2019_2020学年福州一中九上期中数学试卷

这是一份2019_2020学年福州一中九上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有
A. B.
C. D.

2. 下列事件中，必然事件的是
A. a 是实数，−a2≤0
B. 天上打雷后就下雨
C. 掷一枚质地均匀的硬币一次，反面朝上
D. 某运动员跳高的最好成绩是 200.1 米

3. 在平面直角坐标系中，点 m,n 关于原点对称的点的坐标是
A. m,nB. −m,−nC. n,−mD. n,m

4. 已知 ⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则反映直线 l 与 ⊙O 的位置关系的图形是
A. B.
C. D.

5. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，已知 ∠ADC=140∘，则 ∠AOC 的大小是
A. 80∘B. 100∘C. 60∘D. 40∘

6. 二次函数 y=−x2+2kx+1k<0 的图象可能是
A. B.
C. D.

7. 下列命题错误的个数有
①过三点一定可以作一个圆．
②三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
④平分弦的直径垂直于弦．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 学校开运动会期间，九年级某两个班级被安排乘坐三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小明与小刚同车的概率为
A. 13B. 19C. 12D. 23

9. 已知关于 x 的方程 kx2+1−kx−1=0，下列说法正确的是
A. 当 k=0 时，方程无解
B. 当 k=1 时，方程有一个实数解
C. 当 k=−1 时，方程有两个相等的实数解
D. 当 k≠0 时，方程总有两个不相等的实数解

10. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=3，现将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转一定角度，点 Cʹ 恰落在边 BC 上的高所在的直线上，则边 BC 在旋转过程中所扫过的面积为
A. πB. 2πC. 3πD. 4π

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若二次函数 y=2x2−5 的图象上有两个点 A2,a 、 B3,b，则 a b（填“ < ”或“ = ”或“ > ”）．

12. 圆锥的底面的圆的半径为 5，侧面面积为 60π，则圆锥的母线长为 ．

13. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积．进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是 ．（结果用小数表示，精确到 0.1 ）
移栽棵树100100010000成活棵树899109008

14. 边心距为 3 的正六边形的面积为 ．

15. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ．

16. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，CD⊥AB 于点 D．过 C 点的 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P，若 BP=1，CP=3．若 M 为 AC 上一动点，则 OM+DM 的最小值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. （1）x2+2=x；
（2）x−32+4xx−3=0．

18. 画图：在平面直角坐标系中，△OAB 的位置如图所示，且点 A−3,4，B0,3．
（1）画出 △OAB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到的 △OAʹBʹ；
（2）写出点 A，B 的对应点 Aʹ，Bʹ 的坐标；
（3）求点 A 在旋转过程中所走过的路径长．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−4x+m−1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根．

20. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字 −1，0，1 的乒乓球（形状，大小一样），先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个乒乓球，记下数字．
（1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上数字相同的概率；
（2）求两次取出乒乓球上数字之积等于 0 的概率．

21. 如图，在等边 △ABC 中，点 D 是 AB 边上一点，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 60∘ 后得到 CE，连接 AE．
（1）求证：AE=BD；
（2）求 ∠BAE 的度数．

22. 学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共 36 米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边 AB 的长为 x 米（要求 AB（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
（2）要想使矩形花圃 ABCD 的面积为 60 平方米，AB 边的长应为多少米?

23. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，BD 是 ⊙O 的直径，AE⊥CD，垂足为 E，DA 平分 ∠BDE．
（1）求证：AE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ∠DBC=30∘，DE=1 cm，求 BD 的长．
（3）AE=4，BD=10，求 CD 的长度．

24. 如图，形如量角器的半圆 O 的直径 DE=12 cm，形如三角板的 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，半圆 O 以 2 cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D，E 始终在直线 BC 上．设运动时间为 ts，当 t=0 s 时，半圆 O 在 △ABC 的左侧，OC=8 cm．
（1）当 t= （s）时，⊙O 与 AC 所在直线第一次相切；点 C 到直线 AB 的距离为 （cm）；
（2）当 t 为何值时，直线 AB 与半圆 O 所在的圆相切；
（3）当 △ABC 的一边所在直线与圆 O 相切时，若 ⊙O 与 △ABC 有重叠部分，求重叠部分的面积．

25. 已知：抛物线 C1 的顶点坐标为 2,1，且经过 1,0．把 C1 先向左平移 2 个单位，再向上平移 8 个单位得到抛物线 C2．
（1）求抛物线 C2 的函数解析式；
（2）设抛物线 C2 交 x 轴于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），第一象限有一点 A，以 AM 为直径的圆经过点 N，且 ∠MAN=45∘，点 Pa,b 为抛物线 C2 在第二象限上的一个动点，求 △AMP 面积的最大值；
（3）若点 Pa,b 为抛物线 C2 在 x 轴上方部分图象上的一个动点，当 ∠MPN≥45∘ 时，求出 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. B
5. A
6. A
7. B
8. A
9. C
10. C
第二部分
11. <
12. 12
13. 0.9
14. 63
15. 39π
16. 72
第三部分
17. （1） 整理成一般式可得：
x2−x+2=0,∵
a=1,b=−1,c=2,∴
Δ=−12−4×1×2=−7<0,∴
方程无实数根．
（2） ∵
x−3x−3+4x=0,
即
x−35x−3=0,∴
x−3=0或5x−3=0,
解得：
x=3或x=35.
18. （1）
如图，△OAʹBʹ 即为所求；
（2） Aʹ 坐标 4,3，Bʹ 坐标 3,0；
（3） 点 A 在旋转过程中所走过的路径长是弧 AAʹ 的长．
由题意可知：OA=5
∵△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到的 △OAʹBʹ
∴∠AOAʹ 为旋转角，即 ∠AOAʹ=90∘
∴ 弧 AAʹ 的长为：
nπr180=90π⋅5180=5π2．
19. 由题意可知 Δ=0，即 −42−4m−1=0，解得
m=5.
当 m=5 时，原方程化为 x2−4x+4=0，解得
x1=x2=2.
所以原方程的根为 x1=x2=2．
20. （1） 如树状图所示，
共有 9 种情况，两次取出乒乓球上数字相同的情况有 3 种，所以概率是 13．
（2） 两次取出乒乓球上数字之积等于 0 的情况有 5 种，所以概率是 59．
21. （1） ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC=BC，∠B=∠ACB=60∘．
∵ 线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60∘ 得到 CE，
∴ CD=CE，∠DCE=60∘．
∴ ∠DCE=∠ACB，
即 ∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，
∴ ∠BCD=∠ACE，
在 △BCD 和 △ACE 中，
BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴ △BCD≌△ACESAS．
（2） ∵ △BCD≌△ACE，
∴ ∠EAC=∠BAC=60∘，
∴ ∠EAB=∠EAC+∠CAB=120∘．
22. （1） 由题意得：AB=x，BC=36−3x，S=AB⋅BC=x36−3x=−3x2+36x，
即 S 与 x 之间的函数关系式为：S=−3x2+36x0 （2）
−3x2+36x=60,
解得
x1=10舍去,x2=2,
答：要想使矩形花圃 ABCD 的面积为 60 平方米，AB 边的长应为 2 米．
23. （1） 连接 OA，
∵ DA 平分 ∠BDE，
∴ ∠BDA=∠EDA．
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠OAD=∠EDA，
∴ OA∥CE，
∵ AE⊥CE，
∴ AE⊥OA，
∴ AE 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵ BD 是直径，
∴ ∠BCD=∠BAD=90∘．
∵ ∠DBC=30∘，∠BDC=60∘，
∴ ∠BDE=120∘．
∵ DA 平分 ∠BDE，
∴ ∠BDA=∠EDA=60∘，
∴ ∠ABD=∠EAD=30∘．
∵ 在 Rt△AED 中，∠AED=90∘，∠EAD=30∘，
∴ AD=2DE．
∵ 在 Rt△ABD 中，∠BAD=90∘，∠ABD=30∘，
∴ BD=2AD=4DE．
∵ DE 的长是 1 cm，
∴ BD 的长是 4 cm．
（3） 如图 2，连接 OA，过 O 点作 OF 垂直 CD 于 F，
∴ ∠OFE=90∘，CD=2DF，
∵ AE 是 ⊙O 的切线．
∴ ∠OAE=90∘，
∵ AE⊥CD，
∴ ∠AED=90∘，
∴ ∠OFE=∠OAE=∠AED=90∘，
∴ 四边形 OAEF 是矩形，
∴ OF=AE=4，
在 Rt△ODF 中，OD=12BD=5，
∴ DF=OD2−OF2=3，
∴ CD=2DF=6．
24. （1） 1；6
【解析】因为 DE=12cm，
所以 OE=OD=6cm，
因为 OC=8cm，
所以 EC=8−6=2cm
所以 t=2÷2=1，
所以当 t=1 s 时，⊙O 与 AC 所在直线第一次相切；
如图 1，过 C 作 CF⊥AB 于 F，
Rt△BCF 中，因为 ∠ABC=30∘，BC=12cm，
所以 CF=12BC=6cm．
（2） 如图 2，过 C 作 CF⊥AB 于 F，
同理得：OF=6cm，
当直线 AB 与半圆 O 所在的圆相切时，
又因为圆心 O 到 AB 的距离为 6 cm，半圆的半径为 6 cm，
且圆心 O 又在直线 BC 上，
所以 O 与 C 重合，
即当 O 点运动到 C 点时，半圆 O 与 △ABC 的边 AB 相切，
此时，点 O 运动了 8 cm，所求运动时间 t=8÷2=4（秒）；
如图 3，当点 O 运动到 B 点的右侧时，且 OB=12 cm，过 O 作 OQ⊥AB，交直线 AB 于 Q，
在 Rt△QOB 中，∠OBQ=30∘，则 OQ=12OB=6 cm，
即 OQ 与半圆 O 所在的圆相切，此时点 O 运动了 12+12+8=32 cm，
所求运动时间 t=32÷2=16（秒），
综上所述，当 t 为 4 秒或 16 秒时，直线 AB 与半圆 O 所在的圆相切；
（3） 有两种情况：
①当半圆 O 与 AB 边相切于 F 时，如图 2，
重叠部分的面积 S=14π×62=9π cm2，
②当半圆 O 与 AC 相切于 C 时，如图 4，连接 OG，
因为 BC=DE=12 cm，
所以 C 与 D 重合，E 与 B 重合，
因为 OG=OB，
所以 ∠ABC=∠OGB=30∘，
所以 ∠COG=60∘，
过 O 作 OH⊥AB 于 H，
因为 OB=6 cm，
所以 OH=12OB=3 cm，
由勾股定理得：BH=62−32=33 cm，
所以 BG=2BH=63 cm，
此时重叠部分的面积 S=60π×62360+12×63×3=6π+93 cm2；
综上所述，重叠部分的面积为 9π cm2 或 6π+93cm2．
25. （1） ∵ 抛物线 C1 的顶点坐标为 2,1，
∴ 设抛物线 C1 的解析式为 y=ax−22+1，
∵ 经过 1,0，
∴ 0=a×1−22+1，解得 a=−1，
∴ 设抛物线 C1 的解析式为 y=−x−22+1，
∵ 把 C1 先向左平移 2 个单位，再向上平移 8 个单位得到抛物线 C2，
∴ 抛物线 C2 的解析式为 y=−x2+9．
（2） 在 y=−x2+9 中，令 y=0 可得：−x2+9=0，解得 x=3 或 x=−3，
∴ M−3,0，N3,0，
∵ AM 为直径，
∴ ∠MNA=90∘，
∴ AN⊥MN，
∵ ∠MAN=45∘，
∴ AN=MN=3−−3=6，
∴ A3,6，
∴ 直线 AM 解析式为 y=x+3，
如图 1，过 P 作 PE⊥x轴，交 AM 于点 E，
∵ P 在抛物线上，
∴ Pa,−a2+9，则 Ea,a+3，
∵ P 在第二象限，
∴ PE=−a2+9−a+3=−a2−a+6=−a+122+254，
∴ S△AMP=12PE⋅3−−3=3×−a+122+254=−3a+122+754，
∴ 当 a=−12 时，△AMP 的面积最大，最大值为 754．
（3） 在（2）中，可知当点 P 在以 AM 为直径的圆上时，∠MAN=∠MPN=45∘，
如图 2，
则当点 P 在圆内时有 ∠MPN≥45∘，
∵ M−3,0，A3,6，
∴ AM 的中点为 0,3，即圆心坐标为 0,3，
当点 P 在圆上时，满足点 P 到圆心的距离等于半径，
∴ a2+−a2+9−32=32+32，解得 a2=9（舍去）或 a2=2，
解得 a=2 或 a=−2，
∴ 当 ∠MPN≥45∘ 时，求出 a 的取值范围为 −3