2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题05：三角函数（含答案解析）

这是一份2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题05：三角函数（含答案解析），共34页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分，解答题部分等内容，欢迎下载使用。
2021年高考真题和模拟题分类汇编
数 学
专题05 三角函数
一、选择题部分
1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T4)下列区间中，函数单调递增的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件．
2.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T6)若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】将式子进行齐次化处理得：

．
3.(2021•高考全国甲卷•理T9)若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数基本关系即可求解.

，
，，，解得，
，.
故选A.
4.(2021•高考全国乙卷•文T4) 函数的最小正周期和最大值分别是（）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【答案】C．
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选C．
5.(2021•高考全国乙卷•文T6)（）．
A. B. C. D.
【答案】D．
【解析】由题意，
.故选D.
6.(2021•浙江卷•T8) 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C．
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选C.
7.(2021•江西上饶三模•理T11．)已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0）在区间（0，π）上恰有2个最大值点，则ω的取值范围是（　　）
A．（，] B．[，） C．[，] D．（，]
【答案】A．
【解析】f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）＝sin2ωx+sinωxcosωx＝+＝sin（2ωx﹣）+，
∵x∈（0，π），∴2ωx﹣∈（﹣，2），
∵函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个最大值点，
∴＜2ωπ﹣≤，∴＜ω≤，
∴ω的取值范围是（，]．
8.(2021•安徽马鞍山三模•理T8．)函数的部分图象如图，点A的坐标为，则φ的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】由题意得x＝0时y＝cosφ＝，得cosφ＝，
因为|φ|＜，所以φ＝±，
由“五点法”画图知，应取φ＝﹣．
9.(2021•安徽马鞍山三模•文T9．)已知函数（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为，则下列关于函数f（x）的叙述，正确的是（　　）
A．关于点对称 B．关于对称
C．在上单调递减 D．在（﹣，）上单调递增
【答案】D．
【解析】函数（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为，所以，故ω＝3，所以f（x）＝Asin（3x+），
对于A：当x＝时，f（）＝Asin（）≠0，故A错误；
对于B：当x＝时，f（）＝Asin（）＝≠±A，故B错误；
对于C：当x时，，在该区间内先增后减，故C错误；对于D：当x时，，故函数在该区间上单调递增，故D正确．
10.(2021•江苏盐城三模•T4)将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C．
【考点】三角函数的图象与性质应用
【解析】由题意可知，g(x)＝sin(x＋)，令sinx＝sin(x＋)，解得x＋x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝kπ－，k∈Z，则当x∈(0，m)时，若要函数g(x)的图象在f(x)的上方，则m≤x＝kπ－，当k＝0时，m≤，故答案选C．
11.(2021•河南郑州三模•理T8)已知数列{an}的通项公式是an＝f（），其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C． D．
【答案】D．
【解析】由f（x）的图像可得＝﹣＝，即有T＝π，
可得ω＝＝2，又f（）＝sin（2×+φ）＝1，
可得+φ＝2kπ+，k∈Z，即有φ＝2kπ+，k∈Z，
由于|φ|＜，可得k＝0，φ＝，则f（x）＝sin（2x+），an＝f（）＝sin ，
因为a1+a2+a3+a4+a5+a6＝+0+（﹣）+（﹣）+0+＝0，
所以S2021＝336（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4+a5＝0﹣＝﹣．
12.(2021•河南开封三模•理T7文T8)已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则＝（　　）

A． B．1 C．2 D．
【答案】C．
【解析】由f（0）＝0得：4cosφ＝0，又0＜φ＜π，
∴φ＝，由图象可知，y＝4cos（ωx+）的周期为2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，∴＝＝2．
13.(2021•河南开封三模•文理T5)已知，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B．
【解析】因为＝，所以cosα＝，
则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×＝﹣．
14.(2021•安徽宿州三模•理T11．)已知函数f（x）＝sinx，函数g（x）的图象可以由函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的（ω＞0）得到．若函数2g（x）＝1在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[，3） B．（，3] C．[，） D．（，]
【答案】B．
【解析】把函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，可得y＝sin（x﹣）的图象；再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的（ω＞0），得到y＝sin（ωx﹣）＝g（x）的图象．∵函数2g（x）＝1在（0，π）上恰有3个零点，
即当x∈（0，π）时，sin（ωx﹣）＝恰有3个解．结合ωx﹣∈（﹣，ωπ﹣），可得 2π+＜ωπ﹣≤2π+，求得＜ω≤3．
15.(2021•安徽宿州三模•文T10．)已知函数f（x）＝sinωxcosωx+cos2ωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为，将其图像向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得函数g（x）的图像，若函数g（x）为奇函数，则φ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】f（x）＝sinωxcosωx+cos2ωx﹣sin2ωx，
＝sin2ωx+cos2ωx＝sin（2ωx+），∴T＝＝，∴ω＝2，
∴f（x）＝sin（2ωx+）的图像向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，函数y＝g（x）的解析式为g（x）＝sin（4x+4φ+），∵函数g（x）为奇函数，
∴4φ+＝kπ，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∵φ＞0，∴φmin＝．
16.(2021•河南焦作三模•理T10)若函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调，且在（0，）上存在极值点，则ω的取值范围是（　　）
A．（，2] B．（，2] C．（，] D．（0，]
【答案】B．
【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调，∴•≥π﹣，∴0＜ω≤2．且在（0，）上存在极值点，
当x∈（0，）时，ωx+∈（，），∴＞，∴ω＞．
则ω的取值范围为（，2]．
17.(2021•河北张家口三模•T12)已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）的最小正周期为2
C．函数f（x）在区间（1，2）存在最小值
D．方程f（x）＝1在区间（﹣2，6）内所有根的和为10
【答案】AD．
【解析】，
A.，所以f（x）是偶函数；B．因为f（0）＝﹣1，f（0）≠f（2），选项B错误；
C．当x∈（1，，所以．
因为，所以f（x）在区间，在区间，所以f（x）在区间（6，不存在最小值；D．因为f（x）＝f（x+4），当x∈（﹣2，6）时，．因为，同理，可得f（x）在（0．因为f（0）＝﹣2，f（﹣2）＝f（2）＝1，5）内有5个根．
又
所以f（x）的图象关于直线x＝8对称，所以方程f（x）＝1在区间（﹣2，6）内所有根的和为10．
18.(2021•河北张家口三模•T5)为了得到函数的图象，可以将函数（　　）
A．向右平移单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A．
【解析】∵，
∴将函数的图象向右平移，可得f（x）的图象．
19.(2021•山东聊城三模•T10.)将函数y=sin2x+3cos2x+1的图象向右平移π12个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下面对函数g(x)的叙述中正确的是（）．
A.函效g(x)的最小正周期为π2B.函数g(x)图象关于点(-π12,0)对称
C.函数g(x)在区间[π4,π2]内单调递增D.函数g(x)图象关于直线x=π12对称
【答案】 A,D．
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【解析】由题意可得：函数y=sin2x+3cos2x+1=2sin(2x+π3)+1，将其向右平移π12个单位可得y=2sin(2x-π6+π3)+1=2sin(2x+π6)+1，再将所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，可得g(x)=2sin(4x+π6)+1，
故可得函数g(x)的周期T=2π4=π2 ,A符合题意；令x=-π12，可得g(-π12)=0，故(-π12,0)不是函数g(x)的一个对称中心，B不符合题意；当x∈[π4,π2]，可得4x+π6∈[7π6,13π6]，由正弦函数性质，可得函数g(x)=2sin(4x+π6)+1在x∈[π4,π2]不单调，C不正确；由g(π12)=2sinπ2+1=3，可得x=π12是函数的对称轴，D符合题意；
故答案为：AD．
【分析】根据正弦型函数图像变换可得g(x)=2sin(4x+π6)+1由周期公式可得A正确。B有正弦函数对称性可得B错误。C由正弦函数周期性得C错误。D由正弦函数对称性得D正确。
20.(2021•四川内江三模•理T9．)函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，函数图象与y轴的交点为（0，﹣），则f（2021π）＝（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】A．
【解析】根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象，可得2sinφ＝﹣，
结合五点法作图，可得ω×﹣＝，故f（x）＝2sin（3x﹣），
f（2021π）＝2sin（4042π﹣）＝﹣．
21.(2021•重庆名校联盟三模•T10．)定义在实数集R的函数f（x）＝Acos（ωx+φ）A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣，3），与之相邻的一个对称中心为（，0），将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．f（x）的振幅为3 B．f（x）的频率为π
C．g（x）的单调递增区间为[]
D．g（x）在[0，]上只有一个零点
【答案】AD．
【解析】函数f（x）＝Acos（ωx+φ）A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣，3），与之相邻的一个对称中心为（，0），所以，所以ω＝2，当x＝时，φ）＝0，解得φ＝﹣．故f（x）＝3sin（2x﹣）．
f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝3sin（2x﹣）的图象，
故函数的振幅为3，函数的周期为π，频率为，故A周期，B错误；
当时，，故函数在该区间上单调递减，故C错误，对于D：当x∈[0，]时，，只存在x＝，g（）＝0，故D正确．
22.(2021•安徽蚌埠三模•文T12．)已知圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则p＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D．
【解析】设A（，y0），则B（，﹣y0），由圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），得圆心C（﹣，0），半径r＝，所以CD＝+，因为∠ABC＝∠BAC，
所以sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝＝，所以cos∠BAC＝＝＝，
即，解得y0＝3，p＝2．

23.(2021•安徽蚌埠三模•文T11．)在曲线y＝2sinx与y＝2cosx的所有公共点中，任意两点间的最小距离为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．1
【答案】A．
【解析】令2sinx＝2cosx，整理得，故（k∈Z），
所以当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝，所以：当x＝时，y＝，即A（），
当x＝时，y＝，即B（），所以|AB|＝．
24.(2021•上海嘉定三模•T15．)曲线y＝（sinx+cosx）2和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，⋯，则|P2P4|等于（　　）．
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】A．
【解析】由已知得，y＝（sinx+cosx）2＝1+sin2x，令，即，
则，或，k∈Z，即，或，k∈Z，
∴，故|P2P4|＝π．
25.(2021•辽宁朝阳三模•T10．)已知函数f（x）＝tanx﹣sinxcosx，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于（，0）对称 D．f（x）的图象关于（π，0）对称
【答案】ACD．
【解析】函数f（x）＝tanx﹣sinxcosx，对于A：由于函数y＝tanx的最小正周期为π，函数y＝sinxcosx＝的最小正周期为π，故函数f（x）的最小正周期为π，故A正确；对于B：由于f（﹣x）＝tan（﹣x）﹣sin（﹣x）cos（﹣x）＝﹣（tanx﹣sinxcosx）＝﹣f（x），故函数的图象不关于y轴对称，故B错误；对于C：由于函数y＝tanx的图象关于对称，函数y＝sinxcosx的图象也关于（）对称，故函数f（x）的图象关于（，0）对称，故C正确；对于D：函数满足f（π）＝0，故D正确．
26.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T6．)将函数f（x）＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则（　　）
A．y＝g（x）的图象关于点（，0）对称
B．y＝g（x）的图象关于直线x＝﹣对称
C．g（x）的最小正周期为π
D．g（x）在[]单调递减
【答案】A．
【解析】将函数f（x）＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度，得：y＝cos[2（x+）+]＝﹣sin（2x+），再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得：g（x）＝﹣sin（x+），对于A：g（）＝﹣sinπ＝0，故A正确，
对于B：g（﹣）＝﹣sin0＝0≠±1，故B错误，对于C：g（x）的最小正周期是T＝2π，故C错误，对于D：当x∈[，]时，令t＝x+∈[，]，y＝﹣sint在[，]上不单调，故D错误．
27.(2021•四川泸州三模•理T9．)已知f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）满足f（+x）+f（﹣x）＝0，则ω的取值不可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B．
【解析】因为f（+x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）关于（，0）对称，
所以ω＝kπ，k∈Z，所以ω＝4k，k∈Z，当k＝1时，ω＝4，选项A满足题意；
当k＝2时，ω＝8，选项C满足题意；当k＝3时，ω＝12，选项D满足题意；
故ω的取值不可能是6．
28.(2021•四川泸州三模•理T10．)函数y＝sinx﹣的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B．
【解析】函数y＝sinx﹣是奇函数，排除D，函数y′＝cosx+，x∈（0，）时，y′＞0，函数是增函数，排除A，并且x＝时，y＝1﹣＞0，排除C．
29.(2021•江苏常数三模•T9．)如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，则（　　）

A．函数y＝f（x）的最小正周期为π
B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
C．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
D．函数为奇函数
【答案】ACD．
【解析】由图象可知，，即T＝π，故A选项正确，由公式可知，图象过最高点，故A＝2，∵，
∴，即φ＝，∴f(x)＝2sin()，
∵∴不是f(x)的对称轴，故B选项错误，
∴是函数f(x）图象的一个对称中心，故C选项正确，
＝2sin2x，
令g(x)＝2sin2x，∵g(﹣x)＝2sin(﹣2x)＝﹣2sin2x＝﹣g(x)，又g（0）＝0，
∴g(x)为奇函数，故D选项正确．
30.(2021•湖南三模•T12．)已知函数f（x）＝2asinωxcosωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0，a＞0），若f（x）的最小正周期为π，且对任意的x∈R，f（x）≥f（x0）恒成立，下列说法正确的有（　　）
A．ω＝2 B．若x0＝﹣，则a＝
C．若f（x0﹣）＝2，则a＝
D．若g（x）＝f（x）﹣2|f（x）|在（x0﹣，x0﹣θ）上单调递减，则
【答案】BCD．
【解析】f（x）＝2asinωxcosωx﹣2cos2ωx+1＝asin2ωx﹣cos2ωx＝（2ωx﹣φ），
因为f（x）的最小正周期为π，故ω＝1，A错误；因为对任意的x∈R，f（x）≥f（x0）恒成立，所以f（x0）为函数f（x）的最小值，若x0＝﹣，则﹣﹣φ＝，k∈Z，所以φ＝，k∈Z，所以cosφ＝＝，解得a＝，B正确；
因为f（x0）为函数f（x）的最小值，所以f（x0）为函数f（x）的最大值，即＝2，所以a＝，C正确；x∈（x0﹣，x0﹣）时，f（x）＞0，g（x）＝﹣f（x），
因为f（x）在（x0﹣，x0﹣）上单调递增，所以g（x）在（x0﹣，x0﹣）上单调递减，当x∈（x0﹣，x0﹣）时，f（x）＞0，g（x）＝﹣f（x），
x∈（x0﹣，x0﹣）时，f（x）＞0，g（x）＝﹣f（x），
因为f（x）在（x0﹣，x0﹣）上单调递减，所以g（x）在（x0﹣，x0﹣）上单调递增，所以x0﹣＜x0﹣θ，所以，D正确．
31.(2021•福建宁德三模•T11) 已知函数f(x)=sinωx(sinωx+3cosωx)(ω>0)的最小正周期为π，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)≤f(π3)对一切x∈R恒成立B. f(x)在区间(-5π12,-π12)上不单调
C. f(x)在区间(π2,3π2)上恰有1个零点
D. 将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像关于原点对称
【答案】AB．
【解析】∵函数f(x)=sinωx(sinωx+3cosωx)=1-cos2ωx2+32sin2ωx=sin(2ωx-π6)+12
 的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=sin(2x-π6)+12.
令x=π3，求得f(x)=32为最大值，故有f(x)≤f(π3)对一切x∈R恒成立，故A正确；
在区间(-5π12,-π12)上，2x-π6∈(-π,-π3)，函数f(x)没有单调性，故B正确；
在区间(π2,3π2)上，2x-π6∈(5π6,17π6)，函数f(x)有2个零点，故C错误；
将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得y=sin(2x+π6)+12 的图像关于不原点对称，故D错误，
故选：AB.
由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，整弦函数的图象和性质，属于中档题．
32.(2021•宁夏中卫三模•理T4．)已知角θ终边经过点P（，a），若θ＝﹣，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】∵角θ终边经过点P（，a），若θ＝﹣，
∴tan（﹣）＝﹣＝，∴解得a＝﹣．
33.(2021•宁夏中卫三模•理T8．)若函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是减函数
D．函数f（x）的图象关于直线对称
【答案】B．
【解析】∵函数f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），故它的最小正周期为＝π，故A不正确；令x＝﹣，求得f（x）＝0，故函数f（x）的图象关于点对称，故B正确；当x∈（，），2x+∈（，），故f（x）没有单调性，故C错误；令x＝，求得f（x）＝﹣1，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线对称，故D错误．
34.(2021•江西南昌三模•理T11．)已知函数与直线y＝a（0＜a＜2）在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1，x2，⋯，xn，⋯，则f（x1﹣2x2﹣3x3）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【答案】D．
【解析】＝＝，
令f（x）＝a，即＝a，解得或，且，则有，
所以x1﹣2x2﹣3x3＝，则f（x1﹣2x2﹣3x3）＝．
35.(2021•江西九江二模•理T5．)将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）是（　　）
A．周期为4π的奇函数 B．周期为4π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
【答案】C．
【解析】将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，可得y＝cos2x的图象，再向左平移个单位，得到函数g（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，
故g（x）是周期为π的奇函数．
36.(2021•河北邯郸二模•理T11．)将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．g（x）的最小正周期为
B．g（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）的图象的一个对称中心为（）
D．g（x）在（，0）上单调递增
【答案】BD．
【解析】函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x﹣）的图象，故函数g（x）的最小正周期为，故A错误；
对于B：当x＝时，g（）＝1，故B正确；对于C：当x＝﹣时，g（﹣）＝，故C错误；对于D：当x时，⊂（﹣π，0），故函数在该区间上单调递增，故D正确．
37.(2021•北京门头沟二模•理T3)角α终边上一点P(1,2)，把角α按逆时针方向旋转180∘得到角为θ，sinθ=( )
A. -55 B. 255 C. 55 D. -255
【答案】D．
【解析】由题意得，sinα=255，cosα=55，θ=α+180∘，
所以sinθ=sin(α+180∘)=-sinα=-255.故选：D.
由已知结合三角函数的定义及诱导公式即可直接求解．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式，属于基础题．
38.(2021•江西上饶二模•理T9．)函数f（x）＝2sinx﹣x（x＞0）的所有极大值点从小到大排成数列{an}，设Sn是数列{an}的前n项和，则cosS2021＝（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】B．
【解析】f′（x）＝2cosx﹣1，（x＞0），f′（x）是周期为2π的周期函数，
令f′（x）＝0，则cosx＝，在区间（0，2π]上，x＝，，
作出f′（x）的图像：

可得f（x）在（0，2π]上的极大值点为x＝，
所以{an}是首项为a1＝，公差为d＝2π，
所以S2021＝2021×+，
所以cosS2021＝cos（2021×+）
＝cos（﹣）＝cos（﹣674π+）＝cos＝．
39.(2021•江西上饶二模•理T5．)函数f（x）＝sin（2x+）的图象（　　）
A．关于点（﹣，0）对称 B．可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到C．关于直线x＝对称 D．可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到
【答案】D．
【解析】函数f（x）＝sin（2x+），对于A：当x＝﹣时，f（﹣）＝sin（）＝﹣1，故A错误；对于B：函数y＝sin2x的图象向左平移个单位：得到g（x）＝sin（2x+）的图象，故B错误；对于C：当x＝时，f（）＝sin（）＝0，故C错误；对于D：函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到f（x）＝sin（2x+）的图象，故D正确．
40.(2021•江西上饶二模•理T4．)大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β．设OB＝3AB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（　　）

A．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，则θ+δ为定值
B．点A在某个定球面上运动
C．可能在某个时刻，AB⊥α
D．直线OA与平面α所成角的余弦值的最大值为
【答案】D．
【解析】对于A，作出简图如下，OB⊥l，所以θ+δ＝，故A正确；
对于B，因为点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β，
所以OA＝，又因为OB，AB为定值，所以OA也是定值，
所以点A在某个定球面上运动，故B正确；
对于C，当A点距α等于AB时AB⊥α，故C正确；
对于D，点A在平面β内绕点B作圆周运动，当AB⊥α时，直线OA与平面α所成角最大，此时直线OA与平面α所成角的余弦值为：＝＝，
当AB在α内时，直线OA与平面α所成角为零，此时直线OA与平面α所成角的余弦值为：1，故直线OA与平面α所成角的余弦值为：[，1），故D错误．

41.(2021•河北秦皇岛二模•理T9．)已知函数f（x）＝cosωx﹣sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（　　）

A．ω＝2
B．函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）
C．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称
D．函数f（x）的图象可由y＝2cosωx图象向右平移个单位长度得到
【答案】AC．
【解析】f（x）＝cosωx﹣sinωx＝2cos（ωx+），由图像得：＝﹣（﹣）＝，故T＝π＝，故ω＝2，故A错误；令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，故函数f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z），故B错误；
∵f（）＝0，故C错误；∵f（x）的图像可由y＝2cosωx图像向左平移个单位长度得到，故D错误．
42.(2021•江西鹰潭二模•理T10．)函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数g（x）＝（2+）cos2x，若关于x的方程f（x）+g（x）＝﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】A．
【解析】函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后对应的函数为y＝2sin（2x+φ+）是奇函数，∴φ＝﹣，f（x）＝2sin（2x﹣）．
函数g（x）＝（2+）cos2x，若关于x的方程f（x）+g（x）＝﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，故当x∈[0，π）时，2sin（2x﹣）+（2+）cos2x＝﹣2有2个不同的解α和β，即sin2x+cos2x＝﹣1 在[0，π）内有两个不同的解α，β，
即sin（2x+θ）＝﹣1（其中，cosθ＝，sinθ＝，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，即方程sin（2x+θ）＝﹣在[0，π）内有两个不同的解α，β．
∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）＝﹣，sin（2β+θ）＝﹣，
∴sinθ＝﹣sin（2α+θ）＝﹣sin（2β+θ），∴2α+θ＝π+θ，2β+θ＝2π﹣θ，
∴2α﹣2β＝﹣π+2θ，α﹣β＝θ﹣，∴cos（α﹣β）＝cos（θ﹣）＝sinθ＝．
43.(2021•天津南开二模•T8．)已知函数，则下列四个结论中：
①f（x）的周期为π；
②是f（x）图象的一条对称轴；
③是f（x）的一个单调递增区间；
④f（x）在区间上的最大值为2．
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】B．
【解析】，
①函数f（x）的周期为，①正确；
②令，解得，令，②错误；
③令，解得，
令k＝0，则，则是f（x）的一个单调递增区间；
④当时，，，此时最大值为．
44.(2021•广东潮州二模•T9．)已知直线x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，则（　　）
A．f（x+）是奇函数 B．x＝是f（x）的一个零点
C．f（x）在[，]上单调递减
D．y＝f（x）与g（x）＝sin（2x﹣）的图象关于直线x＝对称
【答案】BCD．
【解析】∵直线x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，
∴2×+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝，函数f（x）＝sin（2x+）．
∴f（x+）＝sin（2x+）＝cos2x是偶函数，故A错误；
令x＝，求得f（x）＝0，可得x＝是f（x）的一个零点，故B正确；
当x∈[，]，2x+∈[，]，函数f（x）单调递减，故C正确；
显然，f（x）＝sin（2x+）与g（x）＝sin（2x﹣）的图象关于直线x＝对称，故D正确．
45.(2021•广东潮州二模•T3．)已知sinα＝，则cos（﹣2α）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】因为sinα＝，所以．
46.(2021•辽宁朝阳二模•T9．)已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）的周期为
C．（π，0）是f（x）的一个对称中心 D．f（x）在区间上单调递增
【答案】AB．
【解析】函数f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示：

所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；
f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；
x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．
47.(2021•山东潍坊二模•T1．) sin20°sin10°﹣cos20°cos10°＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】A．
【解析】sin20°sin10°﹣cos20°cos10°＝﹣（cos20°cos10°﹣sin20°sin10°）＝﹣cos（20°+10°）＝﹣cos30°＝．
48.(2021•山东潍坊二模•T7．)已知函数f（x）＝sin（2x+），若函数g（x）＝f（x）﹣a（a∈R）在x∈[0，]上恰有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x3﹣x1的值是（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】C．
【解析】∵当x∈[0，]，2x+∈[，]，函数g（x）＝f（x）﹣a（a∈R）在x∈[0，]上恰有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），∴由图象的对称性可得（2x1++2x2+）＝，（2x2++2x3+）＝，则两式相减可得x3﹣x1的值是π．
49.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T3．)函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B．
【解析】∵函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到y＝sin（ωx++φ）图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，∴＝kπ，k∈Z，
令k＝1，可得ω的最小值为．
50.(2021•安徽淮北二模•文T9．)已知函数f（x）＝2cosx﹣sinx，当x＝θ时，f（x）取到最大值，则sinθ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】f（x）＝2cosx﹣sinx＝＝，
其中cos，sin，当θ+α＝2kπ时，sinθ＝sin（2kπ﹣α）＝﹣sin．
51.(2021•吉林长春一模•文T3.)函数的图象的一条对称轴是
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】令则,故选C.
52.(2021•宁夏银川二模•文T10．)将函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．函数g（x）的最小正周期为2π
B．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数g（x）的图象关于点（，0）对称
D．函数g（x）在区间[﹣，0]上单调递增
【答案】D．
【解析】函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，得y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），所以函数g（x）＝sin（2x+），对于A，函数g（x）的最小正周期为T＝＝π，所以A错误；对于B，因为2×+＝，所以g（x）的图象不关于直线x＝对称，B错误；对于C，因为2×+＝，所以g（x）的图象不关于（，0）对称，C错误；对于D，x∈[﹣，0]时，2x+∈[﹣，]，所以函数g（x）在区间[﹣，0]上单调递增，D正确．
53.(2021•河南郑州二模•文T10．)已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）＝2cos（）
B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z
C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，]
D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数
【答案】D．
【解析】根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A＝2，•＝+，∴ω＝．结合五点法作图，可得•+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（﹣），故A错误；不等式f（x）＞1，即 cos（﹣）＞，∴2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得 4kπ﹣≤x≤4kπ+π，故不等式的解集为（4kπ﹣，4kπ+π），k∈Z，故B错误；当x∈[，]时，﹣∈[﹣，]，f（x）没有单调性，故C错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x）＝2cos（﹣﹣）＝2sin，则g（x）是奇函数，故D正确．
54.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T4．)已知，则tan2θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】∵＝，∴tanθ＝，则tan2θ＝＝．
55.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T10．)我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（　　）

A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.5
【答案】C．
【解析】由题意可知，s＝2cost，由函数的图象可知函数的周期为0.4，故，所以，所以．
56.(2021•山西调研二模•文T9)三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos(α+3π4)=( )
A. 210 B. -210 C. 7210 D. -7210
【答案】D．
【解析】设大正方形的边长为a，则正方形的面积S1=a2，直角三角形的面积为：S2=12×asinα×acosα，由题意可得：4S2S1=2a2sinαcosαa2=2sinαcosα=2425，
且：(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925，∴sinα+cosα=75，
从而：cos(α+34π)=cosαcos34π-sinαsin34π=-22(sinα+cosα)=-7210.故选：D.
首先设出大正方形的边长，然后结合面积的比值和同角三角函数基本关系、两角和的余弦公式即可求得三角函数式的值．
本题主要考查同角三角函数基本关系，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等题．
57.(2021•山西调研二模•文T10)将函数y=sin(2x+π3)的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度得到y=cos2x的图象，则φ的值可能为( )
A. 11π12 B. 5π12 C. 5π6 D. 11π6
【答案】A．
【解析】将函数y=sin(2x+π3)的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y=sin[2(x-φ)+π3]=sin(2x-2φ+π3)=cos[π2-(2x-2φ+π3)]=cos(2φ+π6-2x)=cos(2x-2φ-π6)，若得到y=cos2x的图象，则-2φ-π6=2kπ，即φ=-kπ-π12，k∈Z，
∵φ>0，∴当k=-1时，φ=11π12，故选：A.
根据三角函数平移关系，结合三角函数的诱导公式建立方程进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，利用平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题．
二、填空题部分
58.(2021•高考全国甲卷•理T16) 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2．
【解析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.
59.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T13．)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，），则 tanα＝　　，sin（）＝　　．
【答案】﹣2；．
【解析】由题意可得tanα＝＝﹣2，OP＝1，cosα＝﹣，sinα＝，
则sin（）＝（sinα+cosα）＝×＝．
60.(2021•江苏盐城三模•T14)满足等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组．
【答案】(0，)；满足α＋β＝＋kπ，k∈Z，且α，β≠＋kπ，k∈Z的数组(α，β)均可．
【考点】开放性试题：三角函数的公式应用
【解析】由题意可知，可令α＝0，即有1－tanβ＝2，所以tanβ＝－1，则可令β＝即可满足题意．
61.(2021•山东聊城三模•T14.)曲线y=ex+x2-23x在x=0处的切线的倾斜角为α，则sin(2α+π2)= ________．
【答案】45．
【考点】导数的几何意义，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值
【解析】由题得y'=f'(x)=ex+2x-23，所以f'(0)=e0-23=13，
所以tanα=13,∴α∈(0,π2),∴cosα=310，所以sin(2α+π2)=cos2α=2cos2α-1=2×910-1=45 .故答案为：45
【分析】根据导数即可求得切线倾斜角正切值，再由三角函数公式即可求得。
62.(2021•重庆名校联盟三模•T13．)已知，则cos2α的值是　　．
【答案】．
【解析】由，得，即，解得tanα＝﹣3．∴cos2α＝＝．
63.(2021•上海浦东新区三模•T3．)已知cosx＝，则＝　　．
【答案】﹣．
【解析】cosx＝，＝sin2x﹣cos2x﹣1＝﹣2cos2x＝﹣2×＝﹣．
64.(2021•上海浦东新区三模•T10．)设函数f（x）＝cosx﹣m（x∈[0，3π]）的零点为x1、x2、x3，若x1、x2、x3成等比数列，则实数m的值为　　．
【答案】﹣．
【解析】由题意得x2＝2π﹣x1，x3＝2π+x1，由＝x1x3得（2π﹣x1）2＝x1（2π+x1），
解得x1＝，m＝cos＝．
65.(2021•北京门头沟二模•理T14)函数f(x)=sin2x的图象向右平移______ 个长度单位得到函数g(x)=sin(2x-π3)的图象，若函数g(x)在区间(0,a)上单调递增，则a的最大值为______.
【答案】π6，5π12．
【解析】由g(x)=sin(2x-π3)=sin2(x-π6)，即函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位即可得到g(x)的图象，当0