第2.1讲 相似形的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案

这是一份第2.1讲 相似形的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案，共31页。学案主要包含了函数与相似的综合，圆与相似的综合，动点中的相似问题，相似中的分类讨论，相似在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。
考纲要求:
1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
3.了解两个三角形相似的概念；知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；会利用两个三角形相似的条件判定两个三角形相似。
4.会利用图形的相似解决一些实际问题。
5.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
基础知识回顾:
应用举例:
招数一、函数与相似的综合
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE= ，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】
（2）如图，延长EA交y轴于点F，
∵DE∥x轴
∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，
∵AD=AC，
∴△FCA≌△EDA，
∴DE=CF，
∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），
（3）由题意可知，AF∥BD
当AD、BF为平行四边形对角线时，
由平行四边形对角线互相平分可得A、D和B、F的横坐标、纵坐标之和分别相等
设点F坐标为（a，b）
∴a+0=m+2m
b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1
∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1
代入y=，得
2m2﹣m﹣1=，
解得m1=2，m2=0（舍去）
当FD、AB为平行四边形对角线时，
同理设点F坐标为（a，b），
则a=﹣m，b=1﹣m，则F点在y轴左侧，由（2）可知，点D所在图象不能在y轴左侧
∴此情况不存在，
综上当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【例2】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．
∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
∵O′A的方程为y=
∴P点满足解得： ∴P ( ,)
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
招数二、圆与相似的综合
【例3】
招数三、动点中的相似问题
【例4】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)设△CPQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式:
(2)如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t,使得沿PC翻折△CPQ所得到的到的四边形CQPM是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由：
(3)是否存在某一时刻t，使得P、Q、B三点共线?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）
【解析】
解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．
∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD===4.8．
过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图a所示．
（2）存在，理由：过点Q作QH⊥CP，垂足为H，如图2所示．
∵CD⊥AB∴QH∥AB，
∴ = , =,即= ，=
∴QH=t，CH=t
当四边形CQPM是菱形时，CQ=QP,CH=CP
∴t=（4.8-t），解得：
（3）由题意得，如图3，当∠QPC=∠BPD时，点Q、P、B三点共线，
【例5】如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）s（2）当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）不存在。理由见解析（4）存在，cm2
【解析】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
若PQ∥BC，则，即，解得。
∴当s时，PQ∥BC。
（3）不存在。理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12。
由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化简得：t2﹣5t+10=0。
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）存在。
假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，
则有AQ=PQ=BP=2t。
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，
则有PD∥BC，
∴△APD∽△ABC。
∴，即。
解得：PD=，AD=，
∴QD=AD﹣AQ=。
∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2。
招数四、相似中的分类讨论
【例6】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0