初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试一课一练

这是一份初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识综合与测试一课一练，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．6cm，8cm，10cm
C．5cm，5cm，10cmD．4cm，6cm，10cm
2．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C．三角形三个内角中，至少有2个锐角
D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
5．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是( )
A．40°B．60°C．80°D．100°
6．下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF 的是( )
A．∠A＝∠E，BA＝EF，AC＝FD
B．∠B＝∠E，BC＝EF，高 AH＝DG
C．∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝30°，AC＝DF
D．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF
7．如图，已知，若，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
9．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A．45°B．54°C．40°D．50°
10．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1B．1.5C．2D．4
二、填空题
11．赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD），这其中的数学原理是__________．
12．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___．
13．如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______；
14．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝________°.
15．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=_____．
16．如图，在△ABC中，∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∠A＝45°，则∠BDC＝_____．
17．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
三、解答题
18．如图所示，已知AD是△ABC的中线，AB＝8 cm，AC＝5 cm，求△ABD和△ACD的周长差．
19．如图，在中，，，是边上的高线，平分，求的度数.
20．(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝4，那么BC边的长度应满足什么条件？
(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm，7 cm，第三边的长为x cm，且x是一个奇数，求三角形的周长；
(3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm，求它的最短边长．
21．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD．
(1)求证：△ABE≌△CBD．
(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度数．
22．课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
1．尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
2．初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C= ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）
23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
参考答案
1．B
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行一一分析即可．
【详解】
解：A、2+3＜6，不能组成三角形，不符合题意；
B、6+8＝14＞10，能组成三角形，符合题意；
C、5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+6＝10，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个最大数．
2．C
【分析】
根据三角形的高的定义，即可判断，从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高．
【详解】
A选项不是三角形的高，不符合题意；
B选项是边上的高，不符合题意；
C选项是边上的高，符合题意；
D选项不是三角形的高，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的高的定义，理解定义是解题的关键．
3．B
【分析】
根据三角形的分类可直接选出答案．
【详解】
，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
4．C
【分析】
利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A. 同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；
B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故错误，为假命题；
C. 三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；
D. 有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，
故选C.
【点睛】
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定义.
5．B
【详解】
解：在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，根据三角形内角和公式得：∠A+∠B+∠C=180°．
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（50°+70°）=60°．故选B．
6．A
【分析】
三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，要满足全等三角形所要求的条件．
【详解】
A无法判定△ABC≌△DEF；
B中可首先根据AAS定理判定△AHB≌△DGE,再根据SAS定理判定△ABC≌△DEF；
C中, 可根据ASA定理判定△ABC≌△DEF；
D中可根据SAS定理判定△ABC≌△DEF.
故选:A.
【点睛】
考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
7．D
【分析】
根据全等三角形的性质可得OA=OC=4，BO=DO，∠AOB=∠COD，再利用三角形内角和以及等边对等角分别计算即可判断．
【详解】
解：∵△OAB≌△OCD，
∴OA=OC=4，故C不符合；
BO=DO，∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，即∠AOC=∠BOD，
∴∠OCA=∠OAC=62°，
∴∠AOC=∠BOD=180°-2×62°=56°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=56°-35°=21°，故B不符合；
∴∠BDO=∠DBO=（180°-∠BOD）=62°，故A不符合；
由于缺少条件求出∠OCD，故无法得出∠OCD和∠AOC的关系，
故无法判断CD和OA是否平行，故D符合，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和以及等边对等角，解题的关键是由全等三角形得到等边和等角．
8．B
【分析】
根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm，
故选B.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握计算公式.
9．C
【详解】
试题分析：
解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
故选C．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理.
10．A
【详解】
试题分析：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
解：∵D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8cm2，
∴△ACD的面积=S△ABC=4cm2，△ACE的面积=△ACD的面积=2cm2，
△AEF的面积=△ACE的面积=1cm2．
故选A．
考点：三角形的面积．
11．三角形的稳定性
【分析】
三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】
解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】
本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键在于能够熟知三角形具有稳定性.
12．8
【分析】
根据三边关系得到x的取值范围，再化简.
【详解】
∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6∴x−5>0，x−13<0，
∴|x−5|+|x−13|=x−5+13−x=8，
故答案为8.
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
13．AB=AC（答案不唯一）．
【详解】
已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一条对应边相等即可．故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一．
考点：开放型，全等三角形的判定．
14．65
【分析】
由∠DAE=15°，∠ADE=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠AED=90°-∠DAE=75°，再根据三角形外角的性质可得∠BAE=∠AED-∠B=40°，再根据角平分线的定义求得∠BAC=2∠BAE=80°，再由三角形内角和定理即可求得∠C的度数.
【详解】
∵∠DAE=15°，∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠DAE=75°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=75°-35°=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=65°，
故答案为65.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
15．3
【分析】
由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【详解】
△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
16．135°
【详解】
解：∵∠A=45°，∴∠ABC+∠ACB=135°，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=45，∴∠BDC=135°．故答案为135°．
点睛：解答本题的关键是利用三角形的内角和定理与∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB的数量关系．
17．
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
【详解】
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故
故答案为.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
18．3cm
【分析】
根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【详解】
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴△ABD和△ACD的周长差为
（AB+BD+AD）-(AC+CD+AD)=AB－AC＝8－5＝3(cm)．
【点睛】
本题考查了三角形的中线定义以及三角形的周长，熟练掌握三角形中线的定义以及三角形周长的计算方法是解题的关键.
19．
【分析】
根据“，”可知∠BAC的度数，再根据“平分”可得∠CAE的度数，根据“是边上的高线”可求出∠DAC的度数，从而得出答案.
【详解】
解：∵，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-110°-30°=40°
∵平分
∴∠CAE=20°
∵是边上的高线，
∴∠ADB=90°,∠ACD=70°
∴∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD=180°-90°-70°=20°
∵∠DAE=∠CAE+∠DAC
∴∠DAE=20°+20°=40°
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键.
20．(1)1【详解】
试题分析：根据三角形三边关系定理即可得到结论．
解：（1）4-3＜BC＜4+3，即1＜BC＜7；
（2）7-5＜x＜7+5，即2＜x＜12．∵x是奇数，∴x=3，5，7，9，11，故三角形的周长为15 cm或17 cm或19 cm或21 cm或23 cm．
（3）设中间边为x㎝，则另外两条边为（x-1）㎝，（x+1）㎝，∴x-1+x+x+1=24，解得：x=8，∴x-1=7，∴它的最短边长为7 cm．
21．（1）见解析；（2）72°
【分析】
（1）利用SAS即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【详解】
(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°＝∠ABC.
在△ABE和△CBD中，
∵
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠CDB.
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝27°＋45°＝72°，
∴∠BDC＝72°.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件选择适当的判定定理是关键.
22．（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA=360°-2∠P．
【详解】
试题分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
试题解析：（1）∠DBC+∠ECB
=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°；
（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；
即∠P=90°-∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P=90°-∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，
=180°+180°-2∠P，
=360°-2∠P．
考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．
23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=BE﹣AD．
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，即可证明△ADC≌△CEB；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE，DC=EB，即可证明DE=AD﹣BE；
（3）与（1）的证明方法类似，证的△ADC≌△CEB，得出AD=CE，DC=EB，即可得出DE、AD、BE的等量关键.
【详解】
（1）∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE﹣DC=AD﹣EB；
（3）DE=BE﹣AD．
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC﹣CE=BE﹣AD．