全等模型——一线三等角模型（知识点总结+典题精析）

这是一份全等模型——一线三等角模型（知识点总结+典题精析），共1页。主要包含了课程目标，先验知识，模型讲解1，典型例题，强化练习，模型小结，模型讲解2，链接中考等内容，欢迎下载使用。

【对象】
全等模型——一线三等角模型
【课程目标】
1.识别一线三等角模型的基本结构及特征；
2.掌握一线三等角模型的结论并理解其基本原理；
3.能够应用一线三等角模型结论解决几何问题.
大体要点：
1、识别XX模型的基本结构；
2、掌握XX模型结论，理解其基本原理；
3、能够应用XX模型结论解决几何问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引；
【先验知识】
全等三角形判定方法（AAS）
余角性质：同角的余角相等
外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和
设计意图：
在本课程正式开始之前，将会用到的强相关知识做课前的梳理与讲解（可选择性讲解）.
【导入】
如图，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90∘，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，求小华走了 秒.
大体要点：
以填空或者选择题目引出.
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.
【模型讲解1】
“一线三垂直”模型
关键特征：（1）三个等角；（2）三个等角共线.
同侧：
条件：如图，B、C、E三点共线，∠B=∠C=∠AED=90°，AE＝ED.
结论：△ABE≌△ECD
关键点：通过同角的余角相等，转化∠AEB=∠EDC再证明全等.
证明：∵∠B=∠C=∠AED=90°
∴∠AEB=∠EDC（同角的余角相等）
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠C∠AEB=∠EDCAE＝ED
∴△ABE≌△ECD（AAS）
异侧：

条件：如图，∠ABN=∠NCD=∠AND=90°，AN＝ND.
结论：△ABN≌△NCD
关键点：通过同角的余角相等，转化∠ANB=∠NDC再证明全等.
证明：∵∠ABN=∠NCD=∠AND=90°
∴∠ANB=∠NDC（同角的余角相等）
在△ABN和△NCD中，
∠ABN=∠NCD∠ANB=∠NDCAN＝ND
∴△ABN≌△NCD（AAS）
大体要点：
1、模型基本图形
2、已知条件+结论
3、关键点
4、模型结论的推导
设计意图：
突出模型的基本结构，理解模型结论的推导过程.
【典型例题】
例1：（2017·江苏·月考试卷）在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．求证：△ADC≅△CEB．
【分析】
观察图形可知，符合“一线三垂直”模型特征，只要利用“一线三垂直”模型结论即可快速证明△ADC≅△CEB．
【答案】
证明：∵ ∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90∘，
∴ ∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴ △ADC≅△CEB(AAS)．
例2：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。
【分析】
观察图形可知，符合“一线三垂直”模型特征，只要利用“一线三垂直”模型结论证明△ADB≅△CEA，再利用全等三角形的性质即可快速求出DE的长．
【答案】
解：∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠BDA=∠AEC=90∘
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠BAD=∠BAC-∠CAE=90∘-∠CAE，
在△AEC中，∠ACE=∠AEC-∠CAE=90∘-∠CAE，
∴ ∠BAD=∠ACE，
在△ADB和△CEA中，AB=AC
∴ △ADB≅△CEA(AAS)，
∴ CE=AD，BD=AE，
∴ DE=AE-AD=BD-CE=7-3=4．
故填空答案：4．
设计意图：
以经典题目入手，突出模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
练习1：（2019·河南·月考试卷） 如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是________．
【考点】
正方形的性质， 勾股定理，全等三角形的判定
【解答】
解：如图，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=CB，∠ABM+∠CBN=90∘，
而AM⊥MN，CN⊥BN，
∴ ∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90∘，
∴ △AMB≅△BCN(AAS)，
∴ BM=CN，
∴ AB为22+12=5．
故答案为：5．
练习2：如图，△ABC中，∠BAC=90∘，AC=AB，直线MN经过A点，BD⊥MN，CE⊥MN，D、E为垂足，则得不到的结论是（ ）

A.BD=AE B.∠CBA=∠ACB
C.BD=DE-CE D.BD+CE=BC
【解析】
由∠BAC=90∘可得∠BAD+∠CAE=90∘，再由BD⊥MN，得∠BAD+∠ABD=90∘，根据同角的余角相等得出∠ABD=∠CAE，即可证明△ABD≅△CAE，再进行选择即可．
【解答】
解：∵ ∠BAC=90∘，∴ ∠BAD+∠CAE=90∘，
∵ BD⊥MN，∴ ∠ADB=90∘，
∴ ∠BAD+∠ABD=90∘，
∴ ∠ABD=∠CAE，
∵ AB=AC，
∴ △ABD≅△CAE，
∴ BD=AE，AD=CE，∠CBA=∠ACB，
∴ BD=AE=DE-AD=DE-CE，
故选D．
练习3：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AD=CE，则∠BAC的度数是（ ）
A.45∘B.60∘C.90∘D.120∘
【解析】
首先证明△BAD≅△CAE，推出∠BAD=∠ACE，由∠ACE+∠CAE=90∘，推出∠BAD+∠CAE=90∘，由此解决问题．
【解答】
解：∵ BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴ ∠ADB=∠E=90∘，
在Rt△BAD和Rt△ACE中，
AB=ACAD=EC，
∴ △BAD≅△CAE，
∴ ∠BAD=∠ACE，
∵ ∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ ∠BAD+∠CAE=90∘，
∴ ∠BAC=90∘，
故选C．
练习4：（2020·山东·月考试卷）如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点．
1求证：BD=DE+CE；
2若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时(BD3若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD>CE)其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需要证明．
【考点】
全等三角形的性质与判定
几何变换综合题
【解答】
1证明：∵ BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴ ∠ADB=∠AEC=90∘．
∵ ∠BAC=90∘，∠ADB=90∘，
∵ ∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90∘，
∴ ∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE中，
∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，
∴ △ABD≅△CAE(AAS)，
∴ BD=AE，AD=CE，
∵ AE=AD+DE，
∴ BD=DE+CE；
2解：BD=DE-CE.
证明如下：
∵ BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴ ∠DAB+∠DBA=90∘,
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠DAB+∠CAE=90∘，
∴ ∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E=90∘，∠DBA=∠CAE，AB=AC,
△DBA≅△EAC(AAS),
∴ BD=AE，AD=CE,
BD=AE=DE-AD=DE-CE;
3解：∵ BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴ ∠DAB+∠DBA=90∘，
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠DAB+∠CAE=90∘，
∴ ∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E=90∘，∠DBA=∠CAE，AB=AC，
△DBA≅△EAC(AAS)，
∴ BD=AE，AD=CE，
又∵ ED=AD+AE，
∴ DE=BD+CE．
练习5：（2019·河南·月考试卷） 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN经过点C，如图①的位置时，①试说明△ADC≅△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN经过点C，如图②的位置时，请写出DE，AD，BE之间的数量关系．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解答】
解：(1)如图1，①∵ AD⊥MN，BE⊥MN，
∴ ∠ADC=∠CEB=90∘，
∴ ∠DAC+∠ACD=90∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACD+∠ECB=90∘，
∴ ∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=BC，
∴ △ADC≅△CEB(AAS)；
②∵ △ADC≅△CEB，
∴ AD=CE，DC=EB，
∵ DE=DC+CE，
∴ DE=AD+BE；
(2)如图2，DE=AD-BE，理由是：
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACD+∠BCD=90∘，
∵ AD⊥MN，
∴ ∠ADC=90∘，
∴ ∠ACD+∠CAD=90∘，
∴ ∠BCD=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∵ ∠BCD=∠CAD∠ADC=∠CEBAC=BC，
∴ △ACD≅△CBE(AAS)，
∴ AD=CE，CD=BE，
∵ DE=CE-CD，
∴ DE=AD-BE．
设计意图：
强化训练
【模型小结】
看到“一线三垂直”模型，就要想到利用“AAS”构造全等三角形，进而应用全等三角形性质解决问题.
设计意图：
梳理总结模型特征及结论应用.
【模型讲解2】
“一线三等角”模型
关键特征：（1）三个等角；（2）三个等角共线.
同侧：
条件：点A、C、B共线，∠DAB=∠ABE=∠DCE；AD=BC或AC=BE 或DC=EC.
结论：△ACD≌△BEC.
关键点：通过外角性质相等，转化∠ADC=∠BCE再证明全等.
证明：∵∠DAB=∠DCE，
且∠DAB+∠ADC =∠DCE+∠BCE（外角性质）
∴∠ADC =∠BCE（等量代换）
在△ACD和△BEC中，
∠A=∠B∠ADC =∠BCEAC=BE
∴△ACD≌△BEC（AAS）
异侧：
条件：点C、A、B、F共线，∠DAB=∠FBE=∠DCE；AD=BC或AC=BE或DC=EC.
结论：△ACD≌△BEC.
关键点：通过外角性质相等，转化∠DCA=∠CEB或∠CDA=∠ECB再证明全等.
证明：∵∠DAB=∠DCE，
且∠DAB =∠ADC+∠DCA（外角性质）
∠DCE=∠DCA+∠BCE
∴∠ADC =∠BCE（等量代换）
同理∠DCA =∠CEB（等量代换）
在△ACD和△BEC中，
∠DCA =∠CEB∠ADC =∠BCEAC=BE
∴△ACD≌△BEC（AAS）
大体要点：
1、模型基本图形
2、已知条件+结论
3、关键点
4、模型结论的推导
设计意图：
突出模型的变式结构，理解模型结论的推导过程.
【典型例题】
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且∠FDE=∠B，BD=CE.求证：BF=CD.
【分析】
观察图形可知，符合“一线三等角”模型特征，利用模型关键结论，快速找出三角形全等的条件（AAS），再根据全等三角形的性质即可证明对应边相等.
【解答】
证明：∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠FDE=∠B
且∠FDE+∠CDE =∠B+∠BFD（外角性质）
∴∠CDE =∠BFD（等量代换）
在△BDF和△CED中，
∠B=∠C∠CDE =∠BFDBD=CE
∴ △BDF≅△CED(AAS)，
∴ BF=CD（全等三角形对应边相等）
例2：如图，点C、A、B、F在同一直线上，∠DAB=∠FBE=∠DCE； DC=EC，AD=7，BE=5，求AB的长度.
【分析】
观察图形可知，符合“一线三等角”模型特征，可构建全等三角形并利用其性质进行相等线段转化，要求AB长度，只要找到BC（对应边AD）和AC（对应边BE）即可求解.
【解答】
解：∵∠DAB=∠DCE，
且∠DAB =∠ADC+∠DCA（外角性质）
∠DCE=∠DCA+∠BCE
∴∠ADC =∠BCE（等量代换）
同理∠DCA =∠CEB（等量代换）
在△ACD和△BEC中，
∠DCA =∠CEB∠ADC =∠BCEAC=BE
∴△ACD≌△BEC（AAS）
∴BC=AD=7，AC=BE=5
∴AB=BC-AC=2
设计意图：
以经典题目入手，突出模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
练习1：（2020·湖北·月考试卷） 解下列各题.
(1)如图1，△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．
(2)若直线AE绕点A旋转到图2的位置时(BD【考点】
直角三角形全等的判定
全等三角形的性质
【解答】
解：(1)∵ ∠BAC=90∘，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠BDA=∠AEC=90∘，
∵ ∠ABD+∠BAE=90∘，∠CAE+∠BAE=90∘
∴ ∠ABD=∠CAE，
∵ AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵ ∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴ △ABD≅△CAE(AAS)，
∴ BD=AE，AD=CE，
∵ AE=AD+DE，
∴ BD=DE+CE.
(2)BD=DE-CE；
∵ ∠BAC=90∘，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠BDA=∠AEC=90∘，
∴ ∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，
∴ ∠ABD=∠CAE，
∵ AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵ ∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴ △ABD≅△CAE(AAS)，
∴ BD=AE，AD=CE，
∴ AD+AE=BD+CE，
∴ BD=DE-CE．
练习2：（2017·山东·期中试卷）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90∘，∠α=90∘，
则BE________CF；EF________|BE-AF|（填“>”，“<”或“=”）；
②如图2，若0∘<∠BCA<180∘，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【考点】
三角形内角和定理
直角三角形全等的判定
【解答】
解：(1)①∵ ∠BCA=90∘，∠α=90∘，
∴ ∠BCE+∠CBE=90∘，∠BCE+∠ACF=90∘，
∴ ∠CBE=∠ACF，
∵ CA=CB，∠BEC=∠CFA；
∴ △BCE≅△CAF，
∴ BE=CF，EF=|CF-CE|=|BE-AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA=180∘．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180∘-∠BEC=180∘-∠α．
∵ ∠BCA=180∘-∠α，
∴ ∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵ ∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴ ∠CBE=∠ACF，
又∵ BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴ △BCE≅△CAF(AAS)
∴ BE=CF，CE=AF，
又∵ EF=CF-CE，
∴ EF=|BE-AF|．
故答案为：=；=；∠α+∠BCA=180∘.
(2)猜想：EF=BE+AF．
证明过程：
∵ ∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180∘，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180∘，
∴ ∠BCE=∠CAF，
又∵ BC=CA，
∴ △BCE≅△CAF(AAS)．
∴ BE=CF，EC=FA，
∴ EF=EC+CF=BE+AF．
练习3：（2017·山东·期中试卷）如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
（1）证明：DE=BD+CE．
（2）如图(2)，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120∘．请问结论DE=BD+CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图(3)，D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
【考点】
全等三角形的性质
等边三角形的判定方法
【解答】
证明：（1）∵ BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴ ∠BDA=∠CEA=90∘，
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠BAD+∠CAE=90∘，
∵ ∠BAD+∠ABD=90∘，
∴ ∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD+∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ △ADB≅△CEA(AAS)，
∴ AE=BD，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE；
（2）∵ ∠BDA=∠BAC=120∘，
∴ ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60∘，
∴ ∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ △ADB≅△CEA(AAS)，
∴ AE=BD，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE；
（3）∵ △ABF和△ACF均为等边三角形，
∴ BAC=∠BAF+∠CAF=120∘，
∴ ∠BDA=∠BAC=120∘，
∴ ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60∘，
∴ ∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ △ADB≅△CEA(AAS)，
∴ AE=BD，∠ABD=∠CAE，
∵ ∠DBF=60∘+∠ABD，∠FAE=60∘+∠CAE，
∴ ∠DBF=∠FAE，
在△BDF与△AEF中，BD=AE∠DBF=∠EAFBF=AF，
∴ △BDF≅△AEF，
∴ DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∵ ∠BFD+∠AFD=60∘，
∴ ∠EFA+∠AFD=60∘，
即∠DFE=60∘，
∴ △DEF是等边三角形．
设计意图：
强化训练
【模型小结】
类似“一线三垂直”模型，“一线三等角”的角度更加一般化，看到模型，就要想到利用“AAS”构造全等三角形，进而应用全等三角形性质解决问题，注意“三等角”可以是锐角，也可以是钝角.
设计意图：
梳理总结模型特征及结论应用.
【链接中考】
真题1：
略
真题2：
略
设计意图：
链接中考真题，它是这样考的，老师就是这样教你的，让学生心理认知上也能够跟老师趋同.
【课堂总结】
一、“一线三垂直”模型和“一线三等角”模型，整理如下图：
关键特征：（1）三个等角；（2）三个等角共线.
结论：利用模型可快速得到一组全等三角形，进而利用全等三角形性质解决问题.
二、模型应用题型和场景
“一线三等角”在全等三角形的综合应用中经常考查，此外，在以后学习相似三角形时也经常涉及，因此，掌握模型的基本结构特征和结论，能够在解决相应的几何综合题中起到很好的启发思路并快速解题的作用.
大体要点：
回忆课堂内容，强化学生的理解和掌握：模型结构结论、方法、技巧、思想、重难点、易错点、模型应用题型等；
设计意图:
Check学习目标，是否达成，学会了什么，还有哪些问题；
强化学习的意义和作用.
备注：
具体制作参照样例进行，相关板块围绕制作模板提示要点展开，需要在板块下方按样例格式附加设计意图.学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
 预科 同步复习 专题复习
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