2021学年第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

这是一份2021学年第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案，共11页。学案主要包含了教学目标，教学方法等内容，欢迎下载使用。
1．会用和推导匀变速直线运动的推论。
2．匀变速直线运动的平均速度公式eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝veq \f(t,2)。
3．匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
4.匀变速直线运动某段位移的中点位置的瞬时速度veq \f(x,2)＝eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v2,2))。
5.初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律
初速度为零的匀加速直线运动，由t＝0开始计时，以T为时间单位，多个比例式的推论。
【教学方法】
教师启发、引导学生思考，讨论、交流学习成果。探究法、讨论法。
（一）新课导入
匀变速直线运动的常用公式很多，两个基本公式是我们解决匀变速直线运动问题的基础，推论是在一定条件下推导出来的可用的结论。
最重要的是推导条件和应用条件是否一致，并学会变通。
我们一起来推导这些推论？
（二）新课内容
适用于所有匀变速直线运动的重要推论
一、平均速度公式：eq \x\t(v)＝v＝eq \f(v0＋v,2)
即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v。由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2得，①
平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at②
由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝eq \f(t,2)时
v＝v0＋aeq \f(t,2)③
由②③得eq \x\t(v)＝veq \f(t,2)④
又v＝v＋aeq \f(t,2)⑤
由③④⑤解得v＝eq \f(v0＋v,2)，所以eq \x\t(v)＝v＝eq \f(v0＋v,2)。
例1：一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为t1。紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2，则物体运动的加速度为( )
A.eq \f(2Δxt1－t2,t1t2t1＋t2) B.eq \f(Δxt1－t2,t1t2t1＋t2)
C.eq \f(2Δxt1＋t2,t1t2t1－t2) D.eq \f(Δxt1＋t2,t1t2t1－t2)
解析：选A 物体做匀加速直线运动通过前一段Δx所用的时间为t1，平均速度为eq \x\t(v)1＝eq \f(Δx,t1)，物体通过后一段Δx所用的时间为t2，平均速度为eq \x\t(v)2＝eq \f(Δx,t2)。速度由eq \x\t(v)1变化到eq \x\t(v)2的时间为Δt＝eq \f(t1＋t2,2)，所以加速度a＝eq \f(\x\t(v)2－\x\t(v)1,Δt)＝eq \f(2Δxt1－t2,t1t2t1＋t2)，A正确。
同步练习1：从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度。
解析：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即
eq \x\t(v)＝eq \f(0＋vmax,2)＝eq \f(vmax,2)，
由x＝eq \x\t(v) t得vmax＝eq \f(2x,t)＝5 m/s。
答案：5 m/s
二、匀变速直线运动某段位移的中点位置的瞬时速度veq \f(x,2)＝eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v2,2))。
1.中间位置的瞬时速度
(1)公式：v＝eq \r(\f(v\\al( 2,0)＋v 2,2))。
(2)推导：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则据速度与位移关系式，对前一半位移：v2－veq \\al( 2,0)＝2aeq \f(x,2)，对后一半位移v2－v2＝2aeq \f(x,2)，即v2－veq \\al( 2,0)＝v2－veq \f(x,2)2，所以v＝ eq \r(\f(v\\al( 2,0)＋v2,2))。
(3)与中间时刻瞬时速度的关系
veq \f(x,2)＞veq \f(t,2)(不论是匀加速还是匀减速直线运动)
证明：v2－v2＝eq \f(v\\al( 2,0)＋v2,2)－eq \f(v\\al(2,0)＋v2＋2v0v,4)
＝eq \f(v\\al( 2,0)＋v2－2v0v,4)＝eq \f(v0－v2,4)＞0
所以v＞v。
例2：物体沿一直线运动，在t时间内通过路程为s，它在中间位置eq \f(1,2)s处的速度为v1，在中间时刻eq \f(1,2)t时的速度为v2，则v1和v2的关系为( )
A．当物体做匀加速直线运动时，v1＞v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1＜v2
C．当物体做匀加速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1＝v2
解析：选A 解法一：设初速度为v0，末速为vt，由速度位移公式可以求得v1＝eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v\\al(2,t),2))，由速度公式求得v2＝eq \f(v0＋vt,2)。如果是匀减速运动，用逆向分析法，亦可按匀加速直线运动处理，上式结果不变。只要v0≠vt，用数学方法可证必有v1＞v2。
解法二：
画出匀加速和匀减速运动的v­t图像，可很直观看出总有v1＞v2。
匀变速直线运动中有严格适用条件的重要推论
三、逐差相等Δx＝aT2
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
推导：x1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2，x2＝v0·2T＋eq \f(4,2)a·T2，x3＝v0·3T＋eq \f(9,2)aT2……
所以xⅠ＝x1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋eq \f(3,2)aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋eq \f(5,2)aT2……
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2……
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
[特别提醒]
(1)以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论来处理问题。
(2)对于以上不相邻的两段位移，则有xm－xn＝(m－n)aT2，该式常用于实验中，根据打出的纸带求物体的加速度。
例3：一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小。
[思路点拨] (1)“连续相等的两个时间间隔内”→时间T相同且T＝4 s
解析：逐差法
由Δx＝aT2可得
a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(64－24,42) m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
答案：1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
同步练习2：一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m。则刹车后6 s内的位移是( )
A．20 m B．24 m
C．25 m D．75 m
解析：选C 由Δx＝aT2得a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(7－9,1) m/s2＝－2 m/s2，由eq \x\t(v)＝veq \f(t,2)知v0.5＝eq \f(9 m,1 s)＝9 m/s。由运动学公式v＝v0＋at得v0＝v－at＝9 m/s－(－2)×0.5 m/s＝10 m/s，故该汽车经5 s时间停止，6 s内发生的位移x＝eq \f(v0,2)t＝5×5 m＝25 m，选项C正确。
四、逐差法求加速度
如图2所示，为打点计时器打出的一条纸带，相邻两计数点的时间间隔为T，各段位移如图所示。现在要求物体的加速度，可有以下方法：
图2
(1)顺差法：a1＝eq \f(x2－x1,T2)，a2＝eq \f(x3－x2,T2)，a3＝eq \f(x4－x3,T2)，a4＝eq \f(x5－x4,T2)，a5＝eq \f(x6－x5,T2)，则
a＝eq \f(a1＋a2＋a3＋a4＋a5,5)＝eq \f(x6－x1,5T2)，
此方法只利用了x1、x6两个数据，其他x2、x3、x4及x5都没利用会带来较大的偶然误差。
逐差法：a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即
eq \x\t(a)＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)＝eq \f(x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x3,9T2)，
①这相当于把纸带分成两部分，此方法又叫整体二分法。
②若纸带为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段；a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，然后取平均值，即eq \x\t(a)＝eq \f(a1＋a2,2)＝eq \f(x4＋x5－x1＋x2,6T2)，这样能使所给的数据得到充分利用，有效地减小了仅由两次位移测量带来的偶然误差。
例4：做“测定匀变速直线运动的加速度”实验中，得到一条如图2－3－10所示的纸带，按时间顺序取0、1、2、3、4、5、6共七个计数点，每相邻两个计数点间各有四个打出的点未画出，用刻度尺测得1、2、3、…、6各点到0点的距离分别为8.69 cm、15.99 cm、21.87 cm、26.35 cm、29.45 cm、31.17 cm，打点计时器每隔0.02 s打一次点。求：
图2－3－10
(1)物体的加速度；
(2)打计数点3时物体的速度。
解析：(1)由纸带的数据可知，物体在连续相等的时间T＝0.1 s内的位移分别为x1＝8.69 cm，x2＝7.30 cm，x3＝5.88 cm，x4＝4.48 cm，x5＝3.10 cm，x6＝1.72 cm。
由逐差法可得物体的加速度为
a＝eq \f(x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x3,9T2)
＝eq \f(4.48＋3.10＋1.72×10－2 m－8.69＋7.30＋5.88×10－2 m,9×0.1 s2)
≈－1.397 m/s2。
(2)打计数点3时的速度
v3＝eq \x\t(v)24＝eq \f(x24,2T)＝eq \f(x3＋x4,2T)
＝eq \f(5.88×10－2 m＋4.48×10－2 m,2×0.1 s)
＝0.518 m/s。
答案：(1)－1.397 m/s2 (2)0.518 m/s
同步练习3：某同学在研究小车运动情况的实验中，获得一条点迹清晰的纸带，已知打点计时器每隔0.02 s打一个计时点，该同学选择A、B、C、D、E、F六个计数点，对计数点进行测量的结果如图2－3－11所示，单位是cm。
图2－3－11
(1)试计算在打下A、B、C、D、E、F各点时小车的瞬时速度vA、vB、vC、vD、vE、vF各多大？
(2)计算小车的加速度多大？
解析：(1)vB＝eq \f(xAC,2T)＝eq \f(3.32×10－2,2×2×0.02) m/s＝0.415 m/s，
vC＝eq \f(xBD,2T)＝eq \f(5.46－1.5×10－2,2×2×0.02) m/s＝0.495 m/s，
vD＝eq \f(xCE,2T)＝eq \f(7.92－3.32×10－2,2×2×0.02) m/s＝0.575 m/s，
vE＝eq \f(xDF,2T)＝eq \f(10.7－5.46×10－2,2×2×0.02) m/s＝0.655 m/s，
由vB＝eq \f(vA＋vC,2)得vA＝2vB－vC＝(2×0.415－0.495)m/s＝0.335 m/s，
由vE＝eq \f(vD＋vF,2)得vF＝2vE－vD＝(2×0.655－0.575)m/s＝0.735 m/s。
(2)运用逐差法得加速度a＝eq \f(xDE＋xEF－xAB＋xBC,6T2)，代入数据得a＝2.0 m/s2。
答案：(1)见解析 (2)2.0 m/s2
五、只适用于初速度为零的匀加速直线运动的特殊比例式
特殊比例式1
条件：初速度为零的匀加速直线运动，由t＝0开始计时，以T为时间单位，则：
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n，
此关系可由v＝at直接导出。
例5：从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
解析：选A 由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度v＝eq \f(x,t)，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确。
特殊比例式1
条件：初速度为零的匀加速直线运动，由t＝0开始计时，以T为时间单位，则：
1T内、2T内、3T内、…、nT内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶33∶…∶n2，
此关系可由x＝eq \f(1,2)at2直接导出。
例6：一物体以某一初速度在粗糙水平面上做匀减速直线运动，最后停下来，若此物体在最初5 s内和最后5 s内经过的路程之比为11∶5。则此物体一共运动了多长时间？
解析：将物体运动视为反向的初速度为零的匀加速直线运动，则最后5 s内通过的路程为x2＝eq \f(1,2)a×52＝12.5a
最初5 s内通过的路程为x1＝eq \f(1,2)at2－eq \f(1,2)a(t－5)2＝eq \f(1,2)a(10t－25)
由题中已知的条件x1∶x2＝11∶5得：
(10t－25)∶25＝11∶5
解得物体运动的总时间t＝8 s。
答案：8 s
特殊比例式1
条件：初速度为零的匀加速直线运动，由t＝0开始计时，以T为时间单位，则：
第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内的位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
推导：由x＝eq \f(1,2)at2得xⅠ＝eq \f(1,2)aT2，
xⅡ＝eq \f(1,2)a(2T)2－xⅠ＝eq \f(1,2)a(2T)2－eq \f(1,2)aT2＝eq \f(3,2)aT2。
xⅢ＝eq \f(1,2)a(3T)2－(xⅠ＋xⅡ)＝eq \f(1,2)a(3T)2－eq \f(1,2)aT2－eq \f(3,2)aT2＝eq \f(5,2)aT2。
可见：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
例7：做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是( )
A．3.5 m B．2 m
C．1 m D．0
解析：选B 可以采用逆向思维，把物体的运动看做是初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m，选项B对。
同步练习4：一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端旁的站台前观察，第1节车厢通过他历时2 s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，则这列火车共有________节车厢。
解析：根据x＝eq \f(1,2)at2可知第1节、前2节、前3节、…、前N节车厢通过观察者所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tN＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(N)。则有t1∶tN＝1∶eq \r(N)
解得火车车厢总数为N＝(eq \f(tN,t1))2＝(eq \f(8,2))2＝16。
答案： 16
特殊比例式1
条件：初速度为零的匀加速直线运动，由t＝0开始计时，以T为时间单位，则：
匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))。
推导：由公式x＝eq \f(1,2)at2得t＝eq \r(\f(2x,a))，则
通过第一段位移x所用时间t1＝eq \r(\f(2x,a))，
通过第二段相同位移x所用时间
t2＝ eq \r(\f(2×2x,a))－ eq \r(\f(2x,a))＝ eq \r(\f(2x,a))(eq \r(2)－1)，
同理，t3＝ eq \r(\f(2×3x,a))－ eq \r(\f(2×2x,a))＝ eq \r(\f(2x,a))(eq \r(3)－eq \r(2))，
……
tn＝ eq \r(\f(2nx,a))－ eq \r(\f(2n－1x,a))＝ eq \r(\f(2x,a))(eq \r(n)－eq \r(n－1))，
可见，t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))。
例7：（多）在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军，如图1所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )
图1
A．v1∶v2＝2∶1 B．v1∶v2＝eq \r(2)∶1
C．t1∶t2＝1∶eq \r(2) D．t1∶t2＝(eq \r(2)－1)∶1
解析：选BD 将此匀减速运动看成反方向的匀加速运动，则由题意知veq \\al(2,2)＝2ax①
veq \\al(2,1)＝2a·2x②
所以eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(2),1)
所以B选项正确。
根据初速为零的匀加速直线运动的比例关系，可知
eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(2)－1,1)，D项正确。
同步练习5：（多）如图3所示，光滑斜面被分成四个长度相等的部分，一个物体由A点静止释放，下面结论中正确的是( )
图3
A．物体到达各点的速度vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
B．物体到达各点所经历的时间tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
C．物体从A到E的平均速度eq \x\t(v)＝vB
D．通过每一部分时，其速度增量均相等
解析：选ABC 设每一部分的长度为x，根据v2－veq \\al( 2,0)＝2ax得veq \\al( 2,B)＝2ax，veq \\al( 2,C)＝2a·2x，veq \\al( 2,D)＝2a·3x，veq \\al( 2,E)＝2a·4x，所以vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，A正确；根据x＝eq \f(1,2)at2得tB＝eq \r(\f(2·x,a))，tC＝eq \r(\f(2·2x,a))，tD＝eq \r(\f(2·3x,a))，tE＝eq \r(\f(2·4x,a))，所以tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，B正确；从A到E的平均速度等于中间时刻的速度，从A到E的时间为tE＝eq \r(\f(2·4x,a))，中间时刻为eq \f(1,2)tE＝eq \r(\f(2·4x,4a))＝eq \r(\f(2x,a))＝tB，所以eq \x\t(v)＝vB，C正确；由vB、vC、vD、vE的大小知每一部分的速度增量不相等，D错误。
五、板书设计
六、作业布置
七、小结
(1)以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动。应用比例关系，可使问题简化。