2020-2021学年北京市海淀区十一龙樾实验中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区十一龙樾实验中学八下期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是
A. 25B. 12C. 17D. m2

2. 将函数 y=−2x+4 向上平移 2 个单位长度得到的直线的解析式为
A. y=−2xB. y=−2x+6C. y=−2x+2D. y=2x+6

3. 如图，正方形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 BD 上，且 BE=CD，则 ∠BEC 的度数为
A. 22.5∘B. 60∘C. 67.5∘D. 75∘

4. 在 △ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，下列说法错误的是
A. 如果 ∠C−∠B=∠A，则 △ABC 是直角三角形
B. 如果 c2=b2−a2，则 △ABC 是直角三角形
C. 如果 ∠A:∠B:∠C=1:2:3，则 △ABC 是直角三角形
D. 如果 a2+b2≠c2，则 △ABC 不是直角三角形

5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA=90∘，D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，若 CD=10，则 EF 的长为
A. 6B. 8C. 10D. 5

6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标是 −2,0，且 ∠COA=60∘，则点 B 的坐标为
A. −3,−1.5B. −3,1.5
C. −3,−3D. −3,3

7. 如图，在点 A，B，C，D 四个点中，一次函数 y=kx−1k>0 的图象不可能经过的点是
A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点

8. 己知两个变量 x 和 y 之间的三组对应值如下表，则 y 与 x 之间的函数解析式可能是
x−123y−127
A. y=xB. y=x+4C. y=x2−2D. y=2∣x∣−2

9. 如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上两点，且 BE=DF，若 ∠BAF=90∘，AB=4，AF=AE=3，则 AC 的长为
A. 2.4B. 3.6C. 4.8D. 6

10. 已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=x+2 的自变量 x 取值范围是 ．

12. 在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC 上一点，请你添加一个条件： ，使四边形 AFCE 为平行四边形．

13. 蛟龙号载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．其外表所受压强和下潜深度有关，假设蛟龙号在海平面时外表所受压强可以忽略，其在太平洋执行任务时每下潜 100 m，外表所受压强增加 10 个大气压（单位：atm ），则其外表所受压强 p（单位：atm）和下潜深度 h（单位：m）的函数关系式为 （不用写出自变量取值范围）．

14. 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为 45∘ 的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形 ABCD．
求作：平行四边形 ADNM，使 ∠MAD=45∘．
作法：如图，
①以 A 为圆心，以小于 AB 长为半径作弧，分别交 AB，AD 于点 E，F；
②分别以 E，F 为圆心，大于 12EF 为半径作弧，交于点 G；
③作射线 AG 交 BC 于点 M；
④以点 M 为圆心，以 AD 长为半径作弧，交射线 BC 所在直线于点 N，连接 DN．则四边形 ADNM 即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）∠BAG 的大小为 ；
（2）四边形 ADNM 是平行四边形的依据是 ．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=kx 和一次函数 y=−x+3 的图象如图所示，
有如下说法：
（1）k=2；
（2）方程 −x+3=kx 的解为 x=2；
（3）不等式 kx≥−x+3 的解集为 x≥1；
（4）直线 y=kx 和直线 y=−x+3 与 y 轴围成的三角形是钝角三角形．
以上说法正确的是 ．（填序号）

16. 如图，正方形 ABCD 的边长 12，E 为 AB 边上一点，且 BE=7，点 F 在 BC 边上，点 B 关于直线 EF 的对称点记为 Bʹ，连接 BʹD，BʹE，BʹF，当点 F 在 BC 边上移动时，点 Bʹ 和点 D 之间的最短距离为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：2−32+24−π−20．

18. 《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图 1，2（图 2 为图 1 的平面示意图），从点 O 处推开双门，双门间隙 CD 的长度为 2 寸，点 C 和点 D 到门槛 AB 的距离都为 1 尺（1 尺 =10 寸），求 AB 的长．

19. 已知一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交于点 A0,4，且过点 B2,3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直线 y=kx+b 与 x 轴的交点为 C 点，点 P 在该函数图象上，且 △POC 的面积为 4，求 P 点的坐标．

20. 在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF=BE，连接 AF，BF．
（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
（2）若 CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF 平分 ∠DAB．

21. 已知函数 y=1x−2−3，对该函数及图象进行如下探究：
（1）写出函数的自变量取值范围： ；
（2）请把表格补充完整：
x⋯⋯−⋯⋯y⋯⋯−83−52−1−1−2−52⋯⋯
（3）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
结合函数图象，写出该函数的一条特征： ．
（4）结合上述函数的图象，直接写出方程 1∣x−2∣−3=x−1 的一个近似解 （保留一位小数）．

22. 在小学时，我们知道只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；不平行的两边叫做梯形的腰．特殊地，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，如图，在四边形 ABCD 中，若 AB∥CD，AD=BC．则四边形 ABCD 是等腰梯形．
请你回答下面的问题：
（1）请你用文字语言写出等腰梯形的两个性质（定义除外）；
（2）请从你写出的性质中，选择一个进行严格的证明（写出已知、求证，并证明）．

23. 平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 m+1,m−1，一次函数 y=−12x+3 的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A，B．
（1）试判断点 P 是否在一次函数 y=x−2 的图象上，并说明理由；
（2）若点 P 在 △AOB 的内部（不含边界），求 m 的取值范围．
（3）若点 P 在直线 AB 上，已知点 Rx1,y1，Sx2,y2 在直线 y=kx+b 上，b>2，x1+x2=m，y1+y2=4，若 x1>x2，请判断 y1 与 y2 的大小关系，并说明理由．

24. 在四边形 ABCD 中，O 是对角线 BD 的中点．点 E 在四边形 ABCD 外，且 ∠AED=90∘．过点 C 作直线 ED 的垂线，垂足为 F．连接 OE，OF．
（1）如图 1，若四边形 ABCD 为矩形，且 ∠DAE=45∘ 时，请猜想 OE，OF 的数量关系： ；
（2）如图 2，若四边形 ABCD 为平行四边形，请你补全图形，探究 OE 与 OF 的数量关系并证明；
（3）如图 3，若四边形 ABCD 为正方形时，若 AE=2，OD=22，直接写出 OF 的长．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 x1,y1，点 Q 的坐标为 x2,y2，且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图，根据“相关矩形”的定义回答下面的问题：
（1）已知点 A 的坐标为 1,0．
①若点 B 的坐标为 3,1 求点 A，B 的“相关矩形”的面积；
②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式；
（2）已知直线 y=−x+2 与 x 轴和 y 轴分别交于 M，N 两点，点 Qm,3 为一动点，若要使线段 MN 上存在一点 P，使点 P，Q 的“相关矩形”为正方形，直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD，∠DBC=45∘，
∵BE=CD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=180∘−45∘÷2=67.5∘．
4. D
5. C
6. D
7. B
8. C
9. C
10. B
第二部分
11. x≥−2
12. EC∥AF，∠DEC=∠DAF，∠BFA=∠BCE，AE=CF，ED=BF（答对其中一个即可）
13. p=0.1h（或 p=110h）
14. 45∘，矩形的对边相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
15. （1）（3）（4）
16. 6
第三部分
17. 2−32+24−π−20=2+3−26+26−1=4.
18. 取 AB 的中点 O，过 D 作 DE⊥AB 于 E，如图 2 所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设 OA=OB=AD=BC=r 寸，
则 AB=2r（寸），DE=10 寸，OE=12CD=1 寸，
∴AE=r−1 寸，
在 Rt△ADE 中，
AE2+DE2=AD2，即 r−12+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101 寸．
19. （1） 将点 A0,4，点 B2,3 代入一次函数 y=kx+b 的解析式联立得二元一次方程组 4=b,3=2k+b,
解得 b=4,k=−12.
则所求的函数解析式为 y=−12x+4．
（2） 易求得直线 y=−12x+4 与 x 轴的交点 C 的坐标为 8,0，
∵S△POC=12h⋅OC=4，
解得 h=2，
故点 P 纵坐标的绝对值为 2，
易得求 P 点的坐标可能为 6,1 或 10,−1．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90∘，
∴ 四边形 BFDE 是矩形；
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在 Rt△BCF 中，由勾股定理，得
BC=FC2+FB2=32+42=5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即 AF 平分 ∠DAB．
21. （1） x≠2
（2）
x⋯⋯−⋯⋯y⋯⋯−83−52−2−1−1−2−52−83⋯⋯
（3） 图象略；关于直线 x=2 对称
（4） x≈1.7 或 x≈2.2 或 x≈−1.7
22. （1） 性质 1：等腰梯形同一底边上的两个角相等；
性质 2：等腰梯形的两条对角线相等；
（2） 性质 1：等腰梯形同一底边上的两个角相等．
已知：如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC，
求证：∠A=∠B，∠C=∠D．
证明：如图，过点 C 作 CE∥AD 交 AB 于点 E．
∵AE∥CD，AD∥CE，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形．
∴AD=CE 且 ∠A=∠CEB，
∵AD=BC，
∴CE=BC，
∴∠CEB=∠B，
∴∠A=∠B，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180∘，∠B+∠C=180∘，
∴∠C=∠D．
【解析】性质 2：等腰梯形的两条对角线相等（先证性质 1）．
已知：如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC，连接对角线 AC，BD，求证：AC=BD．
证明：∵ 等腰梯形 ABCD，AB∥CD，AD=BC，
∴∠DAB=∠CBA，
∵ 在 △DAB 和 △CBA 中，
AD=CB,∠DAB=∠CBA,AB=BA,
∴△DAB≌△CBASAS，
∴BD=AC．
23. （1） 当 x=m+1 时，y=m+1−2=m−1，满足 y=x−2，
∴ 点 P 在一次函数 y=x−2 的图象上．
（2） y=x−2 与 y=−12x+3 的交点为 103,43，
y=x−2 与 x 轴的交点 2,0，
∵ 点 P 在 △AOB 的内部，
∴2 ∴1 （3） 点 Rx1,y1，Sx2,y2 在直线 y=kx+b 上，
∴y1+y2=kx1+x2+2b，
∵x1+x2=m，
∵y1+y2=kx1+x2+2b=km+2b，
∵ 点 P 在直线 AB 上，
∴m−1=−12m+1+3，
∴m=73，
∴73k+2b=4，
∴k=374−2b，
∵b>2，
∴374−2b<0，
∴k<0，
∵y=kx+b 中，y 值随 x 值的增大而减小，
∴ 若 x1>x2，则 y124. （1） OE=OF
（2） 补全图形，
如图 2，连接 AC，延长 EO，FC，两条延长线交于点 G，
结论：OE=OF．
∵ 平行四边形 ABCD，O 是对角线 BD 的中点，
∴OA=OC，
∵CF⊥EF，
∴∠CFE=90∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠CFE+∠AED=180∘，
∴CF∥AE，
∴∠AEO=∠OGC，
在 △OAE 和 △OCG 中，
∠AEO=∠OGC,∠AOE=∠COG,OA=OC,
∴△OAE≌△OCGAAS，
∴OE=OG，
在 Rt△EFG 中，∠EFG=90∘，OF 为斜边 EG 的中线，
∴OF=12EG，
∴OE=OF．
（3） 6+2
25. （1） ① S=3−1⋅1−0=2
②设 C3,y，
由题意，应该满足 ∣3−1∣=∣y−0∣ 解得 y=±2，
故 AC 解析式为 y=x−1 或 y=−x+1．
（2） 1≤m≤5 或 m=−1．