2019-2020学年成都市高新区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年成都市高新区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列四个几何体中，左视图与主视图不同的是
A. B.
C. D.

2. 抛物线 y=x2−4x+3 与 y 轴的交点为
A. 1,1B. 0,3C. −1,2D. 2,−1

3. 下列函数中，图象过 2,−3 的反比例函数关系式是
A. y=−3xB. y=2xC. y=6xD. y=−6x

4. 三角尺 A 在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示，若 OA=20 cm，OAʹ=50 cm，则这个三角尺的周长与它在墙上的影子的周长的比是
A. 2:5B. 5:13C. 1:12D. 7:4

5. 用配方法解一元二次方程 x2−6x+2=0，配方正确的是
A. x+32=9B. x−32=9C. x+32=6D. x−32=7

6. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ∠OBA=40∘，则 ∠ACB=
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘

7. 下列命题中正确的是
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

8. 抛物线 y=2x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位，平移后的抛物线的解析式是
A. y=2x+12+5B. y=2x+12−5
C. y=2x−12−5D. y=2x−12+5

9. 某市 2015 年国内生产总值 GDP 比 2014 年增长 12%，预计 2016 年比 2015 年增长 7%，若这两年 GDP 平均增长率为 x%，则 x 应满足的关系是
A. 12%−7%=x%B. 1+12%1+7%=21+x%
C. 1+12%1+7%=1+x%2D. 12%+7%=2x%

10. 若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y=ax 与一次函数 y=bx+c 在同一坐标系中的大致图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如果 a−bb=23，那么 ab= ．

12. 如图，已知 ⊙O 的半径为 6，OA 与弦 AB 的夹角为 30∘，则弦 AB 的长是 ．

13. 阿华是一位非常爱读书的学生，他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国），《三国演义》（作者：罗贯中），《西游记》（作者：吴承恩），《骆驼祥子》（作者：老舍），《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼 ⋅ 奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到书签上的作者是中国人的概率是 ．

14. 点 A−3,y1，B2,y2 在抛物线 y=x2−5x 上，则 y1 y2．（填" > "，" <“或”= "）

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 计算：
（1）5−20−6tan30∘+12−2+1−3；
（2）解方程：xx−3+2x−6=0．

16. 如图：在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作 ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E（尺规作图的痕迹保留在图中），连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF=6，AB=5，求 AE 的长．

17. 如图，某测量员测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点 A 处测得树顶端 D 的仰角为 30∘，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60∘．已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1:3（即 AB:BC=1:3），且 B，C，E 三点在同一条直线上．
（1）求斜坡 AC 的长；
（2）请根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）．

18. 感恩节即将来临，小王调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A 类 −− 当面表示感谢、 B 类 −− 打电话表示感谢、 C 类 −− 发短信表示感谢、 D 类 −− 写书信表示感谢．他将调查结果绘制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：
（1）补全条形统计图；
（2）在 A 类的同学中，有 4 人来自同一班级，其中有 2 人主持过班会．现准备从他们 4 人中随机抽出两位同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出 1 人主持过班会而另一人没主持过班会的概率．

19. 如图，已知一次函数 y1=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y2=−8x 的图象交于 A，B 两点，与坐标轴交于 M，N 两点．且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是 −2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）观察图象，直接写出 y1>y2 时 x 的取值范围．

20. 已知：⊙O 上两个定点 A，B 和两个动点 C，D，AC，BD 交于点 E．
（1）如图 1，求证：EA⋅EC=EB⋅ED；
（2）如图 2，若 AB=BC，AD 是 ⊙O 的直径，求证：AD⋅AC=2BD⋅BC；
（3）如图 3，若 AC⊥BD，BC=4，⊙O 的半径为 4，求 AD 的长．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 ⊙O 的半径为 4，A，B 是 ⊙O 上的两点，∠AOB=120∘，C 是 AB 的中点．则四边形 OACB 的面积为 ．

22. 已知 a<26−1
23. 如图，已知双曲线 y=kxk≠0 与正比例函数 y=mxm≠0 交于 A，C 两点，以 AC 为边作等边三角形 ACD，且 S△ACD=203，再以 AC 为斜边作 Rt△ABC，使 AB∥y轴，连接 BD，若 △ABD 的周长比 △BCD 的周长多 4，则 k= ．

24. 如图，在三角形 ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=8，将 △ABC 折叠，使点 B 落在边 AC 上点 D（不与点 A 重合）处，折痕为 PQ，当重叠部分 △PQD 为等腰三角形时，则 AD 的长为 ．

25. 设点 Q 到图形 W 上每一个点的距离的最小值称为点 Q 到图形 W 的距离．例如正方形 ABCD 满足 A1,0，B2,0，C2,1，D1,1，那么点 O0,0 到正方形 ABCD 的距离为 1．
①如果点 N0,a 到直线 y=2x+1 的距离为 3，那么 a 的值是 ；
②如果点 G0,b 到抛物线 y=x2 的距离为 3，b 的值是 ．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元．调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元．设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（x 为正整数），月销售利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元?
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少?

27. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，E 是 OC 上任意一点，AG⊥BE 于点 G，交直线 BD 于点 F．
（1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，E 是 OC 上任意一点，AG⊥BE 于点 G，交直线 BD 于点 F，判断 AF 与 BE 的数量关系；
（2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=120∘，对角线 AC 与 BD 交于点 O，E 是 OC 上任意一点，AG⊥BE 于点 G，交直线 BD 于点 F，求 AFBE 的值；
（3）在（2）中，如果 ∠ABC=2α，点 E 是 OC 延长线上一点，其它条件不变．如图 3，含 α 的式子表示 AFBE 值（直接写出答案）．

28. 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．直线 y=kx+b 与抛物线 y=mx2−194x+n 同时经过 A0,3，B4,0．
（1）求 m，n 的值．
（2）点 M 是二次函数图象上一点，（点 M 在 AB 下方），过 M 作 MN⊥x 轴，与 AB 交于点 N，与 x 轴交于点 Q．求 MN 的最大值．
（3）在（2）的条件下，是否存在点 N，使 △AOB 和 △NOQ 相似?若存在，求出 N 点坐标，不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. D
4. A
5. D
6. B
7. C
8. D
9. C
10. D
第二部分
11. 53
12. 63
13. 35
14. >
第三部分
15. （1） 原式=1−6×33+4+3−1=4−3.
（2）
xx−3+2x−3=0x−3x+2=0x1=3,x2=−2.
16. （1） 由作图知：AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∴ AE 垂直平分 BF，
∴ BE=FE，
又 ∵ AF∥BE，
∴ ∠BEA=∠FAE=∠BAE，
∴ AB=BE，
∴ AB=AF=BE=EF，
∴ 四边形 ABEF 为菱形．
（2） ∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO=12FB=3，AE=2AO，
在 Rt△AOB 中，AO=52−32=4，
∴ AE=2AO=8．
17. （1） 在 Rt△ABC 中，
∵ABBC=13，AB=3，
∴BC=33，
AC=AB2+BC2=32+332=6米.
（2） 如图，设过点 A 的水平线与树 DE 的交点为 F，
则四边形 ABEF 为矩形，设 DE=x，
在 Rt△CDE 中，
CE=DEtan60∘=33x.
在 Rt△AFD 中，DF=DE−EF=x−3，
∴AF=x−3tan30∘=3x−3.
∵AF=BE=BC+CE，
∴3x−3=33+33x，
解得 x=9．
答：树高为 9 米．
18. （1） 调查的学生总数为 5÷10%=50（人），
C 类人数为 50×108∘360∘=15（人），
B 类人数为 50−5−15−12=18（人），
条形统计图为：
（2） 设主持过班会的两人分别为 A1，A2，另两人分别为 B1，B2，填表如下：
由列表可知，共有 12 种等可能情况，其中有 8 种符合题意，
∴ P抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会=812=23．
19. （1） 设点 A 坐标为 −2,m，点 B 坐标为 n,−2，
∵ 一次函数 y1=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y2=−8x 的图象交于 A，B 两点，
∴ 将 A−2,m，Bn,−2 代入反比例函数 y2=−8x 可得，m=4，n=4，
∴ 将 A−2,4，B4,−2 代入一次函数 y1=kx+b，可得
4=−2k+b,−2=4k+b, 解得 k=−1,b=2.
∴ 一次函数的解析式为 y1=−x+2；
（2） 在一次函数 y1=−x+2 中，
当 x=0 时，y=2，即 N0,2；当 y=0 时，x=2，即 M2,0，
∴S△AOB=S△AON+S△MON+S△MOB=12×2×2+12×2×2+12×2×2=2+2+2=6;
（3） 根据图象可得，当 y1>y2 时，x 的取值范围为：x<−2 或 020. （1） ∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴AEBE=DECE，
∴EA⋅EC=EB⋅ED．
（2） 如图 2，连接 OB 交 AC 于点 F，
∵AB=BC，
∴B 是劣弧 AC 的中点，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且 AF=CF=0.5AC，OB⊥AC，
∴∠CFB=90∘，
又 ∵AD 为 ⊙O 直径，
∴∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠CFB，
∴△CBF∽△DAB．
∴CFBD=BCAD，
故 CF⋅AD=BD⋅BC．
∴AC⋅AD=2BD⋅BC．
（3） 如图 3，连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 F，连接 DF，
∴AF 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADF=90∘，
过 O 作 OH⊥AD 于 H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90∘，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△AFD，
∴∠BAE=∠FAD，
∴BC=DF，
∴BC=DF=4．
∵⊙O 的半径为 4，
∴AF=8，
∴AD=AF2−DF2=82−42=43．
第四部分
21. 83
22. −5
23. 8
24. 8 或 82−8
25. 1±35，，−3 或 374
【解析】①设直线 y=2x+1 与 y 轴交于点 F，与 x 轴交于点 E，
则 E−12,0，F0,1，此题分两种情形讨论，
当 N 在 F 点的上边，如图，过点 N 作直线 y=2x+1 的垂线，垂足为点 G．
∵ △EOF∽△NGF，
∴ NGEO=NFEF，即 312=a−152，
∴ a=1+35；
当 N 在 F 点的下边，
同理可得 a=1−35；
故 a=1±35．
②点 G 在原点下面，b=−3；
点 G 在原点上面，x2+x2−b2=3，
x4+1−2bx2+b2−9=0，
Δ=1−2b2−4b2−9=−4b+37=0，
解得 b=374．
故 b 的值是 −3 或 374．
第五部分
26. （1） 根据题意得：
y=30+x−20230−10x=−10x2+130x+2300，
自变量 x 的取值范围是：0 （2） 当 y=2520 时，得 −10x2+130x+2300=2520，
解得 x1=2，x2=11（不合题意，舍去）
当 x=2 时，30+x=32（元）
答：每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元．
（3） 根据题意得：
y=−10x2+130x+2300=−10x−6.52+2722.5，
∵a=−10<0，
∴ 当 x=6.5 时，y 有最大值为 2722.5，
∵0 ∴ 当 x=6 时，30+x=36，y=2720（元），
当 x=7 时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2720 元．
27. （1） AF=BE；
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90∘，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在 △AFO 和 △BEO 中，
∠AOF=∠BOE,∠FAO=∠EBO,AO=BO,
∴△AFO≌△BEO，
∴AF=BE．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=120∘，
∴AC⊥BD，∠ABO=60∘，
∴∠FAO+∠AFO=90∘，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90∘，
∴∠AFO=∠BEA，
又 ∵∠AOF=∠BOE=90∘，
∴△AOF∽△BOE，
∴AFBE=AOOB，
∵∠ABO=60∘，AC⊥BD，
∴AOOB=tan60∘=3，
∴AFBE=3．
（3） AFBE=tanα．
28. （1） ∵ 抛物线 y=mx2−194x+n 经过两点 A0,3，B4,0，
m×02−194×0+n=3,m×42−194×4+n=0.
解得 m=1,n=3.
所以二次函数的表达式为 y=x2−194x+3．
（2） 经过 AB 两点的一次函数的解析式为 y=−34x+3．
MN=−34x+3−x2−194x+3=−x2+4x=−x−22+4．
∵0≤x≤4，
∴ 当 x=2 时，MN 取得最大值为 4．
（3） 存在．
①当 ON⊥AB 时，如图．
∵∠NOQ+∠AON=∠OAB+∠AON=90∘，
∴∠NOQ=∠OAB．
∵∠OQN=∠AOB=90∘．
∴△OQN∽△AOB．
∴ONAB=NQOB=OQOA
∵OA=3，OB=4．
∴AB=5．
∵ON⋅AB=OA⋅OB，
∴ON=125．
∴NQ=4825，OQ=3625．
∴N3625,4825
②当 N 为 AB 中点时，如图．
∠B=∠NOQ，∠AOB=∠NQO=90∘，
∴△AOB∽△NQO．
此时 N2,32．
∴ 满足条件的 N3625,4825 或 N2,32．