2019-2020学年江西省南昌市西湖区南昌第一中学八上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年江西省南昌市西湖区南昌第一中学八上期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 a3÷a，结果是
A. aB. a2C. a3D. a4

2. 下列图形中，一定是轴对称图形是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. x+y2=x2+y2B. x−y2=x2−2xy−y2
C. x+2yx−2y=x2−2y2D. −x+y2=x2−2xy+y2

4. 如图，AC=AD，BC=BD，则有
A. AB 垂直平分 CDB. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分D. CD 平分 ∠ACB

5. 下列命题是假命题的是
A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B. 等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
C. Rt△ABC 和 Rt△DEF，∠C=∠F=90∘．若 ∠A=∠D，AB=DE，则 Rt△ABC≌Rt△DEF
D. 在 △ABC 和 △DEF 中，若 ∠C=∠F，∠B=∠E，∠A=∠D，则 △ABC≌△DEF

6. 如图 1 是一个长为 2a，宽为 2ba>b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 2 那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为
A. abB. a+b2C. a−b2D. a2−b2

二、填空题（共6小题；共30分）
7. 如图，已知 ∠ABC=∠DCB，添加下列条件中的一个：① ∠A=∠D，② AC=DB，③ AB=DC，其中不能确定 △ABC≌△DCB 的是 （只填序号）．

8. 观察本题图案，若图案中最大圆的直径是 4，则阴影部分的面积和等于 （结果保留 π）．

9. 如图，直线 AB 右边是计算器上的数字“2”，请在图中画一个图形使它与数字“2”关于直线 AB 对称．

10. 已知点 P1 与 P2，P2 与 P3 分别关于 y 轴和 x 轴对称，若点 P1 在第一象限，则点 P3 在第 象限．

11. 如图 1，2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图 2，AC=BD，O 为 AC，BD 的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为 a 、图 2 中的刀 DC 长为 b，瓶直壁厚度 x= （用含 a，b 的代数式表示）．

12. 若 a−25−a=1，则 a= ．

三、解答题（共14小题；共182分）
13. 解答下列问题．
（1）2a33÷−a22+−2a2−a3；
（2）先化简，再求值：a+b2−a−b2，其中 a=2，b=3．

14. 如图给出下列五个等量关系：
① AB=AC；② BD=CD；③ ∠BAD=∠CAD；④ ∠B=∠C=90∘；⑤ ∠BDA=∠CDA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情况），并加以证明．
解：我选作为题设的等量关系是： ， ；
作为正确结论的等量关系是 ．
证明：

15. 如图，在矩形 ABDE 和矩形 AGHF 中，各分出正方形 CDEF 、正方形 BGHC，矩形 ABCF 的周长是 14 cm，若正方形 CDEF 和正方形 BGHC 的面积之和为 29 cm2，求矩形 ABCF 的面积．

16. 在直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标如图所示．
（1）请你在图中先作出 △ABC 关于直线 m（直线 m 上点的横坐标均为 −1）对称图形 △A1B1C1，再作出 △A1B1C1 关于直线 n（直线 n 上点的纵坐标均为 2）对称图形 △A2B2C2；
（2）线段 BC 上有一点 Ma,b，点 M 关于直线 m 的对称点为 N，点 N 关于直线的 n 的对称点为 E，求 N，E 的坐标（用含 a，b 的代数式表示）．

17. 在图 1 中，已知 AB=AC，EB=FC，在图 2 中，五边形 ABCDE 是正五边形，请你只用无刻度的直尺分别画出两个图中的一条对称轴．

18. 如图，在等边 △ABC 中，过 A，B，C 三点在三角形内分别作 ∠1=∠2=∠3，三个角的边相交于 D，E，F．
（1）你认为 △DEF 是什么三角形?并证明你的结论；
（2）当 ∠1，∠2，∠3 三个角同时逐渐增大仍保持相等时，△DEF 会发生什么变化?试说明理由．

19. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，点 P 是线段 BC 上的动点（P 不与 B，C 重合），且 AD 经过 P 点；已知 ∠B=∠D=30∘，BC=DE，AB=AD=10，∠PAC 的平分线与 ∠ACB 的平分线交于 O．
（1）∠BAD 与 ∠CAE 相等吗?说明其理由；
（2）若 AP 长为 m，请用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求 PD 的最大值；
（3）当 ∠BAC=90∘ 时，α∘<∠AOC<β∘，那么 α= ，β= ．

20. 如图，△ABC 中，AB=AC．O 是 △ABC 内一点，OD 是 AB 的垂直平分线，OF⊥AC，且 OD=OF．
（1）当 ∠OAC=27∘ 时，求：∠OBC 的度数．
（2）求证：AF=CF．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 在边 AC 上，将 △ABD 沿 BD（对称轴）翻折，点 A 落在点 E 处，连接 AE，CE．
（1）如图 1，当 ∠AEC=90∘ 时，求证：CD=AD；
（2）当点 E 落在 BC 边所在直线上，且 ∠AEC=60∘ 时．
①猜想 △BAE 是什么三角形并证明；
②试求线段 CD，AD 之间的数量关系．

22. 如图 1，△ABC 和 △DEF 是两块可以完全重合的三角板，∠BAC=∠DEF=90∘，∠ABC=∠DEF=30∘．在图 1 所示的状态下，△DEF 固定不动，将 △ABC 沿直线 a 向左平移．
（1）当 △ABC 移到图 2 位置时，连解 AF，DC，求证：AF=DC；
（2）若 EF=8，在上述平移过程中，试问点 C 距点 E 多远时，线段 AD 被直线 a 垂直平分?并证明你的猜想．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=BC，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F，BH⊥AB 于点 B，点 M 是 BC 的中点，连接 FM 并延长交 BH 于点 H．
（1）在图 1 中，∠ABC=60∘，AF=3 时，FC= ，BH= ；
（2）在图 2 中，∠ABC=45∘，AF=2 时，FC= ，BH= ；
（3）从第（1），（2）中你发现了什么规律?在图 3 中，∠ABC=30∘，AF=1 时，试猜想 BH 等于多少?并证明你的猜想．

24. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式 = 除式 × 商式 + 余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算 6x4−7x3−x2−1÷2x+1，可用竖式除法如图：
∴6x4−7x3−x2−1 除以 2x+1，商式为 3x3−5x2+2x−1，余式为 0．
根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空）：
（1）2x3+x−3÷x−1= ；
（2）4x2−4xy+y2+6x−3y−10÷2x−y+5= ；
（3）x−2x−3+1÷x−1 的余式为 ；
（4）x3+ax2+bx−15 能被 x2−2x+3 整除，则 a= ，b= ．

25. 如图，已知等腰 △ABC，∠BAC=120∘，AD⊥BC 于 D 点，点 P 为 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，若 AC=AO+AP．
（1）求证：∠APO=∠OCA．
（2）求证：△OCP 是等边三角形．

26. 在图 1，2 中，已知 ∠ABC=120∘，BD=2，点 E 为直线 BC 上的动点，连接 DE，以 DE 为边向上作等边 △DEF，使得点 F 在 ∠ABC 内部，连接 BF．
（1）如图 1，当 BD=BE 时，∠EBF= ；
（2）如图 2，当 BD≠BE 时，（1）中的结论是否成立?若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；
（3）请直接写出线段 BD，BE，BF 之间的关系式．
答案
第一部分
1. B【解析】a3÷a=a2．
2. B【解析】A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、一定是轴对称图形，本选项正确；
C、不是轴对称图形，本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
3. D【解析】A、 x+y2=x2+2xy+y2，故本选项错误；
B、 x−y2=x2−2xy+y2，故本选项错误；
C、 x+2yx−2y=x2−4y2，故本选项错误；
D、 −x+y2=x−y2=x2−2xy+y2，故本选项正确．
4. A【解析】∵AC=AD，BC=BD，
∴ 点 A 在 CD 的垂直平分线上，点 B 在 CD 的垂直平分线上，
∴AB 是 CD 的垂直平分线．
即 AB 垂直平分 CD．
5. D
【解析】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题；
B、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，是真命题；
C、 Rt△ABC 和 Rt△DEF，∠C=∠F=90∘．若 ∠A=∠D，AB=DE，则 Rt△ABC≌Rt△DEF，是真命题；
D、在 △ABC 和 △DEF 中，若 ∠C=∠F，∠B=∠E，∠A=∠D，则 △ABC 与 △DEF 不一定全等，本选项说法是假命题；
故选：D．
6. C【解析】中间空的部分的面积=大正方形的面积−4 个小长方形的面积=a+b2−4ab=a2+2ab+b2−4ab=a−b2.
第二部分
7. ②
【解析】∵ 已知 ∠ABC=∠DCB，且 BC=CB，
∴ 若添加① ∠A=∠D，则可由 AAS 判定 △ABC≌△DCB；
若添加② AC=DB，则属于边边角的顺序，不能判定 △ABC≌△DCB；
若添加③ AB=DC，则属于边角边的顺序，可以判定 △ABC≌△DCB．
8. 2π
【解析】如图，由题意知 ∠AOB=∠COD，
∴S扇形AOB=S扇形COD，即 S1=S2，
同理 S3=S4，S5=S6，
∵ 大圆的直径为 4，
∴ 大圆的半径为 2，
S阴影=12S大圆O=12π×22=2π．
9. 如图所示：
10. 三
【解析】若 P1 在第一象限，则根据 P1 与 P2 关于 y 轴对称，P2 在第二象限；
再根据 P2 与 P3 关于 x 轴对称，则 P3 在第三象限．
11. a−b2
【解析】∵AC=BD，O 为 AC，BD 的中点，
∴DO=OB，OA=CO，
在 △DOC 和 △BOA 中，
DO=OB,∠DOC=∠BOA,CO=AO,
∴△DOC≌△BOASAS，
∴AB=DC=b，
∴x+x+b=a，
解得：x=a−b2．
12. 1，3，5
【解析】∵a−25−a=1，
∴5−a=0，
∴a=5，
底数为 1 时，a=3，底数为 −1 时，a=1．
第三部分
13. （1） 2a33÷−a22+−2a2−a3=2a9÷a4+4a2⋅−a3=2a5−4a5=−2a5.
（2） a+b2−a−b2=a2+2ab+b2−a2−2ab+b2=4ab.
当 a=2，b=3 时，
原式=4×2×3=24．
14. 我选作为题设的等量关系是：AB=AC，BD=CD，作为正确结论的等量关系是 ∠BAD=∠CAD，
证明：
在 △ABD 和 △ACD 中，
AB=AC,AD=AD,BD=CD,
∴△ABD≌△ACDSAS，
∴∠BAD=∠CAD．
15. 设矩形 ABCF 的两边分别为 x cm，7−xcm．
根据题意，得 x2+7−x2=29，
x2+49−14x+x2=29，
2x2−14x=−20，
7x−x2=10．
矩形 ABCF 的面积为：x7−x=7x−x2=10cm2．
答：矩形 ABCF 的面积为 10 cm2．
16. （1） 如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2 即为所求．
（2） 设点 N 的坐标为 x,y，点 E 的坐标为 p,q，
∵ 点 M 与点 N 关于直线 m 对称，
∴x+a2=−1，y=b，解得 x=−2−a，y=b，
∴ 点 N 的坐标为 −2−a,b，
又 ∵ 点 N 与点 E 关于直线 n 对称，
∴p=−2−a，b+q2=2，解得 p=−2−a，q=4−b，
∴ 点 E 的坐标为 −2−a,4−b．
17. 如图 1 所示，直线 AD 即为所求；
如图 2 所示，直线 AF 即为所求．
18. （1） △DEF 是等边三角形，理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠CBA=∠ACB=60∘，
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE=∠CAF，
在 △ABD，△BCE 和 △CAF 中，
∠1=∠2=∠3,AB=BC=CA,∠ABD=∠BCE=∠CAF,
∴△ABD≌△BCE≌△CAFASA，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF 是等边三角形．
（2） △DEF 先变小，再变为一点，再逐渐变大；
理由如下：
当 ∠1，∠2，∠3 三个角大于 0∘ 小于 30∘ 或大于 30∘ 小于 60∘ 时，△DEF 均为等边三角形；
当 0∘<∠1<30∘ 时，△DEF 逐渐变小；
当 ∠1=30∘ 时，△DEF 变为一点；
当 30∘<∠1<60∘ 时，△DEF 逐渐变大．
19. （1） ∠BAD=∠CAE，理由如下：
如图 1 所示：
在 △ABC 和 △ADE 中，
AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△ADESAS，
∴∠BAC=∠DAE，即 ∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE．
（2） ∵AD=6，AP=x，
∴PD=6−x．
当 AD⊥BC 时，AP=12AB=3 最小，
即 PD=6−3=3 为 PD 的最大值．
（3） 105；150
【解析】如图 2，设 ∠BAP=αʹ，则 ∠APC=αʹ+30∘．
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘，∠PCA=60∘，∠PAC=90∘−αʹ，
∵∠PAC 的平分线与 ∠ACB 的平分线交于 O，
∴∠OAC=12∠PAC，∠OCA=12∠PCA．
∴∠AOC=180∘−∠OAC+∠OCA=180∘−12∠PAC+∠PCA=180∘−1290∘−αʹ+60∘=12αʹ+105∘.
∵0<αʹ<90∘，
∴105∘<12αʹ+105∘<150∘，即 105∘<∠AOC<150∘，
∴α=105，β=150．
20. （1） 连接 AO，并延长交 BC 于点 E，连接 OB，OC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OD 是 AB 的垂直平分线，OF⊥AC，
∴AO 平分 ∠DAF，OA=OB，
∵∠OAC=27∘，
∴∠BAC=27∘×2=54∘，
∴∠ABC=∠ACB=12180∘−54∘=63∘，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=63∘−27∘=36∘；
（2） ∵OD 是 AB 的垂直平分线，OF⊥AC，
∴AO 平分 ∠DAF，OA=OB，
又 ∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∴OB=OC，
∴OA=OC，
∴OF 是 AC 的垂直平分线，
∴AF=FC．
21. （1） 由折叠知，AD=DE，
∴∠AED=∠DAE，
∵∠AEC=90∘，
∴∠CED+∠AED=90∘，
∴∠CED+∠DAE=90∘，
∵∠AEC=90∘，
∴∠DAE+∠ACE=90∘，
∴∠CED=∠ACE，
∴CD=DE，
∵AD=DE，
∴CD=AD．
（2） ① △BAE 是等边三角形，
理由：由折叠知，BE=BA，
∵ 点 E 落在 BC 边所在直线上，且 ∠AEC=60∘，
∴△ABE 是等边三角形；
② AD=2CD，
理由：由①知，△ABE 是等边三角形，
∴∠BAE=60∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BAC=12∠BAE=30∘，
由折叠知，AD=DE，∠BED=∠BAC=30∘，
在 Rt△CDE 中，∠BED=30∘，
∴DE=2CD，
∴AD=2CD．
22. （1） 如图 2，连接 AF，CD．
∵BC=EF，
∴BC−FC=EF−FC，即 BF=CE，
在 △ABF 和 △DEC 中，
AB=DE,∠ABF=∠DEF,BF=EC,
∴△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
（2） 当点 C 距点 E 的距离为 4 时，线段 AD 被直线 a 垂直平分．
证明：如图 3．
∵AF=DC，AC=DF，
∴ 四边形 AFDC 是平行四边形，
若 AD 被直线 a 垂直平分，假设 a 与 AD 交于点 O，
在 Rt△EFD 中，∠DEF=30∘，
∴DF=12EF=4，
在 Rt△FDO 中，∠FDO=30∘，
∴OF=12DF=2，
∴OC=2，
∴CE=EF−OF−OC=8−2−2=4．
23. （1） 3；3
【解析】如图①，连接 CF，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH=∠BCF，
∵ 点 M 是 BC 的中点，
∴BM=MC，
在 △BMH 和 △CMF 中，
∠MBH=∠MCF,BM=MC,∠BMH=∠CMF,
∴△BMH≌△CMFASA，
∴BH=CF，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE 垂直平分 AC，
∴AF=CF，
∴BH=AF，
∴AF=CF=BH=3．
（2） 2；2
【解析】如图②，连接 CF，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH=∠BCF，
∵ 点 M 是 BC 的中点，
∴BM=MC，
在 △BMH 和 △CMF 中，
∠MBH=∠MCF,BM=MC,∠BMH=∠CMF,
∴△BMH≌△CMFASA，
∴BH=CF，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE 垂直平分 AC，
∴AF=CF，
∴BH=AF，
∴AF=CF=BH=2．
（3） 从第（1），（2）中发现 AF=CF=BH；
猜想 BH=1，理由如下：
如图③，连接 CF，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH=∠BCF，
∵ 点 M 是 BC 的中点，
∴BM=MC，
在 △BMH 和 △CMF 中，
∠MBH=∠MCF,BM=MC,∠BMH=∠CMF,
∴△BMH≌△CMFASA，
∴BH=CF，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE 垂直平分 AC，
∴AF=CF，
∴BH=AF，
∴AF=CF=BH=1．
24. （1） 2x2+2x+3
（2） 2x−y−2
【解析】4x2−4xy+y2+6x−3y−10÷2x−y+5=4x2+6−4yx+y2−3y−10÷2x−y+5=2x−y−2.
（3） 3
【解析】x−2x−3+1÷x−1=x2−5x+7÷x−1，
∴ 余式为 3．
（4） −7；13
【解析】设商式为 x+m，则有
x3+ax2+bx−15=x+mx2−2x+3=x3+m−2x2+3−2mx+3m.
∴−15=3m，
∴m=−5，
∴a=m−2=−7，b=3−2m=13．
25. （1） 在 AC 上截取 AE=AP，连接 PE，
∵∠PAE=180∘−∠BAC=60∘，
∴△APE 是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60∘，PE=AP=AE，
∴∠PEC=120∘=∠PAO，
∵AC=AO+AP．AC=AE+EC，
∴AO=EC，在 △OPA 和 △CPE 中，AP=EP,∠PAO=∠PEC,AO=EC,
∴△OPA≌△CPESAS，
∴∠APO=∠EPC，OP=CP，
∴∠OPC=∠OPE+∠EPC=∠OPE+∠APO=∠APE=60∘，
∴△OCP 是等边三角形，
∴∠OCP=60∘，即 ∠OCA+∠PCE=60∘，
∵∠EPC+∠PCE=∠AEP=60∘，
∴∠OCA=∠EPC，
∴∠APO=∠OCA．
（2） 由（1）得：△OPA≌△CPESAS，∴∠APO=∠EPC，OP=CP，
∴∠OPC=∠OPE+∠EPC=∠OPE+∠APO=∠APE=60∘，
∴△OCP 是等边三角形．
26. （1） 60∘
【解析】∵△DEF 是等边三角形，
∴DF=EF=DE，∠DFE=60∘，
∵BD=BE，DF=EF，BF=BF，
∴△DBF≌△EBFSSS，
∴∠DBF=∠EBF，且 ∠DBF+∠EBF=120∘，
∴∠EBF=60∘．
（2） 结论仍然成立，理由如下：
如图 2，过点 F 作 FG⊥BC，FH⊥AB，
∵∠DFE=60∘，∠ABC=120∘，
∴∠FDB+∠FEB=180∘，且 ∠FEB+∠FEG=180∘，
∴∠FDB=∠FEG，且 ∠FHD=∠FGE=90∘，FD=EF，
∴△FDH≌△FEGAAS，
∴FH=FG，且 FG⊥BC，FH⊥AB，
∴∠ABF=∠FBE=60∘．
（3） BF=BD+BE．
【解析】由（2）可知：△FDH≌△FEG，
∴DH=EG，
∴BD+BE=BH+DH+BE=BH+BG，
∵∠ABF=∠FBE=60∘，FG⊥BC，FH⊥AB，
∴∠BFH=∠BFG=30∘，
∴BF=2BH=2BG，
∴BF=BH+BG=BD+BE．