2019_2020学年武汉市洪山区八上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年武汉市洪山区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若分式 x2−4x2−x−2 的值为零，则 x 的值是
A. 2 或 −2B. 2C. −2D. 4

2. 下列代数运算正确的是
A. x32=x5B. 2x2=2x2
C. x+12=x2+1D. x3⋅x2=x5

3. 计算 −2a−3b2a−3b 的结果为
A. 9b2−4a2B. 4a2−9b2
C. −4a2−12ab−9b2D. −4a2+12ab−9b2

4. 下列各项多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是
A. x2+2x+1=xx+2+1
B. 3a−2−2a2−a=a−23−2a
C. 6a−9−a2=a−32
D. aba−b−ab−a2=aa−b2b−a

5. 如图，根据计算正方形 ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立
A. a+b2=a2+2ab+b2B. a−b2=a2−2ab+b2
C. a+ba−b=a2−b2D. aa−b=a2−ab

6. 分式方程 xx−1=32x−2−2 的解是
A. x=76B. x=−16C. x=12D. 无解

7. 计算 1x−1+1x+1÷21−x−2−2x 的结果是
A. −2xx+1B. −1xx+1C. −1xx−1D. 1xx+1

8. 甲、乙两个救援队向相距 50 千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的 2 倍，乙救援队出发 40 分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到 20 分钟．若设乙救援队的平均速度为 x 千米/小时，则方程可列为
A. 502x+13=50xB. 502x+1=50xC. 502x−13=50xD. 502x−1=50x

9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AC，∠ABD=60∘，∠ADB=78∘，∠BDC=24∘，则 ∠DBC=
A. 18∘B. 20∘C. 25∘D. 15∘

10. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 △CDM 周长的最小值为
A. 6B. 8C. 10D. 12

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分式 2x−13x+1 有意义，则 x 满足的条件是 ．

12. 若 x2+2m−3x+16 是关于 x 的完全平方式，则 m= ．

13. 近日，获诺贝尔奖的中国科学家屠呦呦接受央视记者采访时表示，青蒿素挽救数百万人生命，但对青蒿素的研究远远没有结束，“青蒿素抗疟是有效的，但抗疟的机理还没搞清楚，大家能把它搞清楚，这个药才能物尽其用发挥更好作用．“其中疟疾病菌的直径约为 0.51 微米，也就是 0.00000051 米，那么数据 0.00000051 用科学记数法表示为 ．

14. 若把多项式 x2+5x−6 分解因式为 ．

15. 如图，坐标平面上，△ABC≌△FDE，若 A 点的坐标为 a,1，BC∥x轴，B 点的坐标为 b,−3，D，E 两点在 y 轴上，则 F 点到 y 轴的距离为 ．

16. 四边形 ABCD 中，∠BAD=125∘，∠B=∠D=90∘，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，当三角形 AMN 周长最小时，∠MAN 的度数为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 解方程：
（1）x−3x−2=32−x−1；
（2）x+1x−1=1+5x2−1．

18. 化简分式．
（1）x2+2x+12x−6÷x−1−3xx−3；
（2）xx+2−62x+4÷5x+2−x+2．

19. 如图，△ABC 和 △AED 为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且 ∠BAC=∠DAE，连接 BE，CD 交于点 O，连接 AO．求证：
（1）△BAE≌△CAD；
（2）OA 平分 ∠BOD．

20. 利用乘法公式计算．
（1）2x−3−3−2x+2x−12；
（2）x+2y+1x−2y+1−x−2y−12．

21. 将下列多项式因式分解：
（1）4ab2−4a2b+a3；
（2）16x−y2−24xx−y+9x2；
（3）6a−b2−3b−a2．

22. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本．当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）?若赔钱，赔多少?若赚钱，赚多少?

23. （1）如图 1，已知 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点 D，E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图 2，将（1）中的条件改为：在 △ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在直线 m 上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DE=BD+CE．
（3）拓展与应用：如图 3，D，E 是 D，A，E 三点所在直线 m 上的两动点（D，A，E 三点互不重合），点 F 为 ∠BAC 平分线上的一点，且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，连接 BD，CE，若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：△DEF 为等边三角形．

24. 已知 △ABC 中，∠ACB=90∘．
（1）如图 1，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，连 AD，点 E，F 分别是线段 CD，AB 上的点（点 E 不与点 D，C 重合），且 ∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠CAE．求证：BF=DE．
（2）如图 2，若 AC=BC，BD⊥AD，连 DC，求证：∠ADC=45∘．
（3）如图 3，若 AC=BC，点 D 在 AB 的延长线上，以 DC 为斜边作等腰直角 △DCE，过直角顶点 E 作 EF⊥AC 于 F，求证：点 F 是 AC 的中点．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】A、 x32=x6，错误；
B、 2x2=4x2，错误；
C、 x+12=x2+2x+1，错误；
D、 x3⋅x2=x5，正确．
3. A【解析】原式=9b2−4a2．
4. D【解析】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式两边不等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式两边不等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解且正确，故本选项符合题意．
5. A
【解析】根据题意得：a+b2=a2+2ab+b2．
6. A【解析】两边同时乘以 2x−1 得，
2x=3−4x−1，
去括号得，2x=3−4x+4，
解得，x=76，
检验：当 x=76 时，2x−2≠0，故 x=76 是原分式方程的解．
7. B【解析】原式=2xx+1x−1÷21−x−21+x=2xx+1x−1÷2x21−x=2xx+1x−1×1−x2x2=−1xx+1.
8. B【解析】设乙救援队的平均速度为 x 千米/小时，则甲救援队的平均速度为 2x 千米/小时：
根据题意得出：502x+1=50x．
9. A
10. C
【解析】连接 AD，如图．
∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得 AD=8，
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10.
第二部分
11. x≠−13
【解析】3x+1≠0，
∴x≠−13．
12. −1 或 7
【解析】∵x2+2m−3x+16 是关于 x 的完全平方式，
∴2m−3=±8，
解得：m=−1 或 m=7．
13. 5.1×10−7
【解析】0.00000051=5.1×10−7．
14. x−1x+6
【解析】x2+5x−6=x−1x+6．
15. 4
【解析】如图，作 AH⊥BC 于 H，FP⊥DE 于 P，
∵△ABC≌△FDE，
∴AC=EF，∠C=∠FED，
在 △ACH 和 △FEP 中，
∠C=∠FEP,∠AHC=∠FPE,AC=EF,
∴△ACH≌△FEPAAS，
∴AH=FP，
∵A 点的坐标为 a,1，BC∥x轴，B 点的坐标为 b,−3，
∴AH=4，
∴FP=4，
∴F 点到 y 轴的距离为 4．
16. 70∘
【解析】延长 AB 到 Aʹ 使得 BAʹ=AB，延长 AD 到 Aʺ 使得 DAʺ=AD，连接 AʹAʺ 与 BC，CD 分别交于点 M，N．
∵∠ABC=∠ADC=90∘，
∴A，Aʹ 关于 BC 对称，Aʹ，Aʺ 关于 CD 对称，此时 △AMN 的周长最小，
∵BA=BAʹ，MB⊥AB，
∴MA=MAʹ，同理：NA=NAʺ，
∴∠Aʹ=∠MAB，∠Aʺ=∠NAD，
∵∠AMN=∠Aʹ+∠MAB=2∠Aʹ，∠ANM=∠Aʺ+∠NAD=2∠Aʺ，
∴∠AMN+∠ANM=2∠Aʹ+∠Aʺ，
∵∠BAD=125∘，
∴∠Aʹ+∠Aʺ=180∘−∠BAD=55∘，
∴∠AMN+∠ANM=2×55∘=110∘．
∴∠MAN=180∘−110∘=70∘．
第三部分
17. （1） 去分母、去括号得：
x−3=−3−x+2.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是原分式方程的解．
（2） 去分母、去括号得：
x2+2x+1=x2−1+5.
解得：
x=1.5.
经检验 x=1.5 是原分式方程的解．
18. （1） 原式=x+122x−3÷x2−1x−3=x+122x−3÷x+1x−1x−3=x+122x−3×x−3x+1x−1=x+12x−2.
（2） 原式=xx+2−62x+2÷9−x2x+2=x−3x+2×x+23+x3−x=−1x+3.
19. （1） ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在 △BAE 和 △CAD 中，
AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△BAE≌△CADSAS．
（2） 过点 A 分别作 AF⊥BE 于 F，AG⊥CD 于 G，如图所示：
∵△BAE≌△CAD，
∴AF=AG，
∵AF⊥BE 于 F，AG⊥CD 于 G，
∴OA 平分 ∠BOD．
20. （1） 2x−3−3−2x+2x−12=9−4x2+4x2−4x+1=−4x+10.
（2） x+2y+1x−2y+1−x−2y−12=x+1+2yx+1−2y−x−2y−12=x+12−4y2−x2+4xy+2x−4y−4y2−1=−8y2+4xy+4x−4y.
21. （1） 4ab2−4a2b+a3=aa2−4ab+4b2=aa−2b2.
（2） 16x−y2−24xx−y+9x2=4x−y−3x2=x−4y2.
（3） 6a−b2−3b−a2=3a−b2×2−1=3a−b2.
22. 设第一次购书的单价为 x 元，
根据题意得：
1200x+10=15001+20%x.
解得：
x=5.
经检验，x=5 是原方程的解且符合题意．
所以第一次购书为 1200÷5=240（本）．
第二次购书为 240+10=250（本）．
第一次赚钱为 240×7−5=480（元）．
第二次赚钱为 200×7−5×1.2+50×7×0.4−5×1.2=40（元）．
所以两次共赚钱 480+40=520（元）．
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元．
23. （1） ∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=90∘，
∵∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠CAE=∠ABD，
在 △ADB 和 △CEA 中，
∠BDA=∠CEA,∠CAE=∠ABD,AB=AC.
∴△ADB≌△CEAAAS，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2） ∵∠BDA=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠DBA=∠CAE，
在 △ADB 和 △CEA 中，
∠BDA=∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB=AC.
∴△ADB≌△CEAAAS，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3） 如图，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF 和 △ACF 均为等边三角形，
∴∠ABF=∠BFA=∠CAF=60∘，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
在 △DBF 和 △EAF 中，
BD=AE,∠DBF=∠FAE,BF=AF.
∴△DBF≌△EAFSAS，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘，
∴△DEF 为等边三角形．
24. （1） 如图 1，过点 E 作 EH⊥AB 于 H，交 AC 于 M，
设 ∠CAE=α，
∴∠ABC=2∠CAE=2α，
∵∠ACB=90∘，
∴∠CME=∠ABC=2α，
∴∠AEH=∠CME−∠CAE=2α−α=α，
∵∠AEF=∠ABC，
∴∠AEF=2α，
∴∠FEH=∠AEF−∠AEH=α=∠AEH，
∵EH⊥AB，
∴∠AHE=∠FHE=90∘，
在 △AHE 和 △FHE 中，
∠AEH=∠FEH,EH=EH,∠AHE=∠FHE,
∴△AHE≌△FHE，
∴AE=FE，
∵AC⊥BD，点 B 与点 D 关于 AC 对称，
∴∠ADB=∠ABC=2α，
在 △ADE 中，∠AED+∠DAE+∠ADB=180∘，
∵∠AED+∠AEF+∠BEF=180∘，
∴∠DAE+∠ADB=∠AEF+∠BEF，
∵∠AEF=∠ABC，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABC+∠BEF，
∴∠DAE=∠BEF，
在 △ADE 和 △EBF 中，
∠ADE=∠EBF,∠DAE=∠BEF,AE=FE,
∴△ADE≌△EBF，
∴DE=BF．
（2） 如图 2，过点 C 作 CN⊥CD 交 AD 于 N，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACN=∠BCD，
∵∠ACB=90∘=∠ADB，
∴∠CAN=∠CBD，
在 △ACN 和 △BCD 中，
∠ACN=∠BCD,AC=BC,∠CAN=∠CBD,
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，
∵∠DCN=90∘，
∴∠ADC=45∘．
（3） 如图 3，过点 D 作 DG⊥CD 交 CE 的延长线于 G，
∵∠CDE=45∘，
∴∠EDG=45∘，
∴EG=DE=CE，DG=DC，
过点 D 作 DH⊥AD 交 CB 的延长线于 H，连接 GH 交 FE 的延长线于 M，
∴∠HDG=∠BDC，
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∴∠DBH=∠DHB=45∘，
∴DH=BD，
在 △DHG 和 △DBC 中，
DG=DC,∠HDG=∠BDC,DH=DB,
∴△DHG≌△DBC，
∴GH=BC=AC，∠DHG=∠DBC=135∘，
∴∠BHG=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴GM∥AC，
∴ 四边形 CFMH 是矩形，
∴MH=FC，
易证，△MEG≌△FEC，
∴MG=FC，
∴GH=2CF，
∴2CF=AC，即：点 F 是 AC 的中点．