高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)同步练习题

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第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.6 函数的应用（二）  一、基础巩固1．（2020·南京师范大学附属实验学校月考）函数的零点是（    ）A．（，0） B．（4，0） C．（，0）或（4，0） D．或4【答案】D【解析】函数的零点就是方程的根，由可得，解得或，故选：D.2．（2020·湖南岳阳楼·岳阳一中高一月考）函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵，∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，故选B3．（2020·江苏省江浦高级中学高一月考）若函数的零点是（），则函数的零点是（    ）A． B．和 C． D．和【答案】B【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.4．（2019·广东广州·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.5．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（    ）A．至少有一个实根 B．至多有一个实根C．没有实根 D．有唯一实根【答案】D【解析】解：设，且，则，因为，所以，即所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，因为f(a)·f(b)＜0，所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））方程的解所在的区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，易知此函数为增函数，由.所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为.7．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，所以，即解得，故选：B8．（2020·云南保山·高一其他）函数的零点所在的区间为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因为函数在上均为减函数，所以函数在上为减函数，因为，所以函数的零点所在的区间为，故选：B9．（2019·绥德中学高一月考）函数的零点为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即10．（2020·河南信阳·月考（文））已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（    ）A．4 B．5 C．2 D．3【答案】C【解析】函数在递增，且，，所以函数存在唯一的零点，故，故选：C.11．（2020·江苏南通·高二月考）已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由题可知，，并且是方程的两根，即有，，由于抛物线开口向上，可得，在两根之外，结合选项可知A，B，C均错，D正确，如下图.故选：D.12．（2020·江苏南通·高三月考）为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数为（    ）A．5 B．6 C．11 D．12【答案】C【解析】因为为定义在上周期为2的奇函数，所以，，所以，，，，所以，所以，即，所以，，，，.所以函数在上零点的个数为11.13．（2019·北京牛栏山一中实验学校高一期中）已知是函数的一个零点，且，，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】解：∵在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，∵，，，14．（2019·陕西新城·西安市第八十九中学高一期中）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B．15．（2020·天津滨海新·高三其他）已知函数，若函数（且）在区间上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题可知：函数（且）在区间上有4个不同的零点等价于函数与图象在有4个交点，由所以函数为偶函数，当时，，所以函数在单调递增,且，如图
 由图可知：当时，所以，若，函数单调递减，不符合题意当时，所以要满足题意则，所以16．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】是定义在上的“倒戈函数，存在满足，，，构造函数，，令，，在单调递增，在单调递减，所以取得最大值，或取得最小值，，，，17．（多选题）（2020·湖北武汉·高二期末）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（    ）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有一个解 D．方程有且仅有九个解【答案】AC【解析】解：根据函数的图象，函数的图象与轴有3个交点，所以：方程有且仅有三个解；函数在区间上单调递减，所以：方程有且仅有一个解．对于D：方程，即或，或，因为有三个解，当时或只有一个解，故有5个解，故D错误；对于B ：方程，即，当时只有一个解，故只有1个解，故B错误；18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（    ）A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点【答案】ABD【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，因此无法判断在区间上是否有零点.19．（多选题）（2020·陕西长安一中期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】令，则，在同一直角坐标系中作出与的图像，因为函数恰有个零点，所以只需与有两个交点.由图可知，为使与有两个交点，只需或即可，故当时，两函数均有两个交点，即ABC正确；当时，两函数有三个交点，不满足题意，故D错；20．（多选题）（2020·邯郸市永年区第二中学高三月考）已知函数，则函数的零点个数可能为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BCD【解析】由可得，则函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，画出的大致图像如下，由得，所以曲线在点处的切线斜率为，此时的切线方程为，即，恰好过点，又直线也过点，所以由图像可得，当时，直线与函数的图像有两个交点；即函数有两个零点；当时，直线只与函数在的图像有一个交点，即函数有一个零点；当时，直线与函数有三个不同的交点，即函数有三个零点；综上，函数的零点个数可能为，，. 二、拓展提升1．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知关于的方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值．【解析】解：（1）依题意，得，解得，∴的取值范围是；（2）由韦达定理得，，，由得，，∴由得，，即，即，解得，或（舍），∴．2．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f（x）＝；（2）f（x）＝x2＋2x＋4；【解析】（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是x＝－3．（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．3．（2020·全国高一专题练习）求函数的零点；【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数的零点为－3和e2.4．（2020·广西南宁三中高二开学考试）已知二次函数.（1）如果二次函数恒有两个不同的零点，求的取值范围；（2）当时，讨论二次函数在区间上的最小值.【解析】（1）由题，得，，解得或，∴；（2）∵，所以对称轴，当，即时，函数在上单调递减，故当时，取最小值；当，即时，函数在上先减后增，故当时，取最小值.5．（2020·南开大学附属中学高三月考）已知函数，满足，（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值和最小值.（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.【解析】（1）由得，又，得即，所以， ，解得： ， ，所以，（2）对称轴， 所以，，， 所以，，（3），若有2个零点分别在区间和内，则 ，即，解得：