数学必修 第二册4.4 幂函数当堂达标检测题

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第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数  一、基础巩固1．（2020·河南信阳·月考（文））若函数是幂函数，则（    ）A．3 B． C．3或 D．【答案】C【解析】因为函数是幂函数,所以,解得或.2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为（    ）.A．－3 B．－2 C．3 D．2【答案】C【解析】∵函数是幂函数，∴，即，解得或．当时，，在上为减函数，不合题意；当时，，在上为增函数，符合题意．∴．3．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））下列函数在定义域上是增函数的是（　　）A．y＝ B．y＝logx C．y＝（）x D．y＝x3【答案】D【解析】在单调递减，故舍去；在定义域单调递减，故舍去；在定义域上单调递减，故舍去；在定义域上单调递增.4．（2020·陕西高陵·高一月考（理））已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】设幂函数，幂函数的图象过点，，解得，幂函数，（9）5．（2020·云南保山·高一其他）已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设幂函数，代入点，则，解得，.6．（2020·福建省泰宁第一中学高三月考（文））在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：当时，函数为增函数，且图象变化越来越平缓，的图象为增函数，当时，函数为增函数，且图象变化越来越快，的图象为减函数，综上：只有D符合7．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数的图象经过点，则是（    ）A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】D【解析】设幂函数，因为图象经过点，所以，.故，因为，所以为非奇非偶函数，且在上是增函数.8．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则A．f（m）<f（1） B．f（m）=f（1）C．f（m）>f（1） D．f（m）与f（1）大小不确定【答案】A【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）<f（1）；当m=3时，函数f（x）=，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A．9．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】函数是幂函数， ，解得：或，当时，，过原点，不满足条件；当时，，不过原点，满足条件，.10．（2020·云南文山·高三其他（理））已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因为函数在上单调递减，所以，由于函数和函数在第一象限为增函数，所以，，故.11．（2020·河北正定中学高三月考）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且，故，而，所以．12．（2020·沭阳如东中学高三月考）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：点在幂函数的图象上，∴，解得，，∴在上单调递增，又，∴，故选：C．13．（2020·天水市第一中学高二期末（理））已知函数 (且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（    ）A．  B．C．1 D．2【答案】D【解析】解：函数中，令，解得，此时，所以定点；设幂函数，则，解得；所以，所以，．14．（2019·安徽相山·淮北一中高一期中）若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（    ）A．，， B．C． D．【答案】D【解析】解：设幂函数的解析式为，由幂函数的图象过点，得，解得，所以；所以的定义域为，，且单调递增；又等价于，解得；所以的解集为，故选：D．15．（2020·全国高三其他（理））已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或.又因为、，都有，可设，则，所以，函数是单调递增函数，当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；当时，，该函数在上为增函数.所以等价于，所以，解得.故答案为：. 16．（多选题）（2020·山东省东明县实验中学高三月考）下列函数中，定义域是且为增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A选项，，所以，函数是定义域为的减函数；对于B选项，函数是定义域为的增函数；对于C选项，函数是定义域为的增函数；对于D选项，函数是定义域为的增函数.17．（多选题）（2020·江苏启东·高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（    ）A．函数的图象过原点B．函数是偶函数C．函数是单调减函数D．函数的值域为R【答案】AD【解析】由于幂函数过点，所以，解得，所以.，满足，A选项正确.是奇函数，所以B选项错误.在上递增，所以C选项错误.值域为，所以D选项正确.18．（多选题）（2020·福建福州·高二期末）下列选项中说法正确的是（    ）A．函数的单调减区间为B．幂函数过点，则C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；对于 D选项：因为函数的值域为，所以当时，，满足其值域为，当时，需且，解得，所以实数的取值范围是，故D正确，19．（多选题）（2020·重庆市开州区铁桥中学高三月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，，即，所以C正确.当若时，==.即成立，所以D正确. 二、拓展提升1．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.【解析】为函数，，解得或.当时，，则，且有；当时，，则，且有.故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.2．（2020·巩义市第四高级中学高三月考（理））已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．【解析】∵的图象过点，∴，∴，又，∴.即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数，∴由得，解得.3．（2020·永丰县永丰中学高一月考）已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.当时，在上单调递增，满足题意.当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴由于此题中，要满足，只需，.4．（2020·全国高一课时练习）已知是幂函数，求m，n的值.【解析】由题意得，解得或，所以或，.5．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（理））已知幂函数(1)求的解析式；(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.【解析】（1）    因为幂函数，所以，解得或，所以函数为或.（2）(i)因为图像不经过坐标原点，所以，函数的单调递减区间为，无单调递增区间.(ii)因为图像经过坐标原点，所以，因为为偶函数，且在上为增函数，所以，又在上为增函数，所以，解得，所以不等式的解为.6．（2020·沙坪坝·重庆八中高一期末）已知幂函数在上为增函数．（1）求解析式；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，解得或，又，∴，∴．（2）由（1），在上递减，则，解得．∴的范围是．