2020-2021学年北京市海淀区首都师范大学附属中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区首都师范大学附属中学八下期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家
A. 夏艳芳B. 刘学升C. 李大荟D. 赵爽

2. 一次函数 y=2x+1 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位，所得图象的函数解析式为
A. y=2x−4B. y=2x+4C. y=2x−5D. y=2x+7

3. 解一元二次方程 x2+4x−1=0，配方正确的是
A. x+22=3B. x−22=3C. x+22=5D. x−22=5

4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是
A. ∠ABC=90∘B. AC=BD
C. OA=OBD. △ABO≌△ADO

5. 如图，一次函数 y1=x+b 与一次函数 y2=kx+3 的图象交于点 P1,2，则关于不等式 x+b>kx+3 的解集是
A. x>0B. x>1C. x<1D. x<0

6. 如图，在 5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. “振兴杯”初二足球赛中，五名学生点球大赛，每人射门 10 次，统计他们每人进球的个数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：
平均数中位数众数m67
则下列选项正确的是
A. 可能会有学生射进了 8 次
B. 五个数据之和的最大值可能为 30
C. 五个数据之和的最小值可能为 20
D. 平均数 m 一定满足 4.2≤m≤5.8

8. 中考体育篮球运球考试中，测试场地长 20 米，宽 7 米，起点线后 5 米处开始设置 10 根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距 1 米，距两侧边线 3 米，假设某学生按照图 1 路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离 y 与运球时间 x 之间的图象如图 2 所示，那么测试老师可能站在图 1 中的位置为
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 函数 y=x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

10. 已知 m 是方程 x2−3x+2020=0 的根，则代数式 1+3m−m2 的值为 ．

11. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=−2x+1 的图象经过 P1π,y1，P22,y2 两点，则 y1 y2．（填“>”“<”或“=”）

12. 已知 A0,2，B3,1，在 x 轴找一点 P，使 PA+PB 的值最小，则点 P 的坐标为 ．

13. 如图，等边 △DEC 在正方形 ABCD 内，连接 EA，EB，则 ∠AEB 的度数是 ．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 为 △ABC 外一点，使 ∠DAC=∠BAC，E 为 BD 的中点．若 ∠ABC=60∘，则 ∠ACE= ．

15. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为 4,8，将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E，那么点 D 的坐标为 ．

16. 一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员?”张三答：“共有 45 人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是 （填“老实人”或“骗子”）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：2−2+22−1−π−20210−116．

18. 解方程：3xx−1=2x−2．

19. 已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S△OAP=2，求点 P 的坐标．

20. 关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+c=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，请比较 a，c 的大小，并说明理由；
（2）若方程有一个根是 0，求此时方程的另一个根．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F．
（1）求证：四边形 ADCF 是菱形；
（2）若 AC=12，AB=16，求菱形 ADCF 的面积．

22. 人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．
a．2018 年中国大陆（不含港澳台）31 个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成 6 组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12）：
b．人口数量在 2≤x<4 这一组的是：
c．2018 年中国大陆（不含港澳台）31 个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：
d．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：
0∼14岁人口比例15∼59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1%5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%
e．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高 >50‰，最低 <20‰，2018 年我国人口出生率降低至 10.94‰，比 2017 年下降 1.43 个千分点．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2018 年北京人口为 2.2 千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第 位．
（2）人口增长率 = 人口出生率 − 人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在 2018 年出现负增长的地区有 个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为 千万人（保留小数点后一位）．
（3）下列说法中合理的是 ．
①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．

23. 如果方程 x2+px+q=0 满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为 x2+px+q=0 同族方程，并规定：满足 G=P2q．例如 x2−7x+12=0 有正整数解 3 和 4，所以 x2−7x+12=0 属于同族方程，所以 G=−7212=4912．
（1）如果同族方程 x2+px+q=0 中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有 G=4；
（2）如果同族方程 x2+px+q=0 中的实数 q 满足如下条件：
① q 为一个两位正整数，q=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y 为自然数）；
② q 交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为 54，
那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的 G 的最小值．

24. 已知，将 Rt△DAE 水平向右平移 AD 的长度得到 Rt△CBF（其中点 C 与点 D 对应，点 B 与点 A 对应，点 F 与点 E 对应），过点 E 作 BD 的垂线，垂足为 M，连接 AM．
（1）根据题意补全图形，并证明 MB=ME；
（2）①用等式表示线段 AM 与 CF 的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 AM，BM，DM 之间的数量关系（直接写出即可）．

25. 对平面直角坐标系 xOy 中的两组点，如果存在一条直线 y=kx+b 使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线 l，记所有的点到 l 的距离的最小值为 d1，约定：d1 越大，分类直线 l 的分类效果越好，某学校“青春绿”的 7 位同学在 2020 年期间网购文具的费用 x（单位：百元）和网购图书的费用 y（单位：百元）的情况如图所示，现将 P1，P2，P3 和 P4 归为第Ⅰ组点，将 Q1，Q2 和 Q3 归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”．
（1）直线 l1:x=2.5 与直线 l2:y=3x−5 的分类效果更好的是 ；
（2）小明同学的网购文具与网购图书的费用均为 300 元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第 组点位于“成达线”的同侧；
（3）如果从第Ⅰ组点中去掉点 P1，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为 ；
（4）这两组点的“成达线”的解析式为 ．
答案
第一部分
1. D【解析】图中的图案是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
2. B【解析】原直线的 k=2，b=1；向上平移 3 个单位长度得到了新直线，那么新直线的 k=2，b=1+3=4．
∴ 新直线的解析式为 y=2x+4．
3. C【解析】∵x2+4x−1=0，
∴x2+4x+4=5，
∴x+22=5．
4. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90∘，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，故A，B，C正确．
5. B
【解析】当 x>1 时，x+b>kx+3，
即不等式 x+b>kx+3 的解集为 x>1．
6. C【解析】理由是：连接 AC，AB，AD，BC，CD，BD，
设小正方形的边长为 1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，
AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，
∴△ABC，△ADC，△ABD 是直角三角形，共 3 个直角三角形．
7. D【解析】∵ 中位数是 6，唯一众数是 7，
∴ 最大的三个数的和是：6+7+7=20，
∵ 这五个数据的平均数是 m，
∴ 另外 2 个数的和是 5m−20，
∴ 不可能会有学生投中了 8 次；
五个数据之和的最大值可能为 20+5+4=29，不可能为 30；
五个数据之和的最小值可能为 20+0+1=21，不可能为 20；
∵29÷5=5.8，21÷5=4.2，
∴ 平均数 m 一定满足 4.2≤m≤5.8．
8. B
第二部分
9. x≥2
【解析】依题意，得 x−2≥0，解得 x≥2．
10. 2021
【解析】∵m 是方程 x2−3x+2020=0 的根，
∴m2−3m+2020=0，
∴m2−3m=−2020，
∴1+3m−m2=1−m2−3m=1+2020=2021．
11. <
【解析】∵ 一次函数 y=−2x+1 中 k=−2<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵π>2，
∴y112. 2,0
【解析】作点 A 关于 y 轴的对称点 Aʹ，连接 AʹB．
设过 AʹB 的直线解析式为 y=kx+bk≠0，把 Aʹ0,−2，B3,1，
则 −2=b,1=3k+b, 解得 k=1，b=−2，
故此直线的解析式为：y=x−2，
当 y=0 时，x=2，即点 P 的坐标为 2,0．
13. 150∘
【解析】由题意可知：AD=CD=DE=CE=CB，
∴∠EDC=60∘，∠ADE=30∘，
∴∠AED=∠BEC=75∘，
∴∠AEB=360∘−2∠AED−∠DEC=150∘．
14. 30∘
15. −125,245
【解析】如图，过 D 作 DH⊥OC 于 H．
∵ 点 B 的坐标为 4,8，
∴BC=AO=4，AB=OC=8，
根据折叠可知：CD=BC=OA=4，∠CDE=∠B=∠AOE=90∘，AD=AB=8，
在 △CDE 和 △AOE 中，
∠CED=∠AEO,∠CDE=∠AOE,CD=AO,
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=4，AE=CE，
设 OE=x，那么 CE=8−x，DE=x，
∴ 在 Rt△DCE 中，CE2=DE2+CD2，
∴8−x2=x2+42，
∴x=3，
∴OE=3，AE=CE=OC−OE=8−3=5，
又 ∵S△CDE=12CD⋅DE=12CE⋅DH，
∴DH=125，
在 Rt△DEH 中，由勾股定理得：EH=DE2−DH2=32−1252=95，
∴OH=OE+EH=3+95=245．
∴D 的坐标为：−125,245．
16. 骗子
【解析】根据“俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”可知俱乐部总人数为偶数，故张三答：“共有 45 人．”为假话，张三为骗子，而李四说：“张三是老实人．”也为假话，所以李四是骗子．
第三部分
17. 原式=14+2−2−1−14=1−2.
18.
3xx−1−2x−1=0.x−13x−2=0.x−1=0 或 3x−2=0.∴x1=1,x2=23.
19. （1） 设一次函数解析式为 y=kx+b，
把 −2,3，2,−1 分别代入得 −2k+b=3,2k+b=−1, 解得 k=−1,b=1,
∴ 一次函数解析式为 y=−x+1．
（2） 当 y=0 时，−x+1=0，解得 x=1，则 A1,0，
设 Pt,−t+1，
∵S△OAP=2，
∴12×1×−t+1=2，解得 t=−3 或 t=5，
∴P 点坐标为 −3,4 或 5,−4．
20. （1） 根据题意得，a≠0 且 Δ=4a2−4ac=0，
∴4aa−c=0，
∴a=c．
（2） 把 x=0 代入原方程得出 c=0，
∴ 方程为 ax2+2ax=0，
∴axx+2=0，
∴ 该方程的另一个根为 −2．
21. （1） ∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在 △AEF 和 △DEB 中，
∵∠AFE=∠DBE,∠AEF=∠DEB,AE=DE,
∴△AEF≌△DEBAAS，
∴AF=DB，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC=90∘，D 是 BC 的中点，
∴AD=CD=12BC，
∴ 四边形 ADCF 是菱形．
（2） 设 AF 到 CD 的距离为 h，
∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90∘，
∴S菱形ADCF=CD⋅h=12BC⋅h=S△ABC=12AB⋅AC=12×12×16=96.
22. （1） 6
【解析】∵ 人口为 0≤x<2 千万人的有 5 的地区，
又 ∵ 人口数量在 2≤x<4 这一组的是：
北京在第一位，
∴ 我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第 6 位．
（2） 2；3.8
【解析】由散点图可知：在 2018 年出现负增长的地区有 2 个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为 3.8 千万人．
（3） ①②
【解析】①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，
∴ 我国计划生育的基本国策是不变的，正确．
②随着我国老龄化越来越严重，
∴ 出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．
23. （1） ∵ 同族方程 x2+px+q=0 中有两个相同的解，
∴b2−4ac=0，
∴p2−4q=0，
∴p2=4q，
∵G=p2q，
∴G=4qq=4．
（2） 根据题得 10y+x−10x+y=54，
∴9y−9x=54，
∴y−x=6，
∵1≤x≤y≤9，
∴x=3,y=9, x=2,y=8, x=1,y=7,
∴q=39 或 28 或 17，
∴ 可得三个方程 x2+px+39=0，x2+px+28=0，x2+px+17=0，
由和谐方程定义可得 x2+px+39=0 的解为 x=1 或 39；x=3 或 13，此时 p=−40 或 −16；
方程 x2+px+28=0 的解为 x=1 或 x=28；x=2 或 x=14；x=4 或 x=7，此时 p=−29 或 −16 或 −11；
方程 x2+px+17=0 的解为 x=1 或 17，此时 p=−18；
则和谐方程 x2+px+39=0 中 G 的最小值为 −16239=25639；
方程 x2+px+28=0 中 G 的最小值为 −11228=12128；
方程 x2+px+17=0 中 G 的值为 −18217=32417；
∵32417>25639>12128，
∴G 的最小值为 12128．
24. （1） 如图所示．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，
∴∠ABD=45∘，
∵BM⊥BD，
∴△BEM 是等腰直角三角形，
∴MB=ME．
（2） ①如图所示，连接 CM，FM，
∵△BEM 是等腰直角三角形，
∴MB=ME，∠ABM=∠BEM=45∘，
∴∠AEM=∠FBM=135∘，
又 ∵AE=FB，
∴△AEM≌△FBMSAS，
∴AM=FM，
∵AE=BF，
∴EF=BC=AB，
∴△MEF≌△MBCSAS，
∴∠EMF=∠BMC，FM=MC，
∴∠FMC=90∘，
∴△FCM 是等腰直角三角形，
∴FC=2MF=2AM，即 2AM=FC．
② DM2+BM2=2AM2．
【解析】②如图，连接 DE，
∵AE=BF，
∴AE+BE=BF+BE=EF，
又 ∵DC∥AB 且 DC=AB，
∴DC=EF，DC∥EF，
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形，
∴DE=CF，
∵CF=2MF，MF=AM，
∴DE=2AM，
又 BM=EM，∠DME=90∘，
∴DM2+EM2=DE2，则 DM2+BM2=2AM2．
25. （1） l2:y=3x−5
【解析】由图可知：P11.5,2，P21,3，P32,3，P42,4，
Q13,1，Q23,2，Q34,3，
当 l1:x=2.5 为分类直线时，d1=0.5，
当 l2:y=3x−5 为分类直线时，d2=105>0.5，
∴l2:y=3x−5 分类效果更好．
（2） Ⅱ
【解析】由题意可知，x=y=300，则小明两项网购花费所对应的点 3,3，
∵“成达线”的位置由 P1，P3，Q2 确定，
由图知“成达线”过 P3Q2 的中点 52,52，过 P1Q2 的中点 94,2，
∴52=52k+b,2=94k+b, 解得 k=2,b=−52,
即“成达线”的解析式为 y=2x−52，
∴ 与第Ⅱ组点位置于“成达线”的同侧．
（3） y=x
【解析】去掉 P1 后 2k−3+b=3k−2+b，
∴k=1，
P2，P3，P4 与 Q1，Q2，Q3 关于 y=x 对称，
∴ 此时“成达线”为 y=x．
（4） y=2x−52
【解析】由（2）知“成达线”的解析式为 y=2x−52，
∴ 两组点的“成达线”为 y=2x−52．