2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题14：概率与统计（含答案解析）

这是一份2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题14：概率与统计（含答案解析），共78页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分，解答题部分等内容，欢迎下载使用。
2021年高考真题和模拟题分类汇编
数 学
专题14 概率与统计
一、选择题部分
1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T8)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
【答案】B．
【解析】，

故选B．
2.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T9) 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
【答案】CD．
【解析】，故方差相同，C正确；由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，D正确；故选CD．
3.(2021•高考全国甲卷•理T2)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C．
【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
4.(2021•高考全国甲卷•理T10) 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.故选C.
5.(2021•高考全国乙卷•文T7) 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】设“区间随机取1个数”，
“取到的数小于”，所以．
故选：B．
6.(2021•江苏盐城三模•T9)已知X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有
A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)
B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)
C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1
D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1
【答案】AC．
【考点】正态分布的应用
【解析】法一：由题意可知，对于选项AB，若σ1＞σ2，则Y分布更加集中，则在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，由正态分布的性质可得，P(Y＞μ1)＝P(X≤μ2)，又P(X≤μ2)＋P(X＞μ2)＝1，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
法二：由题意可知，可把正态分布标准化，即＝Z＝，则Z ~ N(0，1)，对于选项AB，若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＝P(|Z|≤)，P(|Y－μ2|≤1)＝P(|Z|≤)，因为σ1＞σ2＞0，所以＜，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＝P(Z＞)，P(Y＞μ1)＝P(Z＞)，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝P(Z＞)＋P(Z≤)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
7.(2021•河南开封三模•文理T4)2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　）

A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C．
【解析】甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），
C选项错．
8.(2021•河南开封三模•文T10．)三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加，甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第四次仍由甲传球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】所有传球方法共有：
甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；
甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙．
则共有8种方法．第四次仍由甲传球有2情况，
∴第四次仍由甲传球的概率P＝＝．
9.(2021•安徽宿州三模•文T3．)教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，....，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．9号学生 B．300号学生 C．618号学生 D．816号学生
【答案】C．
【解析】记被抽取到的学生的编号为{an}，则{an}为等差数列，公差为d＝＝10，
所以an＝a1+10（n﹣1），由an＝58，解得a1＝8，所以an＝10n﹣2，
所以编号为618的学生可以被抽取到．
10.(2021•安徽宿州三模•文T4理T3．)我国古代著名数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周率π的近似值在3.1415926和3.1415927之间，这是我国古代数学的一大成就．我们知道用均匀投点的模拟方法，也可以获得问题的近似解．如图，一个圆内切于一个正方形，现利用模拟方法向正方形内均匀投点，若投点落在圆内的概率为，则估计圆周率的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】由几何概型得：P＝＝，∴π＝．
【答案】A．
11.(2021•江西上饶三模•理T3．)已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，则P（ξ≤0）＝（　　）
A．0.16 B．0.34 C．0.66 D．0.84
【答案】A．
【解析】∵P（ξ＞6）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ＞6）＝0.16．
12.(2021•山东聊城三模•T9.)对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据(x1,y1)(i=1,2,…,n)，则下列结论正确的是（）．
A.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(x,y)
C.若以模型y=aebx拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=6x+ln3，则a，b的估计值分别是3和6．
D.用R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则R2的值为1
【答案】 B,C,D．
【考点】线性回归方程，可线性化的回归分析
【解析】【解答】若两变量x，y具有线性相关关系，即满足y=bx+a，则一定满足y=bx+a，样本点不一定在拟合直线上，A不符合题意，B符合题意；
若以模型y=aehx拟合该组数据，z=lny=bx+lna=6x+ln3，故a=3,b=6，C符合题意；用R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则yi=yi，即R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2=1-0=1，D符合题意；故答案为：BCD．
【分析】根据线性相关关系可判断A错误，B正确。根据拟合曲线关系可判断C正确，D正确。
13.(2021•山东聊城三模•T6.)在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为12，则受表彰人员中男性人数为（）．
A.15B.18C.21D.15或21
【答案】C．
【考点】古典概型及其概率计算公式，组合及组合数公式，一元二次方程
【解析】【解答】设男性有x人，则女性有36-x人．
∵男性多于女性，∴x>36-x，即x>18．
∵选出的两人性别相同的概率为12．∴Cx2+C36-x2C362=12，即x2-36x+315=0．
∴x=21或x=15（舍）．所以男性有21人．故答案为：C.
【分析】根据古典概率可得Cx2+C36-x2C362=12，再由组合数公式化简得x2-36x+315=0，解一元二次方程即可求得．
14.(2021•四川内江三模•理T4．)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）

A．me＝mo＝ B．me＝mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜
【答案】D．
【解析】由图知m0＝5，
有中位数的定义应该是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是6，第16个数是6，
所以
＞3.9
．
15.(2021•重庆名校联盟三模•T9．)空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”、“良”、“轻度污染“、“中度污染”“重度污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是（　　）

A．从2日到5日空气质量越来越好
B．这14天中空气质量指数的极差为195
C．这14天中空气质量指数的中位数是103.5
D．这14天中空气质量指数为“良”的频率为
【答案】BC．
【解析】对于A，由折线图可知，从2日到5日空气质量指数越来越大，所以空气质量越来越差，故选项A错误；
对于B，这14天中空气质量指数的极差为220﹣25＝195，故选项B正确；
对于C，这14天中空气质量指数为25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，所以中位数是（86+121）÷2＝103.5，故选项C正确；
对于D，这14天中空气质量指数为“良”的频率为，故选项D错误．
16.(2021•重庆名校联盟三模•T4．)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对．那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，
在不超过16的素数中任意取出不同的两个，
基本事件总数n＝＝15，
可组成孪生素数包含的基本事件有：
（3，5），（5，7），（11，13），共3个，
∴在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为P＝．
17.(2021•安徽蚌埠三模•文T5．)国家统计局官方网站2021年2月28日发布了《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就．如图是2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图．

给出下列说法：
①从2016年至2020年国内生产总值逐年递增；
②从2016年至2020年国内生产总值增长速度逐年递减；
③从2016年至2020年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；
④从2016年至2020年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】D．
【解析】对于①，由图1可知，从2016年到2020年国内生产总值数不断的增大，
条形图中对应的长方形的高度不断升高，故选项①正确；
对于②，由图2可知，在2016年到2017年国内生产总值增长的折线是上升的，
从6.8到6.9，故选项②错误；
对于③，由图2可知，2016年到2020年第三产业增加值占国内生产总值比重
从52.4→52.7→53.3→54.3→54.5，是不断增加的，故选项③正确；
对应④，由图2可知，在2016年到2017年第二产业增加值
占国内生产总值比重由39.6上升到了39.9，故选项④错误．
18.(2021•上海嘉定三模•T10．)有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是　　．
【答案】．
【解析】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，
取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是．
19.(2021•贵州毕节三模•文T3．)一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】20组随机数恰好有两个是1，2，3，4的有191，171，932，393，812，184，共6个，因此三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为．
20.(2021•辽宁朝阳三模•T8．)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，
∴该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，
基本事件总数n＝＝36，这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：m＝+＝26，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P＝＝＝．
21.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T3．)某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过5分钟的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，
则等待的时间不超过5分钟的概率为P＝．
22.(2021•江苏常数三模•T2．)若随机变量X～B（5，p），，则E（X）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】因为X～B（5，p），，
则，解得，所以．
23.(2021•湖南三模•T8．)在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p1和p2，则（　　）
A．p1＜p2 B．p1＝p2
C．p1＞p2 D．以上三种情况都有可能
【答案】A．
【解析】根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为1﹣＝，则至少能摸出一个黑球的概率P1＝1﹣（）20，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为1﹣＝，则至少能摸出一个黑球的概率P2＝1﹣（）10，则有P1﹣P2＝[1﹣（）20]﹣[1﹣（）10]＝（）10﹣（）20＝（）10﹣（）10＜0，故P1＜P2．
24.(2021•湖南三模•T3．)每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（　　）
A．20家 B．10家 C．15家 D．25家
【答案】A．
【解析】根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×＝20（家）．
25.(2021•福建宁德三模•T10) 某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作2018年人均消费支出条形图(单位：元)和2019年人均消费支出饼图(如图).已知2019年居民人均消费总支出比2018年居民人均消费总支出提高8.5%，则下列结论正确的是( )

A. 2019年的人均衣食支出金额比2018年的人均衣食支出金额高
B. 2019年除医疗以外的人均消费支出金额等于2018年的人均消费总支出金额
C. 2019年的人均文教支出比例比2018年的人均文教支出比例有提高
D. 2019年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低
【答案】ACD．
【解析】∵2019年居民人均消费总支出比2018年居民人均消费总支出提高8.5%，
∴2019年居民人均消费总支出为：
(7000+4600+2300+1700+4400)×1.08=21600，
对于A，2019年的人均衣食支出金额为：21600×34.5%=7452元，
∴2019年的人均衣食支出金额比2018年的人均衣食支出金额高，故A正确；
对于B，2019年除医疗以外的人均消费支出金额为：
21700×(1-8.5%)=19855.5，
2018年的人均消费总支出金额为7000+4600+2300+1700+4400=20000元，
2019年除医疗以外的人均消费支出金额不等于2018年的人均消费总支出金额，故B错误；
对于C，2019年的人均文教支出比例为12.0%，
2018年的人均文教支出比例为230020000×100%=11.5%，
∴2019年的人均文教支出比例比2018年的人均文教支出比例有提高，故C正确；
对于D，2018其他支出4400元，2019年其他支出21600×21.0%=4536元，
“其他”消费支出的年增长率为4536-44004400×100%≈3.09%，
衣食支出的年增长率为：21600×34.5%-70007000×100%≈6.46%，
住支出的年增长率为：21600×24.0%-46004600×100%≈12.70%，
文教支出的年增长率为：21600×12.0%-23002300×100%≈12.70%，
医疗支出的年增长率为：21600×8.5%-17001700×100%=8%，
∴2019年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低，故D正确．
故选：ACD.
利用条形图和饼状图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查条形图、饼状图的性质等基础知识，考查运算求能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
26.(2021•福建宁德三模•T5) 根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为( )
A. 0.8 B. 0.625 C. 0.5 D. 0.1
【答案】A．
【解析】设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，
所以P(A)=0.25，P(B)=0.4，P(AB)=0.2，
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.20.25=0.8.
故选：A.
利用条件概率的概率公式求解即可．
本题考查了条件概率的理解与应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，属于基础题．
27.(2021•宁夏中卫三模•理T7．)已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，
结合几何概型计算公式可得：骰子落在阴影部分的概率为．
28.(2021•宁夏中卫三模•理T5．)2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高三高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　）

A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C．
【解析】根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中物理、化学、地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分，1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多，故A项叙述正确，C项叙述不正确；
B项：根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述正确；
对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的种选科结果，故D项叙述正确．
29.(2021•江西南昌三模•理T7．)随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：
①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5；
③P（X＞k+1）＜P（X＜k﹣2）；④P（k﹣1＜X＜k）＞P（k+1＜X＜k+2）．
若只有一个假命题，则该假命题是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C．
【解析】因为4个命题中只有一个假命题，又①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5，
由正态分布的相知可知，①②均为真命题，所以μ＝k，
则P（X＞k+1）＞P（X＞k+2）＝P（X＜k﹣2），故③错误；
因为P（k﹣1＜X＜k）＝P（k＜X＜k+1）＞P（k+1＜X＜k+2），故④正确．
30.(2021•安徽马鞍山三模•理T3．)雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图．如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（　　）

A．综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡
B．三人中，小陈的每门学科的平均成绩都是最低的
C．六门学科中，小张存在偏科情况
D．小陈在英语学科有较强的学科优势
【答案】B．
【解析】对于A，小明各科成绩都处于较高分数段且图形最均衡，由此可知小明成绩最好，最均衡，故选项A正确；
对于B，小陈的英语平均成绩是三人中最高的，故选项B错误；
对于C，小张数学平均成绩为满分，化学接近满分，但物理和英语成绩均为三人中最低，可知小张存在偏科情况，故选项C正确；
对于D，小陈的英语平均成绩是三人中最高且接近满分，所以小陈在英语学科有较强的学科优势，故选项D正确．
31.(2021•安徽马鞍山三模•文T4．)第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C．甲成绩的极差比乙成绩的极差小
D．乙的成绩比甲的成绩稳定
【答案】D．
【解析】甲的成绩分别为90，93，92，94，96，93，乙的成绩分别为93，94，91，95，92，93，
A：∵甲成绩的中位数为＝93，乙成绩的中位数为＝93，∴A错误，
B：∵甲成绩的众数为93，乙成绩的众数为93，∴B错误，
C：∵甲成绩的极差为96﹣90＝6，乙成绩的极差为95﹣91＝4，∴C错误，
D：∵甲成绩的平均数为＝93，∴甲成绩的方差为＝，
∵乙成绩的平均数为＝93，∴乙成绩的方差为＝，
∵＞，∴乙成绩比甲成绩稳定，∴D正确．
32.(2021•河北邯郸二模•理T5．)某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，各楼层的商铺种类如表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（　　）

生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A．0.75 B．0.6 C．0.4 D．0.25
【答案】D．
【解析】100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23＝75家，
故不一致的有100﹣75＝25家，
所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为．
33.(2021•河北邯郸二模•理T3．)某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】B．
【解析】根据分层抽样的定义可得选《西游记》的学生抽取的人数为×125＝10．
34.(2021•江西鹰潭二模•理T9．)如图是一个正方体纸盒的展开图，把1，1，2，2，3，3分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】由题意，图中有6个位置，将1，1，2，2，3，3这6个数字在6个位置全排列，共有A66种结果，
要使所得到的正方中体相对面上的两个数都相等都相等，必须是1、1相对，2、2相对，3、3相对，
正方体有6个面，写第一个数字时有6种选择，
剩下四个面，则第三个数字只有4种选择，
此时剩余两个面，2个数字，有2种选择；
以此类推，可得出正方体两个对面上两数字和相等的组合方式有6×4×2＝48．
∴所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率为：
P＝＝．
35.(2021•江西上饶二模•理T8．)在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】如果∠AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．
要使∠AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；
因为半圆的面积为，正方形的面积为4×4＝16，
所以满足∠AMB为锐角的概率P＝1﹣＝1﹣．

36.(2021•河北秦皇岛二模•理T7．)某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，
设事件A表示“有一名主任医师被选派”，B表示“另一名主任医师被选派”，
P（A）＝+＝，
P（AB）＝＝，
则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：
P（B|A）＝＝＝．
37.(2021•北京门头沟二模•理T10)某维修公司的四个维修点如图环形分布，公司给A，B，C，D四个维修点某种配件各50个在使用前发现需要将发送给A，B，C，D四个维修点的配件调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻维修点间进行，每次调动只能调整1个配件，为完成调整，则( )
A. 最少需要16次调动，有2种可行方案
B. 最少需要15次调动，有1种可行方案
C. 最少需要16次调动，有1种可行方案
D. 最少需要15次调动，有2种可行方案
【答案】A．
【解析】解：根据题意，因为B、D两处互不相邻，所以B处至少调整5次，D处至少调整11次，故最少需要调整16次
相应的可行方案有2种，
方案①：A调整10个给D，B调整5个给C，然后C再调整1个给D；
方案②：A调整11个给D，B调整1个给A，调整4个给C，
故选：A.
根据题意，先分析两处互不相邻BD两处的调整方法数目，进而分析可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意认真审题，明确题意，属于基础题．
38.(2021•江西九江二模•理T6．)恩格尔系数（Engel'sCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．

给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（　　）
A．① B．② C．①② D．②③
【答案】C．
【解析】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，
居民人均可支配收入在逐年增加，故两者之间存在负相关关系，恩格尔系数越小，
居民人均可支配收入越多，经济越富裕，故选项①②正确．
39.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T7．)设0＜p＜，随机变量ξ的分布列是
ξ
﹣1
0
1
P
p

﹣p
则当P在（0，）内增大时，（　　）
A．D（ξ）增大 B．D（ξ）减小
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D．
【解析】由随机变量ξ的分布列可得，E（ξ）＝﹣1•p+0×+1＝，
故D（ξ）＝
＝＝，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为，
因为，所以D（ξ）先增大后减小．
40.(2021•山东潍坊二模•T12．)连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（　　）

A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
【答案】ABD．
【解析】甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，
对于A，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
故甲选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项A正确；
对于B，甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：
①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有＝4种；
②上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有种；
③中间四个点中选三个点，共有种，
故共有4+4+4＝12种，
所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为，故选项B正确；
对于C，乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，
所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项C错误；
对于D，选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16＝24种，概率为，
甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，
所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为，故选项D正确．
41.(2021•辽宁朝阳二模•T11．)下列说法正确的是（　　）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
【答案】BD．
【解析】A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故A错误，
B．从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3，5，7，一种，则构成三角形的概率是，故B正确，
C．|r|→1，两个变量的线性相关性越强，|r|→0，线性相关性越弱，故C错误，
D．由题意知P（）•P（）＝，P（）•P（B）＝P（A）•P（），
设P（A）＝x，P（B）＝y，则，
得得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，得x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
得x＝（舍）或x＝，即事件A发生的概率为，故D正确．
42.(2021•辽宁朝阳二模•T2．)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C．
【解析】∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，
∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，
∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，
∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．
43.(2021•广东潮州二模•T7．)中国古代数学名著《周牌算经》记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（　　）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】B．
【解析】由题意可设年纪最大年龄为m，年纪最小年龄为n，
则有n+（n+1）+……+（n+18）+m＝1520，所以m＝1349﹣19n，∵90＜1349﹣19n≤100，
解之得：65，又∵n∈N*，∴n＝66，m＝95，极差为m﹣n＝95﹣66＝29．
44.(2021•天津南开二模•T4)某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示．现已知时间增加值在[30，35），[40，45），则学员时间增加值是[30，35）或[40，45）的频率为（　　）

A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.4
【答案】D．
【解析】设学员时间增加值是[35，40）的频率为a，
则学员时间增加值是[30，35）或[40，45），
由频率分布直方图的性质得：（0.01+0.07）×8+a+2a＝1，解得a＝7.2，
∴学员时间增加值是[30，35）或[40，45）．
45.(2021•山西调研二模•文T4)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为( )
A. 0.1 B. 1 C. 10 D. 100
【答案】B．
【解析】∵数据x1，x2，…，xn的方差为100，∴数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为：0.12×100=1.故选：B.
根据方差性质可解决此题．本题考查方差的性质，考查数学运算能力，属于基础题．
46.(2021•河南郑州二模•文T8．)皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，
基本事件总数n＝＝20，
所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有：
（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9个，
∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝．
47.(2021•河南郑州二模•文T3．)如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）

下列说法错误的是（　　）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%
②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化
③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%
④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】B．
【解析】根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，

所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；
根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；
因此②③错误．
48.(2021•宁夏银川二模•文T5．)为进一步促进“德、智、体、美、劳”全面发展，某学校制定了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，甲、乙两名同学各从中选择一门课程，则两人选择课程相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，
甲、乙两名同学各从中选择一门课程，
基本事件总数n＝5×5＝25，
两人选择课程相同包含的基本事件个数m＝5，
∴两人选择课程相同的概率P＝＝．


90
80
70
1 2 3 4 5
49.(2021•吉林长春一模•文T8.) 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的
温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到
茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析
泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔
测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图
所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数
模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律
A. B.
C. D.
【答案】C．
【解析】由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C．
50.(2021•吉林长春一模•文T5.)张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是
A. 10% B. 50% C.60% D. 90%
【答案】D．
【解析】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站
的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D．
二、填空题部分
51.(2021•浙江卷•T15) 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
【答案】(1). 1 (2).．
【解析】，所以，
, 所以, 则．
由于
．故答案为：1；．
52.(2021•河北秦皇岛二模•理T14．)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），若P（ξ＜120）＝0.75，则P（90≤ξ≤120）＝　　．
【答案】0.5．
【解析】∵学生的数学成绩ξ服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），P（ξ＜120）＝0.75，
∴P（ξ＜90）＝P（ξ＞120）＝1﹣0.75＝0.25，则P（90≤ξ≤120）＝1﹣0.25×2＝0.5．
53.(2021•浙江杭州二模•理T14．)甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X．若，则m＝　　，P（X＝2）＝　　．
【答案】2，．
【解析】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，则X～B（3，），
∵，∴E（X）＝3×＝，∴m＝2，
∴P（X＝2）＝＝．
54.(2021•河南焦作三模•理T13)某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是　　．
【答案】．
【解析】要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，
某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，
∴两种兴趣班都选择的学生人数为：21+39﹣50＝10，
从全班学生中随机抽取一人，这个人两种兴趣班都选择的概率是P＝＝．
55.(2021•河北张家口三模•T14)2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为　　．
【答案】．
【解析】从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名共有（种）选法，
男生A和女生甲被同时选中有种）选法，
故所求概率．
56.(2021•河北张家口三模•T3)某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛．如果小明知道了自己的成绩后（　　）
A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差
【答案】A．
【解析】12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，
因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛．
57.(2021•辽宁朝阳三模•T15．)2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

A区
B区
C区
D区
E区
外来务工人员数
5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
80%
90%
80%
80%
84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为＝0.8135x+．该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为　　万元．（参考数据：取0.8135×36＝29.29）
【答案】818.6．
【解析】由表知，＝×（5000+4000+3500+3000+2500）＝3600，
A，B，C，D，E五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为5000×80%＝4000，4000×90%＝3600，3500×80%＝2800，3000×80%＝2400，2500×84%＝2100，
所以＝×（4000+3600+2800+2400+2100）＝2980，
因为样本中心点在（，）上，
所以2980＝0.8135×3600+，
解得＝51，
所以＝0.8135x+51，
当x＝10000时，＝0.8135×10000+51＝8186，
所以估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为8186×1000＝818600元＝818.6万元．
58.(2021•上海浦东新区三模•T4．)若从总体中随机抽取的样本为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，则该总体标准差的点估计值是　　（精确到0.1）．
【答案】2.1．
【解析】因为样本为数据为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，
所以样本的平均值为＝1，
故该总体标准差的点估计值是
2.1．
59.(2021•上海浦东新区三模•T6．)在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为　　．
【答案】0.4．
【解析】5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，得到的五位数的总数是A55＝120
五位数能被2整除的特征是个位数排2，4两个数，其排法种数是C21×A44＝48
故所得五位数能被2整除的概率是＝0.4．
60.(2021•安徽马鞍山三模•理T15．)某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是　　．
【答案】．
【解析】某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，基本事件总数n＝34＝81，
他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m＝＝36，
∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P＝＝＝．
61.(2021•天津南开二模•T13．)甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答　　；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是　　．
【答案】，．
【解析】甲不合格的概率是P＝1﹣﹣＝；
甲、乙两人中每次答题合格的概率为P＝+＝，
∴甲、乙两人中恰有一人合格的概率P＝＝．
62.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T15．)一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为　　．
【答案】．
【解析】一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，
这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，
∴投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，
∴投掷一次得到质数的概率为：P＝＝．
三、解答题部分
63.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T18) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；；
．
所以的分布列为








（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
64.(2021•高考全国甲卷•理T17)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
65.(2021•高考全国乙卷•文T17) 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解析】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.
66.(2021•江苏盐城三模•T21)运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．
(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；
(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．
【考点】随机事件的概率与期望
【解析】(1)P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋＝，P(ξ＝1)＝，……3分
则ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝．……5分
(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，得出Pn＝，……7分
法一：则Pn＝Pn＋1×＋Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，
故0≤n≤k－2时，Pn＋1＝Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，
以上两式作差得，Pn－Pn＋1＝Pn＋1×，则Pn＝Pn＋1×，……10分
则Pn＋1＝Pn＋2×，Pn＋2＝Pn＋3×，…，Pk－2＝Pk－1×，
则PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…Pk－1××××…×，
化简得Pn＝Pk－1×，而Pk－1＝，故Pn＝，
又n＝k－1时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)．……12分
法二：同法一得Pn＝Pn＋1×，……9分
则P0＝P1×，P1＝P2×，P2＝P3×，…，Pn－1＝Pn×，
则P0P1P2…Pn－1＝P0P1P2…Pn××××…×，
化简得P0＝Pn×(n＋1)，而P0＝1，故Pn＝(0≤n≤k－1)，
又n＝0时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)．……12分
法三：记Pm(n)表示在出现m的条件下出现n的概率，
则Pn＋1(n)＝，Pn＋2(n)＝Pn＋1(n)＋＝，
Pn＋3(n)＝Pn＋2(n)＋Pn＋1(n)＋＝，……9分
依此类推，Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，
所以Pk(n)＝(×(k－n－1)＋1)＝．……12分
法四：记Pk(n)表示在出现k的条件下出现n的概率，
则Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，
则kPk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，①
则(k－1)Pk－1(n)＝Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，②
①－得kPk(n)－(k－1)Pk－1(n)＝Pk－1(n)，……9分
则Pk(n)＝Pk－1(n)(k≥n＋2)，
则Pk(n)＝Pn＋1(n)＝．……12分
67.(2021•河南郑州三模•理T19)手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能．某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

产品的性能指数在[50，70）的称为A类芯片，在[70，90）的称为B类芯片，在[90，110]的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率．
（Ⅰ）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；
（Ⅱ）该公司为了解年营销费用x（单位万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x，和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示．
（ⅰ）利用散点图判断，y＝a+bx和y＝c•xd（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（ⅱ）对数据作出如下处理：令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得到相关统计量的值如表：








150
725
5500
15750
16
25
56
82.4
根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；
（ⅲ）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值．（参考数据：e3.4＝30）
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归方程v＝+u中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝；＝．
【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，A，B，C三类芯片的频率分别为0.15，0.45，0.4，
故取出C类芯片的概率为，
设“抽出C类芯片不少于2件”为事件A，则P（A）＝；
（Ⅱ）（i）由散点图的形状可知，y＝c•xd（其中c，d为大于0的常数）更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型；
（ii）将y＝c•xd两边同时取自然对数，则有lny＝lnc+dlnx，
令u＝lnx，v＝lny，则有v＝lnc+du，
因为，
则＝，
则lnc＝，
所以，即，
因为e3.4＝30，故y关于x的回归方程为；
（iii）当x＝100时，，
所以当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值为300万件．
68.(2021•河南开封三模•理T19)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀．某班50名同学都参加了听力测试，将所得测试值制成如图频率分布直方图：
（1）现从测试值在区间（0，10]内的同学中任意抽取4人，其中听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4．测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列）．记Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．

【解析】（1）听力等级为（0，5]的有0.016×5×50＝4人，
听力等级为（5，10]的有0.024×5×50＝6人，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





则X的数学期望为；
（2）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为种，
当Y＝0时，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，
当Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|＝2时，a1，a2，a3，a4的取值为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3或a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝4或a1＝2，a2＝1，a3＝3，a4＝4，
所以Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，
所以．
69.(2021•河南开封三模•文T19．)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀．某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图：
（1）从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10]内的概率；
（2）已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；
（3）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4．测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中集合{a1，a2，a3，a4}＝{1，2，3，4}．记Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．

【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间（0，10]内的频率为1﹣（0.06+0.08+0.02）×5＝1﹣0.8＝0.2，
以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10]内的概率为0.2；
（2）样本中听力为优秀的学生人数为0.2×50﹣4＝6，
所以估计总体中听力为优秀的学生人数为；
（3）当a1＝1时，序号a1，a2，a3，a4的情况为6种，分别记为（1，2，3，4），（1，2，4，3），（1，3，2，4），（1，3，4，2），（1，4，2，3），（1，4，3，2），
同理，当a1＝2，3，4时，序号a1，a2，a3，a4的情况也分别为6种，
所以序号a1，a2，a3，a4所有的情况总数为24种，
当Y＝0时，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，
当Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|＝2时，a1，a2，a3，a4的取值为：
a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3或a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝4，或a1＝2，a2＝1，a3＝3，a4＝4，
所以Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，
所以．
70.(2021•河南焦作三模•理T21)甲、乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满2k+1（k∈N*）局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为p（0＜p＜1），设甲获得最终胜利的概率为ak．
（Ⅰ）证明：≤；
（Ⅱ）当＜p＜1时，比较ak与ak+1的大小，并给出相应的证明．
【解析】（Ⅰ）证明：甲赢得单局比赛的概率为p，则乙赢得单局比赛的概率为1﹣p，
a1表示打3局比赛甲赢两局或三局的概率，
所以a1＝，
所以；
（Ⅱ）ak表示打2k+1局比赛，甲至少赢k+1局的概率，
所以ak＝…+，
ak+1表示打2k+3局比赛，甲至少赢k+2局的概率，分三种情况：
①前2k+1局甲赢k局，最后两场甲都胜利，
对应的概率，
②前2k+1局甲赢k+1局，最后两场甲不全输，
对应的概率
＝，
③前2k+1局甲至少赢k+2局，
对应的概率，
所以ak+1＝P1+P2+P3
因为，
所以ak+1﹣ak＝P1+P2﹣
＝
＝，
因为＜p＜1，
所以ak+1﹣ak＞0，
故ak+1＞ak．
71.(2021•河北张家口三模•T19)某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，并由县政府公开招聘事业编制教师．招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，第一题考查教育心理学知识，答对得10分；第二题考查学科专业知识，答对得10分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分
（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布N（65，152），80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否、优秀与否互不影响
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．
【解析】（1）因为X服从正态分布N（65，152），
所以，
因为2000×7.15865≈317，
所以进入面试环节的人数约为317人．
（2）记该应聘者第i（i＝1，2）题答对为事件Ai，第8题优秀为事件B，
Y的可能取值为5，15，35，
则，

＝＝，

＝＝，
．
所以Y的分布列为：
Y
5
15
25
35
P




所以Y的数学期望为．
72.(2021•山东聊城三模•T20.) 2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
40
80
60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？
【解析】（1）解：由题意得，X=0,1,2,3,4,5,6，
P(X=0)=110×110=1100，P(X=1)=110×15×2=125，P(X=2)=110×25×2+15×15=325，P(X=3)=110×310×2+15×25×2=1150，
P(X=4)=310×15×2+25×25=725，P(X=5)=310×25×2=625P(X=6)=310×310=9100，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
1100
125
325
1150
725
625
9100

（2）解：选择方案一：所需费用为Y1元，则X≤2时，Y1=5000，X=3时，Y1=6000；X=4时，Y1=7000；X=5时，Y5=8000，X=6时，Y1=9000，
∴Y1的分布列为
Y1
5000
6000
7000
8000
9000
P
17100
1150
725
625
9100
E(Y1)=5000×17100+6000×1150+7000×725+8000×625+9000×9100=6860，
选择方案二：所需费用为Y2元，则X≤4时，Y2=6230；X=5时，Y2=6230+t；X=6时，Y2=6230+2t，则Y2的分布列为
Y2
6230
6230+t
6230+2t
P
67100
625
9100
E(Y2)=6230×67100+(6230+t)×625+(6230+2t)×9100=6230+21t50，
要使选择方案二对客户更合算，则E(Y2)6.635，
故有99%的把握认为“看病高峰”与疫苗开始预约有关．
【解析】(1)由表知，a=3，再以频率估计概率，即可得解；
(2)先计算试预约人数每月平均数x-，从而得正式预约后一年内人数，设每支疫苗定价为m元，由数量×(单价-单位成本)=总成本，列得关于m的方程，解之即可；
(3)先填写2×2列联表，再根据K2的公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断．
本题考查独立性检验，频数分布表，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．
102.(2021•宁夏银川二模•文T18．)某公司举办了一场新产品推介会，为进步了解产品消费群体的年龄和性别特征，销售人员拟从参加现场会的人员中抽取一个容量为200的样本．
（1）你认为销售人员应该采用哪种抽样方法，能使样本有更好的代表性并说明理由；
（2）经过调查，销售人员获得了如下数据：

喜欢
不喜欢
合计
男
30
50
80
女
80
40
120
合计
110
90
200


喜欢
不喜欢
合计
50岁以上（含50岁）
90
40
130
50岁以下
30
40
70
合计
120
80
200
根据以上信息，你是否有99%的把握认为是否喜欢该产品和性别有关：你是否有99%的把握认为是否喜欢该产品和年龄有关；
（3）根据以上信息，你对该公司这款产品销售策略有何建议．
参考公式和数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】（1）分层抽样，由于现场人员中个体分不同部分，所以采用分层抽样可以更好的从部分体现总体．
（2）∵＝＞6.635，
∴有99%的把握认为是否喜欢该产品和性别有关，
∵K2＝＝＞6.635，
∴有99%的把握认为是否喜欢该产品和年龄有关．
（3）该产品更多受到女性与50岁以上人群喜欢，
所以在销售时，对象尽量选择女性和50岁以上人群．
103.(2021•河南郑州二模•文T17．)2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y（单位：百万元）
5
9
14
17
20

（Ⅰ）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．
【解析】（Ⅰ）①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；
②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；
③与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；
（Ⅱ）由表格中的数据可知，，
，，
则＝＝，
所以＝﹣＝1.6，
故经济收入y关于x的线性回归方程为＝3.8x+1.6，
当x＝10时，＝39.6，则2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元．
104.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T20．)为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：
（Ⅰ）试估计该地区居民户月均用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；
（Ⅱ）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档），20%用户在第二档，5%用户在第三档（最高一档）
（ⅰ）试估计第一档与第二档的临界值α，第二档与第三档的临界值β；
（ⅱ）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档0.4元/千瓦时，第二档0.55元/千瓦时，第三档0.8元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值．
设用户的用电量是x千瓦时，电费是f（x），则f（x）＝

【解析】（Ⅰ）估计该地区居民户月均用电量的平均值为：
45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05＝67千瓦时；
（Ⅱ）（ⅰ）因为前三组的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6，第四组的频率为0.025×10＝0.25，
所以α在[70，80），则有0.025×（α﹣70）＝0.75﹣0.6，解得α＝76，
区间[40，80）的频率为0.6+0.25＝0.85，区间[80，90）的频率为0.1，
所以β＝90；
（ⅱ）该地区居民户月均电费的平均值为：
0.4×（45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25）+0.4×76×0.1+0.55×9×0.1+0.4×76×0.05+0.55×14×0.05+0.8×5×0.05＝27.14元．