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初中数学第十一章 图形的运动第2节 图形的旋转11.2 旋转教学设计
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这是一份初中数学第十一章 图形的运动第2节 图形的旋转11.2 旋转教学设计，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义七旋转2学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义七旋转2教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共25页， 欢迎下载使用。
【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，
∠DFA＝∠FCA+∠FAC＝α+30°，
当FD＝FA，则∠FDA＝∠FAD，这不合题意舍去；
当AF＝AD，则∠ADF＝∠AFD，即90°−12α＝30°+α，解得α＝40°；
当DF＝DA，则∠DFA＝∠DAF，即30°+α＝90°−12α﹣30°，解得α＝20°．
故答案为40°或20°．
【当堂练习】9．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 130或100或160 ．
【解答】解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC，
∵△ADC为等腰三角形，
∴分三种情况：
①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD=12（360°﹣∠ABC）＝130°，
∴m＝130；
②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°，
∴m＝100；
③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°，
∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°，
∴m＝160；
综上所述：m所有可能的取值为130或100或160；
故答案为：130或100或160．
【课后巩固】9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为 40°或70°或100° ．
【解答】解：连接AP，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP＝OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴∠BAP=12∠BOP=12α，∠APC＝∠ABC＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴点P、C在以AB为直径的圆上，
∴∠ACP＝∠ABP＝90°−12α，∠APC＝∠ABC＝70°，
当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP，
即90°−12α＝70°，解得α＝40°；
当PA＝PC时，∠PAC＝∠ACP，
即12α+20°＝90°−12α，解得α＝70°；
当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP，
即12α+20°＝70°，解得α＝100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．
故答案为40°或70°或100°．
【例题精讲】10．如图，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，若AC＝6，AB＝8，求PA+PB+PC的最小值 225+123 ．
【解答】解：如图，将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△ECF，连接PF，BE，作EH⊥BA交BA的延长线于H．
由旋转的旋转可知：PA＝EF，△PCF，△ACE是等边三角形，
∴PF＝PC，
∴PA+PB+PC＝EF+FP+PB，
∵EF+FP+PB≥BE，
∴当B，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵∠BAC＝90°，∠CAE＝60°，
∴∠HAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵EH⊥AH，AE＝AC＝6，
∴EH=12AE＝3．AH=3EH＝33，
∴BE=BH2+EH2=(8+33)2+32=225+123，
∴PA+PB+PC的最小值为225+123．
故答案为225+123．
【当堂练习】10．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为 4+33 ．
【解答】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA+MD+ME＝D′M+MM′+ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG+GE＝4+33，
∴MA+MD+ME的最小值为4+33．
【课后巩固】10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，P为△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 19 ．
【解答】解：如图，将△ABP绕着点A逆时针旋转60°，得到△AEH，连接EP，CH，过点C作CN⊥AH，交HA的延长线于N，
∴△ABP≌△AHE，
∴∠BAP＝∠HAE，AE＝AP，AH＝AB＝3，∠BAH＝60°，
∴∠HAB＝∠EAP＝60°，
∴△AEP是等边三角形，
∴AE＝AP＝EP，
∴AP+BP+PC＝PC+EP+EH，
∴当点H，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值HC，
∵∠CAN＝180°﹣∠BAH﹣∠BAC＝60°，CN⊥AN，
∴∠ACN＝30°，
∴AN=12AC＝1，CN=3AN=3，
∴HN＝AH+AN＝4，
∴HC=HN2+CN2=16+3=19，
∴PA+PB+PC的最小值为19，
故答案为19．
【例题精讲】11．如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则PBPA的最小值是（ ）
A．12B．33C．22D．32
【解答】解：将△APC旋转60°到△ADB，连接DP，则△ADP的等边三角形，∠ADB＝∠APC＝120°，
∴PD＝PA，∠PDB＝60°，过点P作PE⊥BD于E，则PE=32PD=32PA，
∴PB≥PE=32PA，即PBPA≥32．
故选：D．
【当堂练习】11．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，ABBC=32，D为△ABC外一点，连接AD、CD．若∠ADC＝30°，AC＝AD，则BDAB的值为 313 ．
【解答】解：如图所示，将△ABD绕A顺时针旋转120°得△ACQ，连BQ，
则∠BAQ＝∠DAC＝120°，BA＝QA，
∴∠ABQ＝30°，∠QBC＝60°+30°＝90°，
设BC＝2，AB＝3，
过A作AE⊥BQ于E，
则BQ＝2BE＝2cs30°×AB＝2×123AB=33，
∴Rt△BCQ中，CQ=(33)2+22=31，
∴BD＝CQ=31，
∴BDAB=313．
故答案为：313．
【课后巩固】11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P在AC边上，以点P为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G，当P为中点时，AG：DG的值为 3−12 ．
【解答】解：设BC＝x，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2x，AC=3x，
∵点P是AC中点，
∴PC＝PA=32x，
由旋转得，DP=12DF=12AC=32x，DG=12DE=12AB＝x，
根据勾股定理得，PG=DG2−DP2=x2−(32x)2=12x，
∴AG＝AP﹣PG=32x−12x，
∴AGDG=32x−12xx=32−12．
故答案为3−12．
【例题精讲】12．如图，△ABC是等边三角形，点E为△ABC外一点，∠AEC＝30°，AE＝3，CE＝4，则BE＝ 5 ．
【解答】解：如图将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接ED，则△CDE是等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转的性质可得：
CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠DCE+∠ACD＝∠ACB+∠ACD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，DC＝DE＝4，
∵∠AEC＝30°，
∴∠AEC+∠CED＝90°，
∴∠AED＝90°，∵AE＝3，ED＝4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得AD=AE2+ED2=32+42=5，
∴BE＝AD＝5．
故答案为5．
【当堂练习】12．在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，AB＝BC，DC＝6，AD＝9，且∠ABC＝2∠ADC＝60°，则BD＝ 313 ．
【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
连接DE．
由旋转知，AE＝AD＝9，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝9，∠ADE＝60°，
∵2∠ADC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
在Rt△CDE中，CD＝6，DE＝9，
根据勾股定理得，CE=CD2+DE2=62+92=313，
∴BD＝CE＝313，
故答案为：313．
【课后巩固】12．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，△ACD是等边三角形，连接BD，则线段BD的长为 19 ．
【解答】解：∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，∠DAC＝60°，
∴把△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，
如图，连接BE，作EH⊥BC与H，
∵△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，
∴CE＝BD，AB＝AE，∠EAB＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBH＝60°，
在Rt△BEH中，BH=12BE＝1，EH=3BH=3，
在Rt△ECH中，∵EH=3，CH＝BC+BH＝3+1＝4，
∴CE=(3)2+42=19，
∴BD=19．
故答案为19．
【例题精讲】13．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A1BC1．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的取值范围为 522−2≤EP1≤7 ．
【解答】解：①如图1，过点B作BD⊥AC于点D，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝5×22=522，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE=522−2；
②如图2，
当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC1+BE＝5+2＝7，
综上，线段EP1长度的取值范围为522−2≤EP1≤7，
故答案为：522−2≤EP1≤7．
【当堂练习】13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 3 ．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC=12A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
【课后巩固】13．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=42．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 229 ．
【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，
在△ABG和△ADP中
AB=AD∠B=∠DBG=PD，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，BG＝DP，
∴GC＝PE，
∵∠GAP＝∠BAD＝60°，
∴△AGP是等边三角形，
∴AP＝GP，
∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE
∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中
OM=ME∠GMO=∠DMEMG=MD
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG=42．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND=NF2+DF2=102+42=229，
∴MO+NO+GO最小值为229，
故答案为229，
【例题精讲】14．请按以下要求用无刻度直尺作图：
（1）如图1，线段AB和线段A′B′关于点M成中心对称，画出点M；
（2）如图2，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（3）如图3，设∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A′B′C，画出△A′B′C．
【解答】解：（1）如图1所示，点M即为所求．
（2）如图2所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如图3所示，△A′B′C即为所求．
【当堂练习】14．如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；
（4）作点C1关于BC的对称点D．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2），
∴AB＝5，AC=5，BC＝25，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）△A1BC1如图所示．
（3）点G（0，3）．
（4）如图，点D即为所求作．
【课后巩固】14．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）都是格点．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在上图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，旋转角＝2∠ABC，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点坐标．
【解答】解：如图所示：
（1）△ABC的形状为：直角三角形；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，旋转角＝2∠ABC；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，
G点坐标为（0，3）．
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日期：2021/7/1 10:09:59；用户：丁怡；邮箱：kfqsz888@163.cm；学号：265877
【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，
∠DFA＝∠FCA+∠FAC＝α+30°，
当FD＝FA，则∠FDA＝∠FAD，这不合题意舍去；
当AF＝AD，则∠ADF＝∠AFD，即90°−12α＝30°+α，解得α＝40°；
当DF＝DA，则∠DFA＝∠DAF，即30°+α＝90°−12α﹣30°，解得α＝20°．
故答案为40°或20°．
【当堂练习】9．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 130或100或160 ．
【解答】解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC，
∵△ADC为等腰三角形，
∴分三种情况：
①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD=12（360°﹣∠ABC）＝130°，
∴m＝130；
②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°，
∴m＝100；
③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°，
∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°，
∴m＝160；
综上所述：m所有可能的取值为130或100或160；
故答案为：130或100或160．
【课后巩固】9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为 40°或70°或100° ．
【解答】解：连接AP，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP＝OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴∠BAP=12∠BOP=12α，∠APC＝∠ABC＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴点P、C在以AB为直径的圆上，
∴∠ACP＝∠ABP＝90°−12α，∠APC＝∠ABC＝70°，
当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP，
即90°−12α＝70°，解得α＝40°；
当PA＝PC时，∠PAC＝∠ACP，
即12α+20°＝90°−12α，解得α＝70°；
当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP，
即12α+20°＝70°，解得α＝100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．
故答案为40°或70°或100°．
【例题精讲】10．如图，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，若AC＝6，AB＝8，求PA+PB+PC的最小值 225+123 ．
【解答】解：如图，将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△ECF，连接PF，BE，作EH⊥BA交BA的延长线于H．
由旋转的旋转可知：PA＝EF，△PCF，△ACE是等边三角形，
∴PF＝PC，
∴PA+PB+PC＝EF+FP+PB，
∵EF+FP+PB≥BE，
∴当B，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵∠BAC＝90°，∠CAE＝60°，
∴∠HAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵EH⊥AH，AE＝AC＝6，
∴EH=12AE＝3．AH=3EH＝33，
∴BE=BH2+EH2=(8+33)2+32=225+123，
∴PA+PB+PC的最小值为225+123．
故答案为225+123．
【当堂练习】10．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为 4+33 ．
【解答】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA+MD+ME＝D′M+MM′+ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG+GE＝4+33，
∴MA+MD+ME的最小值为4+33．
【课后巩固】10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，P为△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 19 ．
【解答】解：如图，将△ABP绕着点A逆时针旋转60°，得到△AEH，连接EP，CH，过点C作CN⊥AH，交HA的延长线于N，
∴△ABP≌△AHE，
∴∠BAP＝∠HAE，AE＝AP，AH＝AB＝3，∠BAH＝60°，
∴∠HAB＝∠EAP＝60°，
∴△AEP是等边三角形，
∴AE＝AP＝EP，
∴AP+BP+PC＝PC+EP+EH，
∴当点H，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值HC，
∵∠CAN＝180°﹣∠BAH﹣∠BAC＝60°，CN⊥AN，
∴∠ACN＝30°，
∴AN=12AC＝1，CN=3AN=3，
∴HN＝AH+AN＝4，
∴HC=HN2+CN2=16+3=19，
∴PA+PB+PC的最小值为19，
故答案为19．
【例题精讲】11．如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则PBPA的最小值是（ ）
A．12B．33C．22D．32
【解答】解：将△APC旋转60°到△ADB，连接DP，则△ADP的等边三角形，∠ADB＝∠APC＝120°，
∴PD＝PA，∠PDB＝60°，过点P作PE⊥BD于E，则PE=32PD=32PA，
∴PB≥PE=32PA，即PBPA≥32．
故选：D．
【当堂练习】11．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，ABBC=32，D为△ABC外一点，连接AD、CD．若∠ADC＝30°，AC＝AD，则BDAB的值为 313 ．
【解答】解：如图所示，将△ABD绕A顺时针旋转120°得△ACQ，连BQ，
则∠BAQ＝∠DAC＝120°，BA＝QA，
∴∠ABQ＝30°，∠QBC＝60°+30°＝90°，
设BC＝2，AB＝3，
过A作AE⊥BQ于E，
则BQ＝2BE＝2cs30°×AB＝2×123AB=33，
∴Rt△BCQ中，CQ=(33)2+22=31，
∴BD＝CQ=31，
∴BDAB=313．
故答案为：313．
【课后巩固】11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P在AC边上，以点P为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G，当P为中点时，AG：DG的值为 3−12 ．
【解答】解：设BC＝x，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2x，AC=3x，
∵点P是AC中点，
∴PC＝PA=32x，
由旋转得，DP=12DF=12AC=32x，DG=12DE=12AB＝x，
根据勾股定理得，PG=DG2−DP2=x2−(32x)2=12x，
∴AG＝AP﹣PG=32x−12x，
∴AGDG=32x−12xx=32−12．
故答案为3−12．
【例题精讲】12．如图，△ABC是等边三角形，点E为△ABC外一点，∠AEC＝30°，AE＝3，CE＝4，则BE＝ 5 ．
【解答】解：如图将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接ED，则△CDE是等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转的性质可得：
CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠DCE+∠ACD＝∠ACB+∠ACD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，DC＝DE＝4，
∵∠AEC＝30°，
∴∠AEC+∠CED＝90°，
∴∠AED＝90°，∵AE＝3，ED＝4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得AD=AE2+ED2=32+42=5，
∴BE＝AD＝5．
故答案为5．
【当堂练习】12．在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，AB＝BC，DC＝6，AD＝9，且∠ABC＝2∠ADC＝60°，则BD＝ 313 ．
【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
连接DE．
由旋转知，AE＝AD＝9，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝9，∠ADE＝60°，
∵2∠ADC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
在Rt△CDE中，CD＝6，DE＝9，
根据勾股定理得，CE=CD2+DE2=62+92=313，
∴BD＝CE＝313，
故答案为：313．
【课后巩固】12．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，△ACD是等边三角形，连接BD，则线段BD的长为 19 ．
【解答】解：∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，∠DAC＝60°，
∴把△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，
如图，连接BE，作EH⊥BC与H，
∵△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，
∴CE＝BD，AB＝AE，∠EAB＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBH＝60°，
在Rt△BEH中，BH=12BE＝1，EH=3BH=3，
在Rt△ECH中，∵EH=3，CH＝BC+BH＝3+1＝4，
∴CE=(3)2+42=19，
∴BD=19．
故答案为19．
【例题精讲】13．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A1BC1．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的取值范围为 522−2≤EP1≤7 ．
【解答】解：①如图1，过点B作BD⊥AC于点D，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝5×22=522，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE=522−2；
②如图2，
当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC1+BE＝5+2＝7，
综上，线段EP1长度的取值范围为522−2≤EP1≤7，
故答案为：522−2≤EP1≤7．
【当堂练习】13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 3 ．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC=12A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
【课后巩固】13．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=42．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 229 ．
【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，
在△ABG和△ADP中
AB=AD∠B=∠DBG=PD，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，BG＝DP，
∴GC＝PE，
∵∠GAP＝∠BAD＝60°，
∴△AGP是等边三角形，
∴AP＝GP，
∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE
∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中
OM=ME∠GMO=∠DMEMG=MD
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG=42．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND=NF2+DF2=102+42=229，
∴MO+NO+GO最小值为229，
故答案为229，
【例题精讲】14．请按以下要求用无刻度直尺作图：
（1）如图1，线段AB和线段A′B′关于点M成中心对称，画出点M；
（2）如图2，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（3）如图3，设∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A′B′C，画出△A′B′C．
【解答】解：（1）如图1所示，点M即为所求．
（2）如图2所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如图3所示，△A′B′C即为所求．
【当堂练习】14．如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（4，2）．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A，C的对应点分别为A1，C1，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标；
（4）作点C1关于BC的对称点D．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2），
∴AB＝5，AC=5，BC＝25，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）△A1BC1如图所示．
（3）点G（0，3）．
（4）如图，点D即为所求作．
【课后巩固】14．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）都是格点．
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）要求在上图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，旋转角＝2∠ABC，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点坐标．
【解答】解：如图所示：
（1）△ABC的形状为：直角三角形；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，旋转角＝2∠ABC；
（3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，
G点坐标为（0，3）．
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