2019_2020学年苏州市姑苏区八下期末数学试卷

这是一份2019_2020学年苏州市姑苏区八下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若代数式 1x+3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=−3B. x≠−3C. x−3

2. 下列各点中，在双曲线 y=12x 上的点是
A. 4,−3B. 3,−4C. −4,3D. −3,−4

3. 化简 −52 的结果是
A. 5B. −5C. ±5D. 25

4. 菱形对角线不具有的性质是
A. 对角线互相垂直B. 对角线所在直线是对称轴
C. 对角线相等D. 对角线互相平分

5. 苏州市 5 月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：84，89，83，99，69，73，78，81，89，82，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是
A. 折线统计图B. 频数分布直方图
C. 条形统计图D. 扇形统计图

6. 如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是
A. ADDB=AEECB. DEBC=AEECC. ABAD=ACAED. DBEC=ABAC

7. 有五张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④圆；⑤菱形．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是
A. 15B. 25C. 35D. 45

8. 如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF=3，△EFC 的周长为 12，则 EC 的长为
A. 722B. 32C. 5D. 6

9. 如图，路灯灯柱 OP 的长为 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部（点 O）20 米的点 A 处，沿 AO 所在的直线行走 14 米到达点 B 处，人影的长度
A. 变长了 1.5 米B. 变短了 2.5 米C. 变长了 3.5 米D. 变短了 3.5 米

10. 如图所示，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，2OB=3OA，点 A 在反比例函数 y=2x 的图象上，若点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，则 k 的值为
A. 3B. −3C. −94D. −92

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：236⋅3= ．

12. 一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出 3 个小球，则事件“所摸 3 个球中必含一个红球”是 （填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”）．

13. 某建筑物的窗户为黄金矩形，已知它较长的一边长为 1 米，则较短的一边长为 米（结果保留根号或者 3 位小数）．

14. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠BCD，要 △ABC∽△DAC，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个条件，不添加辅助线和字母）．

15. 如图，E 是矩形 ABCD 的对角线的交点，点 F 在边 AE 上，且 DF=DC，若 ∠ADF=25∘，则 ∠ECD= ∘．

16. 关于 x 的方程 xx−2+1=ax−2 有增根，则 a 的值为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=16 cm，AC=12 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 以 2 cm/s 的速度向点 C 移动，点 Q 从点 C 出发，以 1 cm/s 的速度向点 A 移动，若点 P，Q 分别从点 B，C 同时出发，设运动时间为 t s，当 t= 时，△CPQ 与 △CBA 相似．

18. 如图，直线 y=2x 与反比例函数 y=kx 的图象交于点 A3,m，点 B 是线段 OA 的中点，点 En,4 在反比例函数的图象上，点 F 在 x 轴上，若 ∠EAB=∠EBF=∠AOF，则点 F 的横坐标为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 已知 A=a+b2−4ababa−b2（a,b≠0 且 a≠b）．
（1）化简 A；
（2）若点 Pa,b 在反比例函数 y=−5x 的图象上，求 A 的值．

20. 为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为 100 分）进行统计，已知A组的频数 a 比B组的频数 b 小 24，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如图，请解答下列问题：
（1）样本容量为： ，a 为 ；
（2）n 为 ，E组所占比例为 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在 80 分以上记作优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀学生有 名．

21. 请你阅读小红同学的解题过程，并回答所提出的问题．
计算：3x−1+x−31−x2．
小红的解法：
算式=−3x+1x+11−x+x−31+x1−x①=−3x+1+x−3②=−3x−3+x−3③=−2x−6.④
（1）问：小红在第 步开始出错（写出序号即可）；
（2）请你给出正确解答过程．

22. 如图，在 4×3 的正方形方格中，△ABC 和 △DEC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= ∘，BC= ；
（2）判断 △ABC 与 △DEC 是否相似，并证明你的结论．

23. 已知 a−17+17−a=b+8．
（1）求 a 的值；
（2）求 a2−b2 的平方根．

24. 已知，y=y1+y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，并且当 x=−1 时，y=−1，当 x=2 时，y=5．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）当 y=−5 时，求 x 的值．

25. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AD 是斜边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于 F，连接 CF．
（1）求证：BD=AF；
（2）判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．

26. 如图，反比例函数 y=4x 的图象与一次函数 y=kx−3 的图象在第一象限内相交于点 A，且点 A 的横坐标为 4．
（1）求点 A 的坐标及一次函数的解析式；
（2）若直线 x=2 与反比例函数和一次函数的图象分别交于点 B，C，求线段 BC 的长．

27. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=12BC，连接 DE，CF．
（1）求证：DE=CF；
（2）若 AB=4，AD=6，∠B=60∘，求 DE 的长．

28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+6 的图象分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，点 A 的坐标为 −8,0．
（1）点 B 的坐标为 ；
（2）在第二象限内是否存在点 P，使得以 P，O，A 为顶点的三角形与 △OAB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】∵ 四个选项中，只有 −3×−4=12，
∴ D点 −3,−4 在双曲线 y=12x 上．
3. A
4. C【解析】菱形对角线具有的性质是：对角线互相平分、互相垂直且平分，对角线所在直线是对称轴．
菱形对角线不相等．
5. A
【解析】∵ 折线统计图能清楚地显示数据变化趋势，
∴ 描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是折线统计图．
6. B
7. C
8. C
9. D【解析】设小明在 A 处时影长为 x 米，B 处时影长为 y 米，
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴ADOP=MAMO，BCOP=BNON，
则 xx+20=1.68，
解得：x=5，
yy+20−14=1.68，
解得：y=1.5 米，
∴x−y=3.5 米，
故变短了 3.5 米．
10. D
【解析】过点 A，B 作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，分别于 C，D．
设点 A 的坐标是 m,n，则 AC=n，OC=m，
∵ ∠AOB=90∘，
∴ ∠AOC+∠BOD=90∘，
∵ ∠DBO+∠BOD=90∘，
∴ ∠DBO=∠AOC，
∵ ∠BDO=∠ACO=90∘，
∴ △BDO∽△OCA，
∴ BDOC=ODAC=OBOA，
∵ 2OB=3OA，
∴ BD=32m，OD=32n，
∵ 点 A 在反比例函数 y=2x 的图象上，则 mn=2，
∵ 点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，B 点的坐标是 −32n,32m，
∴ k=−32n⋅32m=−94mn=−92．
第二部分
11. 22
【解析】原式=23×6×3=23×32=22.
12. 必然事件
【解析】∵ 盒子中装有 3 个红球，2 个黄球，
∴ 从中随机摸出 3 个小球，则事件“所摸 3 个球中必含一个红球”是必然事件．
13. 5−12
【解析】设较短的一边长为 x 米，
根据题意有 x1=5−12，
解得 x=5−12，
答：较短的一边长为 5−12 m．
14. ∠BAC=∠D（答案不唯一）
【解析】∵AC 平分 ∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠BAC=∠D（或 ∠ABC=∠ADC），
∴△ABC∽△DAC．
15. 57.5
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90∘，
∵∠ADF=25∘，
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90∘−25∘=65∘，
∵DF=DC，
∴∠ECD=180∘−∠CDF2=57.5∘．
16. 2
17. 4.8 s 或 6411 s
【解析】CP 和 CB 是对应边时，△CPQ∽△CBA，
∴CPCB=CQCA，即 16−2t16=t12，解得 t=4.8；
CP 和 CA 是对应边时，△CPQ∽△CAB，
∴CPCA=CQCB，即 16−2t12=t16，解得 t=6411．
综上所述，当 t=4.8 s或6411 s 时，△CPQ 与 △CBA 相似．
18. 4.5
【解析】∵ 直线 y=2x 与反比例函数 y=kx 的图象交于 A3,m，
∴ m=2×3=6，
∴ A3,6，
∴ 6=k3，得 k=18，
∵ 点 B 是线段 OA 的中点，点 En,4 在反比例函数的图象上，
∴ B1.5,3，4=18n，得 n=4.5，
∴ E4.5,4，
∴ AB=3−1.52+6−32=352，AE=3−4.52+6−42=52，OB=1.5−02+3−02=352，
∵ ∠EAB=∠EBF=∠AOF，∠ABE+∠EAB+∠AEB=180∘，∠ABE+∠EBF+∠OBF=180∘，
∴ ∠AEB=∠OBF，
∵ ∠EAB=∠BOF，
∴ △ABE∽△OFB，
∴ ABOF=AEOB，
即 352OF=52352，
解得，OF=92，
即点 F 的横坐标是 92．
第三部分
19. （1） A=a2+b2+2ab−4ababa−b2=a−b2aba−b2=1ab.
（2） 因为点 Pa,b 在反比例函数 y=−5x 的图象上，
所以 ab=−5，
所以 A=1ab=−15．
20. （1） 200；16
【解析】样本容量为 24÷20%−8%=200，a=200×8%=16．
（2） 126；12
【解析】n=360×70200=126，
E组所占百分比为 100%−8%+20%+25%+70200×100%=12%．
（3） C组的频数为 200×25%=50，
E组的频数为 200−16−40−50−70=24，
补全频数分布直方图为：
（4） 940
【解析】2000×70+24200=940（名），
∴ 估计成绩优秀的学生有 940 名．
21. （1） ②
（2） 原式=3x−1−x−3x2−1=3x+1x−1x+1−x−3x+1x−1=3x+3−x+3x+1x−1=2x+6x2−1.
22. （1） 135；22
【解析】如图所示，取点 G，
∵△BCG 是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45∘，
∵∠ABG=90∘，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90∘+45∘=135∘；
∵ 在 Rt△BGC 中，BG=2，CG=2，
∴BC=BG2+CG2=22+22=22．
（2） 相似．理由如下：
∵BC=22，EC=2，
∴ABCE=22=2，BCED=222=2，
∴ABCE=BCED，
又 ∵∠ABC=∠DEC=135∘，
∴△ABC∽△DEC．
23. （1） ∵ a−17≥0，17−a≥0，
∴ a=17．
（2） ∵ a=17，
∴ 17−17+17−17=b+8，b=−8，
a2−b2=172−−82=152，
∴ a2−b2 的平方根为 ±a2−b2=±152=±15．
24. （1） 设 y1=kx，y2=nx，
则 y=y1+y2=kx+nx，
∵ 当 x=−1 时，y=−1，当 x=2 时，y=5，
∴−1=−k−n,5=2k+n2, 解得：k=3,n=−2,
∴y 关于 x 的函数关系式为 y=3x−2x．
（2） 把 y=−5 代入 y=3x−2x 得：−5=3x−2x，
解得：x1=−2，x2=13．
25. （1） 因为 AF∥BC，
所以 ∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE，
因为 E 是 AD 的中点，
所以 DE=AE，
在 △AEF 和 △DEB 中，
∠FAE=∠BDE,∠AFE=∠DBE,AE=DE,
所以 △AEF≌△DEB．
所以 BD=FA．
（2） 四边形 ADCF 的形状是菱形，
证明：由（1）得 BD=AF，
又因为 BD=DC，
所以 DC=AF，
因为 AF∥DC，
所以四边形 ADCF 是平行四边形，
因为 AD 是 Rt△ABC 斜边上的中线，
所以 AD=12BC=DC，
所以平行四边形 ADCF 是菱形．
26. （1） ∵ 点 A4,m 在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴m=44=1，
∴A4,1，
把 A4,1 代入一次函数 y=kx−3，得 4k−3=1，
∴k=1，
∴ 一次函数的解析式为 y=x−3．
（2） ∵ 直线 x=2 与反比例和一次函数的图象分别交于点 B，C，
∴ 当 x=2 时，yB=42=2，yC=2−3=−1．
∴ 线段 BC 的长为 ∣yB−yC∣=2−−1=3．
27. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC．
又 ∵ F 是 AD 的中点，
∴ FD=12AD．
∵ CE=12BC，
∴ FD=CE．
又 ∵ FD∥CE，
∴ 四边形 CEDF 是平行四边形．
∴ DE=CF．
（2） 过 D 作 DG⊥CE 于点 G．如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．
∴ ∠DCE=∠B=60∘．
在 Rt△CDG 中，∠DGC=90∘，
∴ ∠CDG=30∘，
∴ CG=12CD=2．
由勾股定理，得 DG=CD2−CG2=23．
∵ CE=12BC=3，
∴ GE=1．
在 Rt△DEG 中，∠DGE=90∘，
∴ DE=DG2+GE2=13．
28. （1） 0,6
（2） 存在点 P 符合条件．
由题意得，AB=62+82=10，
把 A−8,0 代入 y=kx+6，解得 k=34，
所以直线 AB 的解析式为 y=34x+6．
①当点 O 为直角顶点时，点 P 在 y 轴上，显然不成立；
②如图 1，
当点 A 为直角顶点时，若 △OAB∽△AOP1，则 OAOA=OBAP1，得 AP1=6，所以 P1−8,6；
若 △OAB∽△AP2O，则 OAAP2=OBOA，得 AP2=323，所以 P2−8,323；
③如图 2，
当点 P 为直角顶点时，若 △OAB∽△P3AO，则 OAAB=OP3OB，得 OP3=245，
过 P3 作 P3C⊥OA 于 C，易得 △OP3C∽△BAO，
所以 OP3AB=OCOB=P3COA，
解得 OC=7225，P3C=9625，
所以 P3−7225,9625；
若 △OAB∽△P4OA，则 OAOP4=ABOA，得 OP4=325，
过 P4 作 P4D⊥OA 于 D，易得 △P4OD∽△BAO，
所以 OP4AB=P4DOB=ODOA，
解得 P4D=9625，OD=12825，
所以 P4−12825,9625．
综上所述，满足条件的 P 点的坐标为 −8,6 或 −8,323 或 −7225,9625 或 −12825,9625．