2019_2020学年深圳市南山区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2019_2020学年深圳市南山区九上期末数学试卷（一模），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 2a=3b，则 a:b 等于
A. 3:2B. 2:3C. −2:3D. −3:2

2. 与如图中的三视图相对应的几何体是
A. B.
C. D.

3. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k>−1 且 k≠0
C. k<1D. k<1 且 k≠0

4. 下列命题中，真命题是
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

5. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为
A. 12.36 cmB. 13.6 cmC. 32.36 cmD. 7.64 cm

6. 已知反比例函数 y=1−kx，当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的值可以是
A. −1B. 0C. 1D. 2

7. 如图，已知 DE∥BC，CD 和 BE 相交于点 O，S△DOE:S△COB=4:9，则 AE:EC 为
A. 2:1B. 2:3C. 4:9D. 5:4

8. 函数 y=kxk≠0 的图象如图所示，那么函数 y=kx−k 的图象大致是
A. B.
C. D.

9. 若菱形的周长为 52 cm，面积为 120 cm2，则它的对角线之和为
A. 14 cmB. 17 cmC. 28 cmD. 34 cm

10. 设 a，b 是方程 x2+x−2016=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为
A. 2014B. 2015C. 2016D. 2017

11. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，连接 BM，DN．若四边形 MBND 是菱形，则 AMMD 等于
A. 38B. 23C. 35D. 45

12. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为
A. 23B. 26C. 3D. 6

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 方程 x2=2x 的解为 ．

14. 某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 60 只黄羊，发现其中 2 只有标志．从而估计该地区有黄羊 只．

15. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4 cm，BD=8 cm，DE=5 cm，则线段 BF 长为 cm．

16. 两个反比例函数 y=kx 和 y=1x 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 y=kx 的图象上，PC⊥x轴 于点 C，交 y=1x 的图象于点 A，PD⊥y轴 于点 D，交 y=1x 的图象于点 B，当点 P 在 y=kx 的图象上运动时，以下结论；
① △ODB 与 △OCA 的面积相等；
②四边形 PAOB 的面积不会发生变化，其面积值总为 k−1；
③ PA 与 PB 始终相等；
④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．
其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解方程
（1）x2−4x−5=0；
（2）5x2+2x−1=0．

18. 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有 2 个，黄球有 1 个，蓝球有 1 个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．游戏规则是：两人各摸 1 次球，先由小明从纸箱里随机摸出 1 个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出 1 个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗?请你利用树状图或列表法说明理由．

19. 阳光下，小亮测量“望月阁”的高 AB．如图所示，由于观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此他首先在直线 BM 上点 C 处固定平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时，看到“望月阁”顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度 ED=1.5 米，CD=2 米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：小亮从 D 点沿 DM 方向走了 16 米，到达“望月阁”影子的末端 F 点处，此时，测得小亮身高 FG 的影长 FH=2.5 米，FG=1.65 米．已知 AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB 的长度．

20. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60 cm，宽 40 cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为 650 cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是 40 元/件，如果以单价 100 元/件销售，那么每天可售出 200 件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是 2000 元，根据销售经验，如果将销售单价降低 1 元，每天可多售出 20 件，请问该公司每天所获利润能否达到 22500 元，如果能应该把销售单价定为多少元?如果不能，请说明理由．

21. 已知：如图，正比例函数 y=ax 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交于点 A3,2．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当 x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?
（3）点 Mm,n 是反比例函数图象上的一动点，其中 0
22. 已知矩形 ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，CM 的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形 MENF 是 （只写结论，不需证明）；
（3）在（1）（2）的前提下，当 ADAB 等于多少时，四边形 MENF 是正方形，并给予证明．

23. 如图 1，在 △ABC 中，AB=10 cm，AC=8 cm，BC=6 cm，如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2 cm/s，连接 PQ，设运动的时间为 t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BC．
（2）是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把 △ABC 的面积平分?若存在求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图 2，把 △APQ 沿 AP 翻折，得到四边形 AQPQʹ，那么是否存在某时刻 t 使四边形 AQPQʹ 为菱形?若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. D
5. A
【解析】设宽为 x cm，
则 x20=5−12，
解得 x≈12.36．
6. D
7. A
8. C【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象位于第二、四象限，
∴k<0，−k>0．
∵k<0，
∴ 函数 y=kx−k 的图象过二、四象限．
∵−k>0，
∴ 函数 y=kx−k 的图象与 y 轴相交于正半轴，
∴ 一次函数 y=kx−k 的图象过一、二、四象限．
9. D
10. B
【解析】∵a，b 是方程 x2+x−2016=0 的两个实数根，
∴a+b=−1，a2+a−2016=0 .
∴a2+a=2016 .
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2016−1=2015 .
11. C
12. A
第二部分
13. x1=0，x2=2
14. 600
15. 10
16. ①②④
【解析】提示：④ 当点 A 是 PC 的中点时，设 Aa,1a．
∴Pa,2a．
∴B 的纵坐标为 2a．
∴Ba2,2a．
∴ 点 B 是 PD 的中点．
第三部分
17. （1）
∵x2−4x−5=0.∴x+1x−5=0.
解得：
x1=−1或x2=5.
（2）
∵a=5,b=2,c=−1.∴Δ=b2−4ac=4+4×5×1=24>0.∴x=−2±2610=−1±65.
解得：
x1=−1+65,x2=−1−65.
18. 不公平，画树状图如图所示．
由上述树状图知，所有可能出现的结果共有 16 种．
P小明赢=616=38，P小亮赢=1016=58．
∴ 此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
19. ∵ AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，
∴ ∠ABC=∠EDC=∠GFH=90∘，
由题意得：AF∥GH，∠ACB=∠ECD，
∴ ∠AFB=∠GHF，
故 △ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则 ABED=BCDC，ABGF=BFFH，
即 AB1.5=BC2，AB1.65=BC+182.5，
解得：AB=99 m，
答：“望月阁”的高 AB 的长度为 99 m．
20. （1） 设花边的宽度为 x cm．根据题意得：
60−2x40−x=60×40−650.
解得：
x1=5,x2=65舍去.
答：丝绸花边的宽度为 5 cm；
（2） 设每件工艺品降价 y 元出售，则根据题意可得：
100−y−40200+20y−2000=22500.
整理得：
y2−50y+625=0,
解这个方程得：
y1=y2=25.
所以 100−25=75（元）.
答：当售价定为 75 元时能达到利润 22500 元．
21. （1） 将 A3,2 分别代入 y=kx，y=ax 得：k=6，a=23，
则反比例函数解析式为 y=6x，正比例函数解析式为 y=23x．
（2） 由图象得：在第一象限内，当 0 （3） BM=DM，
理由为：
∵ S△OMB=S△OAC=12×∣k∣=3，
∴ S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即 OC⋅OB=12，
∵ OC=3，
∴ OB=4，即 n=4，
∴ m=6n=32．
∴ MB=32，MD=3−32=32，
则 MB=MD．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A=∠D=90∘，AB=DC．
∵ M 是 AD 的中点，
∴ AM=DM．
在 △ABM 和 △DCM 中，
AB=DC,∠A=∠D,AM=DM,
∴ △ABM≌△DCMSAS．
（2） 菱形
（3） 当 ADAB=2 时，四边形 MENF 是正方形；
证明：当 ADAB=2 时，AB=AM，
∴ △ABM 是等腰直角三角形．
∴ ∠AMB=45∘．
同理：∠DMC=45∘．
∴ ∠BMC=90∘．
∴ 菱形 MENF 是正方形．
23. （1） 由题意知：BP=2t，AP=10−2t，AQ=2t，
∵ PQ∥BC，
∴ △APQ∽△ABC，
∴ APAB=AQAC，
即 10−2t10=2t8，
解得：t=209，
∴ 当 t=209 s 时，PQ∥BC；
（2） 不存在 t，使线段 PQ 恰好把 △ABC 的面积平分．
如图所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D，
∴ PD∥BC，
∴ APAB=PDBC，即 10−2t10=PD6，
解得 PD=6−65t，
∴ S△AQP=12PD×AQ=6t−65t2，
假设存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把 △ABC 的面积平分，
则有 S△AQP=12S△ABC，
在 △ABC 中，AB=10 cm，AC=8 cm，BC=6 cm，
∴ AB2=AC2+BC2，
∴△ABC 是直角三角形，且 ∠C=90∘，
∴S△ABC=12AC⋅BC=24，
∴S△AQP=12，
而 S△AQP=6t−65t2，
∴6t−65t2=12，
化简得：t2−5t+10=0，
∵ Δ=−52−4×1×10=−15<0，
∴ 此方程无解，
∴ 不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把 △ABC 的面积平分；
（3） 假设存在时刻 t，使四边形 AQPQʹ 为菱形，则有 AQ=PQ=BP=2t．
如图所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D，
则有 PD∥BC，
∴ ADAC=APAB=PDBC，
即 AD8=10−2t10=PD6，
解得：PD=6−65t，AD=8−85t，
∴ QD=AD−AQ=8−85t−2t=8−185t，
在 Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，
即 8−185t2+6−65t2=2t2，
化简得：13t2−90t+125=0，
解得：t1=5（舍），t2=2513，
∴ t=2513，
∵ 当 t=2513 时，S△AQP=6t−65t2=6×2513−65×25132=1200169，
∴ S菱形AQPQʹ=2S△AQP=2×1200169=2400169．
故当 t=2513 时，使四边形 AQPQʹ 为菱形，此时菱形的面积为 2400169 cm2．