2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题07：解三角形（含答案解析）

这是一份2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题07：解三角形（含答案解析），共34页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分，解答题部分等内容，欢迎下载使用。
2021年高考真题和模拟题分类汇编
数 学
专题07 解三角形
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理T10)如图，A，B，C是半径为1的圆周上的点，且，，则图中阴影区域的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，
因为，所以∠BOC＝，则∠OBC＝∠OCB＝，
所以BC＝2BOcos＝，
在△ABC中，由余弦定理可得＝（AC+AB）2﹣3AC•AB，
因为，
所以，解得AC•AB＝1，
所以＝，
＝，
扇形OBC的面积为，
所以图中阴影区域的面积为S△ABC+S扇形OBC﹣S△OBC＝+﹣＝．

2.(2021•四川内江三模•理T5．)在△ABC中，AC＝3，，AB＝2（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】∵AC＝3，，AB＝8，
∴由余弦定理可得：cosA＝＝＝，可得sinA＝＝，∴设AB边上的高为h，则AB•h＝，
∴×2×h＝．
3.(2021•宁夏中卫三模•理T 11．)设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a＝2，B＝2A，则b的取值范围为（　　）
A． B． C． D．（0，4）
【答案】A．
【解析】在锐角三角形中，0＜2A＜，即0＜A＜，且B+A＝3A，则＜3A＜π，即＜A＜，综上＜A＜，则＜cosA＜，∵a＝2，B＝2A，
∴由正弦定理得，得b＝4cosA，∵＜cosA＜，∴2＜4cosA＜2，即2＜b＜2，则b的取值范围是（2，2）．
4.(2021•河南郑州二模•文T6．)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①，
又S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，②
∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得b2＝4b2﹣12﹣6，化简整理得b2＝4+2，解得b＝1+．
二、填空题部分
5.(2021•上海嘉定三模•T7．)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，且ABC的面积为，则∠BAC＝　　．
【答案】30°或150°．
【解析】∵△ABC中，AB＝2，AC＝3，且△ABC的面积为，
∴AB•AC•sin∠BAC＝，即×2×3sin∠BAC＝，
整理得：sin∠BAC＝，则∠BAC＝30°或150°．
6.(2021•高考全国乙卷•文T15) 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】．
【解析】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为.
7.(2021•浙江卷•T11) 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.

【答案】25．
【解析】由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.故答案为25.
8.(2021•浙江卷•T14) 在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【答案】(1). ； (2). ．
【解析】由题意作出图形，如图，

在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
9.(2021•河南开封三模•文T15．)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积为　　．
【答案】．
【解析】由正弦定理及外接圆公式可得，，其中R为△ABC的外接圆半径，
则a＝2R•sinA＝2×＝，由余弦定理可得，b2+c2﹣2bccosA＝a2，
则，∵，∴bc＝1，
则△ABC的面积为．
10.(2021•浙江杭州二模•理T13．)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，．若a＝1，，则C＝　　，△ABC的面积＝　　．
【答案】C＝，．
【解析】因为＝，整理得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得cosC＝＝，因为C为三角形内角，所以C＝；
由a2+b2﹣c2＝ab且a＝1，c＝得b2﹣b﹣6＝0，解得b＝3或b＝﹣2（舍），
所以，△ABC的面积S＝＝＝．
11.(2021•河南郑州二模•文T16．)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是　　．
【答案】（，）．
【解析】因为a＝1，A＝，由正弦定理得：＝，
所以λb+c＝（λsinB+sinC）＝λsinB+sin（﹣B）＝λsinB+（cosB﹣sinB）＝（λ﹣1）sinB+cosB＝sin（B+θ），其中tanθ＝，
由B∈（0，），λb+c存在最大值，即B+θ＝有解，即θ∈（，），可得λ﹣1＞0，解得λ＞，又＞1，解得λ＜，则实数λ的取值范围是（，）．
12.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T16．)在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为　　．
【答案】（1，2）．
【解析】如图，在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），
可得＝＝，令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），
因为f′（x）＝＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）∈（1，4），则∈（1，2）．

13.(2021•山西调研二模•文T16)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinC=a2+b2+1+2aba+b，则△ABC面积的最大值为______ .
【答案】18．
【解析】2sinC=a2+b2+1+2aba+b=(a+b)2+1a+b=a+b+1a+b≥2，
所以sinC≥1，当且仅当a+b=1a+b，即a+b=1时取等号，
所以sinC=1，即C=π2，a+b=1，
所以1=(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab，当且仅当a=b时取等号，
所以ab≤14，则△ABC面积S=12ab≤18，即面积的最大值18.故答案为：18.
由已知结合基本不等式可求sinC的范围，结合正弦函数的有界性可求sinC，进而可求C，然后结合基本不等式可求ab的范围，再由三角形面积公式可求．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了三角形面积公式，属于中档题．
三、解答题部分
14.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T19)记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【解析】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
15.(2021•江苏盐城三模•T17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
【考点】解三角形与平面向量综合应用
【解析】(1)因为×＝0，所以(＋)×＝0，
即(＋)×＝0，……2分
所以bc×cosA＋b2＝0，
因为b＝c，所以cosA＝－，……4分
因为0＜A＜π，所以A＝．……5分
(2)因为×＝(＋)×＝bc×cosA＋b2＝0，
所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0，……6分
cosB＝＝＝≥，……8分
因为0＜B＜π，所以B的最大值为．……10分
16.(2021•河南郑州三模•理T17)如图，在△ABC中，AB＝9，cosB＝，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角．
（Ⅰ）求BD；
（Ⅱ）若∠BAD＝∠DAC，求sinC的值及CD的长．

【解析】（1）△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，
所以49＝81+BD2﹣2×，
解得BD＝8或BD＝4，
当BD＝4时，cos∠ADB＝＝﹣，此时∠ADB，不符合题意，舍去，
当BD＝8时，cos∠ADB＝＝，此时∠ADB，符合题意，
（2）△BAD中，cos∠BAD＝＝，
所以sin∠BAD＝，
又sin∠ADB＝，
所以sinC＝sin（∠ADB﹣∠CAD）＝sin（∠ADB﹣∠BAD）＝＝，
△ACD中，由正弦定理得，
所以CD＝＝＝．
17.(2021•河南焦作三模•理T17)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+asinA＝bsinB+csinC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a．
【解析】（I）因为bsinC+asinA＝bsinB+csinC，由正弦定理得bc＝b2+c2﹣a2，由余弦定理得cosA＝＝，由A为三角形内角得A＝．
（II）因为D为BC的中点，所以＝（），
则＝（++2），
因为c＝2，AD＝，所以13＝（4+b2），
整理得b2+2b﹣48＝0，解得b＝6，b＝﹣8（舍），
由余弦定理得a2＝36+4﹣2×6×2×＝28，故a＝2．
18.(2021•河北张家口三模•T18)在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，BD＝2，且sin∠DBC＝sin∠DCB．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）因为在四边形ABCD中，AB∥CD．
在△DBC中，由sin∠DBC＝sin∠DCB及正弦定理可得BD＝CD＝2．
设AD＝x．
在△ABD和△ACD中，由及余弦定理，得，
所以5（x2+1﹣6）＝﹣（x2+4﹣5）．
解得，即．
（2）在△ACD中，，
得AD8+CD2＝AC2，所以AD⊥CD，
所以．所以△ABC的面积为．
19.(2021•山东聊城三模•T17.)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且10sin2A+C2=7-cos2B，
（1）求角B的大小；
（2）已知点D满足BD=14BC，且AB>BD，若S△ABD=334，AD=7，求AC．
【解析】（1）解：∵A，B，C是三角形ABC的内角，则sinA+C2=cosB2，又10sin2A+C2=7-cos2B，∴10cos2B2=7-cos2B，即5+5cosB=7-(2cos2B-1)，整理得2cos2B+5cosB-3=0，∴cosB=12或cosB=-3（舍），又00，
所以BC=3，
所以S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB=12×2×3×22=32.
(2)在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
所以sinC=AB⋅sinBAC=2⋅225=15，
又AB