y=−43x+83，
联立 y=−43x+83,y=−x2−2x+3 解得：x1=13,y1=209, x2=−1,y2=4（舍去），
∴P13,209；
②若点 P 在对称轴左侧（如图 3），只能是 △PCQ∽△ACH，得 ∠PCQ=∠ACH，
过 A 作 CA 的垂线交 CP 的延长线于点 F，作 FN⊥x 轴于点 N，
由 △CFA∽△CAH 得：CAAF=CHAH=2，
由 △FNA∽△AHC 得：FNAH=NAHC=AFCA=12，
∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则 AH=2，
∴ 点 F 坐标为 −5,1．
设直线 CF 的解析式为 y=k2x+b2，
则 −k2+b2=4,−5k2+b2=1, 解得：k2=34,b2=194,
∴ 直线 CF 的解析式 y=34x+194，
联立 y=34x+194,y=−x2−2x+3 解得 x3=−74,y3=5516, x4=−1,y4=4（舍去），
∴P−74,5516．
∴ 满足条件的点 P 坐标为 13,209 或 −74,5516．