2019_2020学年苏州市立达中学九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年苏州市立达中学九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 方程 x2−2x=0 的解为
A. x=2B. x=0C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−2

2. 一组数据 1，2，3，0，−2，−3 的极差是
A. 6B. 5C. 4D. 3

3. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=13，BC=5，则 sinA 的值是
A. 513B. 1213C. 512D. 135

4. 一元二次方程 x2+x−3=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根

5. 对于二次函数 y=x−12+2 的图象，下列说法正确的是
A. 开口向下B. 顶点坐标是 −1,2
C. 对称轴是直线 x=1D. 与 x 轴有两个交点

6. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 100 元降到 81 元．设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为
A. 811−x2=100B. 1001+x2=81
C. 811+x2=100D. 1001−x2=81

7. 下列命题中，正确的个数是
（1）三点确定一个圆；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）相等的圆心角所对的弧相等；
（4）正五边形是轴对称图形．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 二次函数 y=ax2+bx−1a≠0 的图象经过点 −1,1．则代数式 1−a+b 的值为
A. −3B. −1C. 2D. 5

9. 如图，AB 为 ⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与 ⊙O 交于点 C，BD 为 ⊙O 的直径，连接 CD，若 ∠A=30∘，OA=2，则图中阴影部分的面积为
A. π3−34B. 4π3−23C. π−3D. 43π−3

10. 如图，在扇形铁皮 AOB 中，OA=20，∠AOB=36∘，OB 在直线 l 上．将此扇形沿 l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当 OA 第一次落在 l 上时，停止旋转．则点 O 所经过的路线长为
A. 20πB. 22πC. 24πD. 20π+105−10

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 二次函数 y=x2−3 的顶点坐标是 ．

12. “植树节”时，九年级一班 6 个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是 5，则该组数据的平均数是 ．

13. 甲、乙两人 5 次射击命中的环数分别为，甲：7，9，8，6，10；乙：7，8，9，8，8；甲乙两人的平均数均为 8，则这两人 5 次射击命中的环数的方差 s甲2 s乙2（填“>”“<”或“=”）．

14. 正六边形的边心距与边长之比为 ．

15. 设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x−2018=0 的两个实数根，则 m2+3m+n= ．

16. AB 为半圆 O 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点 P 在半圆上，斜边过点 B，一条直角边交该半圆于点 Q．连接 BQ，若 AB=2，则线段 BQ 的长为 ．

17. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 −1,0，3,0 两点，以下四个结论正确的是（用序号表示） ．
（1）图象的对称轴是直线 x=1；
（2）当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小；
（3）一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3；
（4）当 −1
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A1,0，B1−a,0，C1+a,0，其中 a>0，点 P 在以 D4,4 为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足 ∠BPC=90∘，则 a 的最大值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：2−π0−1−sin30∘−1+2tan60∘．

20. 解方程：
（1）x2−2x=4；
（2）2x−3=3xx−3．

21. 一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1 、红球 2），1 个白球、 1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．
（1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是 ；
（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．

22. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2−m+2x+2=0．
（1）若方程的一个根为 x=3，求 m 的值及另一个根；
（2）若该方程根的判别式的值等于 1，求 m 的值．

23. 如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30∘，测得大楼顶端 A 的仰角为 45∘ （点 B，C，E 在同一水平直线上），已知 AB=80 m，DE=10 m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果精确到 0.1 m ）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732 ）

24. 已知二次函数 y=−x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当 y<0 时，x 的取值范围；
（3）若将此图象沿 x 轴向左平移 3 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．

25. 某商品交易会上，一商人将每件进价为 5 元的纪念品，按每件 9 元出售，每天可售出 32 件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价 2 元，每天的销售量会减少 8 件．
（1）当售价定为多少元时，每天的利润为 140 元?
（2）写出每天所得的利润 y（元）与售价 x（元 / 件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大?最大利润是多少元?（利润=售价−进价×售出件数）

26. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，BC 交 ⊙O 于点 D，E 是 CD 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，∠ABC=2∠EAC．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线；
（2）若 tanB=43，BD=6，求 CF 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2−3ax−4a 的图象经过点 C0,2，交 x 轴于点 A，B（A 点在 B 点左侧），顶点为 D．
（1）求抛物线的解析式及点 A，B 的坐标；
（2）将 △ABC 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点为 Aʹ，试求 Aʹ 的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 ∠BPC=∠BAC?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

28. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为 3,0，以 M 为圆心，5 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B，C，D．
（1）求证：△AOD∽△COB；
（2）如图 2，弦 DE 交 x 轴于点 P，若 BP:DP=3:2，求 tan∠EDA 的值；
（3）如图 3，过点 D 作 ⊙M 的切线，交 x 轴于点 Q，点 G 是 ⊙M 上的一个动点，问 GOGQ 的比值是否随着 G 的移动而变化?若不变，请求出此值，若变化请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. A
4. A
5. C
6. D
7. A
8. B
9. A
10. C
第二部分
11. 0,−3
12. 5
13. >
14. 3:2
15. 2016
【解析】∵m 为一元二次方程 x2+2x−2018=0 的实数根，
∴m2+2m−2018=0，即 m2=−2m+2018，
∴m2+3m+n=−2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n 分别为一元二次方程 x2+2x−2018=0 的两个实数根，
∴m+n=−2，
∴m2+3m+n=2018−2=2016．
16. 2
17. （1）（2）（3）
18. 6
第三部分
19. 原式=1−2+23=23−1.
20. （1）
x2−2x+1=5,x−12=5,x−1=±5,
所以
x1=1+5,x2=1−5;
（2）
2x−3−3xx−3=0,x−32−3x=0,x−3=0或2−3x=0,
所以
x1=3,x2=23.
21. （1） 12
【解析】4 个小球中有 2 个红球，则任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是 12；
（2） 列表如下：
红1红2白黑红1−−−红1,红2白,红1黑,红1红2红2,红1−−−白,红2黑,红2白红1,白红2,白−−−黑,白黑红1,黑红2,黑白,黑−−−
所有等可能的情况有 12 种，其中两次都摸到红球有 2 种可能，
则 P两次摸到红球=212=16．
22. （1） 设方程的另一根是 x2．
∵ 一元二次方程 mx2−m+2x+2=0 的一个根为 x=3，
∴ 9m−m+2×3+2=0，解得 m=23；
由一元二次方程根与系数的关系，得 3×x2=223，
∴ x2=1，即原方程的另一根是 x=1；
（2） Δ=−m+22−4×m×2=1，解得 m1=1，m2=3．
∴ m 的值为 1 或 3．
23. 如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，过点 C 作 CH⊥DF 于点 H．
则 DE=BF=CH=10，
在直角 △ADF 中，
∵AF=80−10=70，∠ADF=45∘，
∴DF=AF=70．
在直角 △CDE 中，
∵DE=10，∠DCE=30∘，
∴CE=DEtan30∘=1033=103 .
∴BC=BE−CE=70−103≈70−17.32≈52.7 .
答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7 m．
24. （1） 函数图象如图所示．
（2） 当 y<0 时，x 的取值范围为：x<0 或 x>2．
（3） 平移后图象所对应的函数关系式为：y=−x+22．
25. （1） 设售价定为 x 元时，每天的利润为 140 元，根据题意得：
x−532−12×8x−9=140,
解得：
x1=12,x2=10,
答：售价定为 12 元或 10 元时，每天的利润为 140 元．
（2） 根据题意得：y=x−532−12×8x−9，
即 y=−4x2+88x−340，y=−4x−112+144，
故当 x=11 时，y最大=144 元，
答：售价为 11 元时，利润最大，最大利润是 144 元．
26. （1） 连接 AD，如图 1，
∵AC 是 ⊙O 的直径，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90∘，
∵E 是 CD 的中点，
∴∠EAC=∠EAD，
∴∠DAC=2∠EAC，
∵∠ABC=2∠EAC，
∴∠ABC=∠DAC，
∴∠ABC+∠C=90∘，
∴∠BAC=90∘，
∴CA⊥AB，
∴AB 是 ⊙O 的切线．
（2） 作 FH⊥AC 于 H，如图 2，
在 Rt△ABD 中，
∵tanB=ADBD=43，BD=6，
∴AD=8，
∴AB=AD2+BD2=10，
在 Rt△ACB 中，
∵tanB=ACAB=43，
∴AC=43×10=403，
∴BC=AC2+AB2=503，
∴CD=BC−BD=503−6=323，
∵∠EAC=∠EAD，即 AF 平分 ∠CAD，
而 FD⊥AD，FH⊥AC，
∴FD=FH，
设 CF=x，则 DF=FH=323−x，
∵FH∥AB，
∴∠HFC=∠B，
在 Rt△CFH 中，
∵tan∠CFH=tanB=43=CHFH，
∴FHCF=35=323−xx，解得 x=203，
即 CF 的长为 203．
27. （1） 把 C0,2 代入 y=ax2−3ax−4a 得 −4a=2，
解得 a=−12．
所以抛物线的解析式为 y=−12x2+32x+2．
令 −12x2+32x+2=0，可得：x1=−1，x2=4．
所以 A−1,0，B4,0．
（2） 如图 1，作 AʹH⊥x 轴于 H，
因为 OAOC=OCOB=12，且 ∠AOC=∠COB=90∘，
所以 △AOC∽△COB，
所以 ∠ACO=∠CBO，
所以 ∠ACB=∠OBC+∠BCO=90∘，
由 AʹH∥OC，AC=AʹC 得 OH=OA=1，AʹH=2OC=4；
所以 Aʹ1,4．
（3） 易得抛物线的对称轴为直线 x=32，分两种情况：
①如图 2，以 AB 为直径作 ⊙M，⊙M 交抛物线的对称轴于 P（BC 的下方），
由圆周角定理得 ∠CPB=∠CAB，
易得：MP=12AB．
所以 P32,−52．
②如图 3，类比第（2）小题的背景将 △ABC 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点为 Aʹ，以 AʹB 为直径作 ⊙Mʹ，⊙Mʹ 交抛物线的对称轴于 Pʹ（BC 的上方），连接 CPʹ，BPʹ，MʹPʹ，
则 ∠CPʹB=∠CAʹB=∠CAB．
作 MʹE⊥AʹH 于 E，交对称轴于 F．
则 MʹE=12BH=32，EF=32−1=12．
所以 MʹF=32−12=1．
在 Rt△MʹPʹF 中，PʹF=522−12=212，
所以 Pʹ 点的纵坐标为 2+212．
所以 Pʹ32,2+212．
综上所述，P 的坐标为 32,−52 或 32,2+212．
28. （1） ∵ ∠AOD=∠COB，∠ADO=∠OBC，
∴ △AOD∽△COB；
（2） 连接 AE，BE，MD，如图 1，
∵ 点 M 的坐标为 3,0，MA=MB=MD=5，
∴ OM=3，OA=AM−OM=2．
在 Rt△ODM 中，OD=MD2−OM2=4，
在 Rt△OAD 中，AD=OA2+OD2=25，
∵ ∠PEB=∠PAD，∠PBE=∠PDA，
∴ △PBE∽△PDA，
∴ BEAD=PBPD=32，
∴ BE=32×25=35，
在 Rt△ABE 中，AE=AB2−BE2=55，
∴ tan∠ABE=AEBE=5535=113，
∵ ∠EDA=∠ABE，
∴ tan∠EDA=113；
（3） GOQG 的值不变，比值为 35，
理由如下：
如图 2，连接 MD，MG，
∵ DQ 为切线，
∴ MD⊥QD，
∴ ∠MDQ=90∘，
∴ ∠ODM+∠ODQ=90∘，
∵ ∠OQD+∠ODQ=90∘，
∴ ∠ODM=∠OQD，
∴ △ODM∽△OQD，
∴ OD:OQ=OM:OD，即 4:OQ=3:4，
∴ OQ=163，
当 G 点与 A 点重合时，OGQG=OAAQ=2163−2=35；
当 G 点与 B 点重合时，OGQG=OBBQ=88+163=35；
当 G 点不与 A，B 重合时，
∵ ∠OMD=∠DMQ，
∴ △MOD∽△MDQ，
∴ MOMD=MDMQ，即 MD2=MO⋅MQ，而 MD=MG，
∴ MG2=MO⋅MQ，
又 ∵ ∠OMG=∠GMQ，
∴ △MOG∽△MGQ，
∴ OGQG=OMMG=35，
综上所述，GOQG 的值不变，比值为 35．