2021年高考数学真题及模拟题分类汇编 专题18：坐标系与参数方程（含答案解析）

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2021年高考真题和模拟题分类汇编
数 学
专题18 坐标系与参数方程
解答题
1.(2021•高考全国甲卷•理T22)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
2.(2021•高考全国乙卷•文T22)在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【解析】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或.
3.(2021•河南郑州三模•理T22) 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos（）＝，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点A（1，0），若直线l与曲C线交于P，Q两点，PQ中点为M，求的值．
【解析】（1）直线的极坐标方程为ρcos（）＝，整理得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．
曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．根据，转换为直角坐标方程为．
（2）把直线方程x﹣y﹣1＝0转换为参数方程为（t为参数），代入直角坐标方程为．
得到，点P和Q对应的参数为t1和t2，
所以，，点M对应的参数为
故＝．
4.(2021•河南开封三模•文理T22)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围．
【解析】（1）曲线C的极坐标方程为，整理得ρ2+2ρ2sin2θ＝3，
根据，整理得x2+3y2＝3，
化简得曲线C的直角坐标方程为．
（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：（tcosα）2+3（2+tsinα）2＝3，
化简得（1+2sin2α）t2+12tsinα+9＝0，
则，，
且△＝144sin2α﹣36（1+2sin2α）＞0，2sin2α﹣1＞0，
则有，
则，
令，有，
所以|PA|+|PB|的取值范围为．
5.(2021•河南焦作三模•理T22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上，求α；
（Ⅱ）若tanα＝，求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标．
【解析】（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），
转换为直角坐标方程为．
曲线C与y轴的负半轴交于点（0，﹣1），
由于直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），
所以直线l恒过点（1，0）．
所以直线的斜率k＝1，即tanα＝1，
整理得．
（Ⅱ）若tanα＝，
所以直线的l的普通方程为，即，
曲线C上的点到直线l的距离d＝＝，
当（k∈Z），
所以，即，，
故P（）．
6.(2021•四川内江三模•理T22．)在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0）时，|PA|+|PB|的值．
【解析】（1）曲线C2：，可以化为，ρ7＝2ρcosθ﹣2ρsinθ，
因此，曲线C的直角坐标方程为x3+y2﹣2x+2y＝0…
它表示以（7，﹣1）为圆心、．
（2）当时，直线的参数方程为
点P（1，0）在直线上，把
代入x2+y2﹣2x+2y＝6中得…
设两个实数根为t8，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t8，
则，t1t2＝﹣5…∴…
7.(2021•安徽蚌埠三模•文T22．)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2asinθ（a＞0），曲线C与l有且只有一个公共点．
（1）求实数a的值；
（2）若A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|•|OB|的最大值．
【解析】（1）直线l的参数方程为，（t为参数），转换为普通方程为．
曲线C的极坐标方程为ρ＝2asinθ（a＞0），根据，
转换为直角坐标方程为x2+（y﹣a）2＝a2，
因为曲线C与l有且只有一个公共点
所以圆心（0，a）到直线的距离d＝．
解得a＝1，故a＝1．
（2）设A（ρ1，θ），B（），
所以|OA||OB|＝＝|1+2sin（2）|≤3，
当时，|OA|•|OB|的最大值为3．
8.(2021•贵州毕节三模•文T22．)如图，在极坐标系Ox中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，曲线C1是弧，曲线C2是弧，曲线C3是弧，曲线C：f（ρ，θ）＝0（0≤θ＜2π）由C1，C2，C3构成．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程，并求曲线C与直线所围成图形的面积；
（Ⅱ）若点M在曲线C上，且，求点M的极坐标．

【解析】（1）在极坐标系Ox中，
，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，
曲线C的极坐标方程为．
所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，
所以面积为：．
（2）设曲线C上一点P（ρ，θ），
由题设若，由，
得，；
若或，由，
得，或；
若，由，
得，；
∴点M的极坐标为：．
9.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T22．)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值．
【解析】（1）曲线C的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x2﹣4y2＝1（x≠﹣1），
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．根据，转换为直角坐标方程为．
（2）直线l交交x轴于点P，所以P（2，0），
所以直线的参数方程为（t为参数），
把直线我的参数方程代入x2﹣4y2＝1，
得到，
故，t1t2＝﹣12，
所以＝．
10.(2021•四川泸州三模•理T22．)在平面直角坐标系中，圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，记圆C1与圆C2异于原点的交点为A．
（Ⅰ）求点A的极坐标；
（Ⅱ）若过点A的直线l分别交圆C1和C2于M、N两点，求|MN|的最大值．
【解析】（Ⅰ），圆C1的参数方程为（φ为参数），转换为普通方程为；
根据，转换为极坐标方程为，
圆C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
由，解得，
所以，，
故A（）（k∈Z）．
设直线的倾斜角为α，
则直线的参数方程为（t为参数），代入圆C1的普通方程为；
故，
所以，
将直线的参数方程为（t为参数），代入圆C2的普通方程x2+y2﹣2y＝0，
得到，
所以，
建立方程组，解得，，
所以|MN|＝|tM﹣tN|＝，
当时，|MN|的最大值为4．
11.(2021•宁夏中卫三模•理T22．)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+2＝0．
（1）求曲线C1的极坐标方程并判断C1，C2的位置关系；
（2）设直线θ＝α（，ρ∈R）分别与曲线C1交于A，B两点，与C2交于点P，若|AB|＝3|OA|，求|OP|的值．
【解析】（1）由曲线C1得：，
平方相加得（x﹣3）2+y2＝5，
即x2+y2﹣6x+4＝0，又ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，
得曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．
联立，得ρ2+16＝0，此方程无解，
∴C1，C2相离；
（2）由，得ρ2﹣6ρcosα+4＝0．
∵直线θ＝α与曲线C1有两个交点A，B，
∴△＝36cos2α﹣16＞0，即．
设方程的两根分别为ρ1，ρ2，则，①
∵|AB|＝3|OA|，∴|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1，
联立①式解得ρ1＝1，ρ2＝4，，满足△＞0，
联立，
∴．
12.(2021•江西南昌三模•理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：θ＝θ0（θ0∈[0，π），ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设A，B是曲线C1、C2的公共点，若，求曲线C2的直角坐标方程．
【解析】（Ⅰ）曲线C1的参数方程为：（α为参数），整理得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣3＝0，
根据，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0．
（Ⅱ）因为曲线C2的极坐标方程为θ＝θ0，由，
得到ρ2﹣2ρcosθ0﹣3＝0，
设|OA|＝|ρA|，|OB|＝|ρB|，
则ρA+ρB＝2cosθ0，ρA⋅ρB＝﹣3，
则ρA，ρB异号，不妨设ρA＞0，ρB＜0，
则，
所以，
则cosθ0＝±1，因为θ0∈[0，π），
所以θ0＝0，
所以曲线C2的直角坐标方程为y＝0．
13.(2021•江西上饶三模•理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为α的直线，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ﹣2sinθ．
（1）求曲线C1的参数方程及曲线C2的直角坐标方程；
（2）设曲线C1、C2交于A，B两点，求当最大时，曲线C的直角坐标方程．
【解析】（1）曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为α的直线，转换为参数方程为（α为参数）．
曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ﹣2sinθ．根据，转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5．
（2）把直线的参数方程代入（x﹣2）2+（y+1）2＝5，
得到t2+2（cosα+sinα）t﹣3＝0，
故t1+t2＝﹣2（sinα+cosα），t1t2＝﹣3，
所以＝，
当时，．
14.(2021•安徽宿州三模•文理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数），已知直线l1：x﹣y＝0，直线l2：x+y＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线l2与曲线C分别交于O、B两点，求△AOB的面积．
【解析】（Ⅰ）依题意，由曲线C的参数方程（α为参数）
消参得（x﹣2）2+y2＝4，
故曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x＝0．
根据，
∴曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ．
直线l1的极坐标方程分别为（ρ∈R），直线l2和的极坐标方程为．
（Ⅱ）把代入ρ＝4cosθ，得，所以A（2），
把代入ρ＝4cosθ，得ρ2＝﹣2，所以B（2，）．
所以．
15.(2021•安徽马鞍山三模•文理T22．)平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点M（0，﹣1），若曲线C1，C2相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．
【解析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．
（2）由于点M（0，﹣1）满足直线x﹣y﹣1＝0的方程，
故（t为参数），
代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
得到：，
所以，t1t2＝3，
故|MA|+|MB|＝．
16.(2021•江西鹰潭二模•理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为：（x+）2+（y+1）2＝4．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2，C3的极坐标方程分别为：ρ＝2sinθ，ρ＝2cos（θ+）．
（1）若曲线C2，C3相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标；
（2）若直线l：θ＝α（ρ∈R）与C1，C2相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．

【解析】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2＝2y．
曲线C3的极坐标方程为ρ＝2cos（θ+），根据转换为直角坐标方程为．
所以，解得或，
故Q（）．
（2）曲线C1的方程为：（x+）2+（y+1）2＝4，转换为，
根据转换为极坐标方程为，
直线l：θ＝α（ρ∈R）与C1，C2相交于异于极点的A，B两点，
所以，整理得ρA＝2sinα，
，整理得．

所以|AB|＝|ρA﹣ρB|＝＝|2，

当sin（θ﹣α）＝±1时，．
17.(2021•江西上饶二模•理T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，0≤α＜π）．
（1）求曲线C1的极坐标方程；
（2）直线l与曲线C1交于点A，与曲线C2交于O，B两点，求|AB|的最大值．
【解析】（1）曲线C1的参数方程为程为（t为参数）（t为参数，且t＜0），整理得y＝tx，所以t＝，
代入关系式得到x2+y2﹣2x＝0，
根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（2）直线lθ＝α与曲线C1的交点为A，
所以，解得ρA＝2cosα，
直线l：θ＝α与曲线C2的交点坐标为B，
故，所以，
所以|AB|＝|ρA﹣ρB|＝＝|，
由于0≤α＜π，
当时，所以|AB|max＝4．
18.(2021•江西九江二模•理T22．)在极坐标系Ox中，射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）求+的取值范围．
【解析】（Ⅰ）射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），转换为直角坐标方程为（x≥0）．
曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），根据，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝r2．
且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
所以圆心（0，2）到直线y＝的距离d＝，
所以1＜r＜2．
（Ⅱ）把为θ＝，代入ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4，
得到，
所以，，
由于r∈（1，2），
所以4﹣r2∈（0，3）
所以+＝．
19.(2021•河南郑州二模•文T22．)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．
【解析】（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ，
根据转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x+4y，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．
（Ⅱ）曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），
转换为直角坐标方程为y＝kx+5，（k＞0），
利用圆心（1，2）到直线的距离公式，
解得k＝，（负值舍去），
故k＝2，
即tanα＝2，
所以sin，cos，
故sin2α﹣sinαcosα＝＝．
20.(2021•山西调研二模•文T22)已知曲线C1：x=2-2t+1y=12+1t+1(t为参数)，曲线C2：ρ=ρcos2θ+cosθ.
(1)求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；
(2)设曲线C1，C2的公共点为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积.
【解析】(1)曲线C1：x=2-2t+1y=12+1t+1(t为参数)，消去参数转换为普通方程为x+2y-3=0(x≠2).
曲线C2：ρ=ρcos2θ+cosθ，根据x=ρcosθy=ρsinθx2+y2=ρ2，转换为直角坐标方程为y2=x.
(2)由x+2y-3=0y2=x，化简为y2+2y-3=0，
解得x=1y=1或x=9y=-3.
故|AB|=82+42=45，
则：点O到直线AB的距离d=312+22=35，
所以S△OAB=12×45×35=6.
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21.(2021•宁夏银川二模•文T22．)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由（β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0．
将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣2＝0，
∴曲线M是以（1，1）为圆心，2为半径的圆．
（Ⅱ）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2﹣2ρ（sinα+cosα）﹣2＝0，
∴ρ1+ρ2＝2（sinα+cosα），ρ1•ρ2＝﹣2，
∵O，A，C三点共线，则①，
∴用代替α可得，
∵l1⊥l2，∴，
∵sin22α∈[0，1]，∴S四边形ABCD∈．
22.(2021•安徽淮北二模•文T22．)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρcos（θ+）＝4．
（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【解析】（Ⅰ）由（t为参数），两式平方作和可得x2+y2＝1（x≠﹣1）；
由ρcos（θ+）＝4，得，
即，
可得x﹣．
∴曲线C1，C2的普通方程分别为x2+y2＝1（x≠﹣1）；x﹣．
（Ⅱ）设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π且θ≠π），
则P到直线x﹣的距离d＝|2cos（）﹣8|
＝|cos（）﹣4|．
|PA|＝|cos（）﹣4|．
∴当cos（）＝﹣1时，，
当cos（）＝1时，．

23.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T22．)已知点M是曲线C1：x2+y2﹣2y＝0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝2，射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2、直线l分别交于A、B两点，求的最大值．
【解析】（Ⅰ）曲线C1：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2，
设曲线C2上的点的极坐标为N（ρ，θ），所以M（），满足ρ＝2sinθ，
故，即曲线C2的极坐标方程．
（Ⅱ）直线l：y＝2，根据，转换为极坐标方程为，
射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2交于点B，
建立方程组，整理得，
直线l与曲线C2交于A点，
故，整理得ρA＝2cosα，
所以，
由于α∈（0，），
所以2α∈（0，π）．
故．
故最大值为．
24.(2021•吉林长春一模•文T22.) 已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为
(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆相交于两点,求
【解析】(1)直线的普通方程是,圆的直角坐标方程是
（5分）
(2)圆心(1,2)到直线的距离圆半径所以|（10分）