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人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试公开课课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试公开课课件ppt，共59页。PPT课件主要包含了章末梳理，知识结构•理脉络，要点梳理•晰精华，素养突破•提技能，核心素养，数学运算，核心素养，直观想象，核心素养，逻辑推理等内容，欢迎下载使用。
注：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称(如图所示)．
4．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
5．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4)．
6．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
选取上述三个增长函数模型时，应注意：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快．
7．建立函数模型解决实际问题的基本思路
[归纳提升] 指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．
函数y＝2lg4(1－x)的图象大致是( )
[解析] 方法一：当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数．方法二：函数y＝2lg4(1－x)的图象可认为是由y＝lg4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝lg4x的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2lg4x的图象；(2)把函数y＝2lg4x关于y轴对称得到函数y＝2lg4(－x)的图象；(3)把函数y＝2lg4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2lg4(1－x)的图象．[归纳提升] 弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象．
讨论函数f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的个数．
当a在R上取值时，函数h(x)的图象是一系列垂直于y轴的直线．①当a<－2时，g(x)的图象与直线y＝a无交点，方程x2－2|x|－1＝a无实根，即函数f(x)无零点；②当a＝－2，或a>－1时，g(x)的图象与直线y＝a的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点；③当－2
函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)(0
2016年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)．
[归纳提升] 建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．
一、指数幂和对数的运算1．(2018·全国Ⅲ卷)设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )A．a＋blg0.21＝0，b＝lg20.3
[解析] 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，∴a＝－1.
当y＝－x－a的图象在y＝－x＋1的图象上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a的图象在y＝－x＋1的图象下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C．
六、函数模型及应用8．(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p取得最大值．故最佳加工时间为3.75分钟．
注：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称(如图所示)．
4．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
5．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4)．
6．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
选取上述三个增长函数模型时，应注意：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快．
7．建立函数模型解决实际问题的基本思路
[归纳提升] 指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．
函数y＝2lg4(1－x)的图象大致是( )
[解析] 方法一：当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数．方法二：函数y＝2lg4(1－x)的图象可认为是由y＝lg4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝lg4x的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2lg4x的图象；(2)把函数y＝2lg4x关于y轴对称得到函数y＝2lg4(－x)的图象；(3)把函数y＝2lg4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2lg4(1－x)的图象．[归纳提升] 弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象．
讨论函数f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的个数．
当a在R上取值时，函数h(x)的图象是一系列垂直于y轴的直线．①当a<－2时，g(x)的图象与直线y＝a无交点，方程x2－2|x|－1＝a无实根，即函数f(x)无零点；②当a＝－2，或a>－1时，g(x)的图象与直线y＝a的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点；③当－2
函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)(0
2016年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)．
[归纳提升] 建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．
一、指数幂和对数的运算1．(2018·全国Ⅲ卷)设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )A．a＋b
[解析] 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，∴a＝－1.
当y＝－x－a的图象在y＝－x＋1的图象上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a的图象在y＝－x＋1的图象下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C．
六、函数模型及应用8．(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p取得最大值．故最佳加工时间为3.75分钟．
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