2019-2020学年安徽省合肥市八下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年安徽省合肥市八下期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值范围是
A. q16C. q≤4D. q≥4

2. 若代数式 x−2x−1 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x≥1B. x≥2C. x>1D. x>2

3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=6，且 ∠ABC=90∘，则四边形 ABCD 的面积是
A. 2B. 12+2C. 1+2D. 1+22

4. 某市某一周的 PM2.5（大气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周 PM2.5 指数的众数和中位数分别是
PM2.5指数150155160165天数3211
A. 150，150B. 150，155C. 155，150D. 150，152.5

5. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014 年为 10.8 万人次，2016 年为 16.8 万人次，设参观人次的平均年增长率为 x，则
A. 10.81+x=16.8
B. 16.81−x=10.8
C. 10.81+x2=16.8
D. 10.81+x+1+x2=16.8

6. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 AB 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 G，过 G 作 GE⊥AD 于点 E，若 AB=2，且 ∠1=∠2，则下列结论正确的个数有 个．
① DF⊥AB；② CG=2GA；③ CG=DF+GE；④ S四边形BFGC=3−1．
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M，N，满足 AB=2MN，点 P 是 BC 的中点，连接 AN，PM，若 AB=6，则当 AN+PM 的最小值时，线段 AN 的长度为
A. 4B. 25C. 6D. 35

8. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2−8x+7=0 的两个根，则这个直角三角形的斜边的长是
A. 3B. 3C. 6D. 9

9. 如图，正方形 ABCD 的对角线上一动点 P，作 PM⊥AD 于点 M，PN⊥CD 于点 N，连接 BP，BN，若 AB=3，BP=5，则 BN 的长为
A. 15B. 13 或 10C. 4D. 5

10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD 是 ∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是
A. 2.4B. 4C. 4.8D. 5

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 计算：12+1−8+3−1= ．

12. 如图，一张三角形纸片 ABC，∠C=90∘，AC=8 cm，BC=6 cm．现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于 cm．

13. 如图，某小区计划在一块长为 32 m，宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570 m2，则道路宽 x 为 m．

14. 如图，正方形 ABCD 中，AD=4，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB 于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将 △EFG 沿 EF 翻折，得到 △EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 边的中点，则 △EMN 的周长是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 先化简，再求值：2aa−1+a1−a÷a，其中 a=2+1

16. 若 x−y+y2−4y+4=0，求 1x+1y 的值．

17. 观察，猜想，证明．
观察下列的等式：
① 223=2+23；② 338=3+38；③ 4415=4+415⋯
（1）发现上述 3 个等式的规律，猜想第 5 个等式并进行验证；
（2）写出含字母 n（n 为任意自然数，且 n≥2）表示的等式，并写出证明过程．

18. 为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级 50 名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数分布表和未完成的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校九年级 50 名学生跳高测试成绩的频数分布表：
组别m频数1.09∼∼∼∼1.4910

（1）求 a 的值，并把频数分布直方图补充完整；
（2）该年级共有 500 名学生，估计该年级学生跳高成绩在 1.29 m（含 1.29 m）以上的人数．

19. 如图，矩形 ABCD 中，AB=9，AD=4．E 为 CD 边上一点，CE=6，点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着边 BA 向终点 A 运动，连接 PE．设点 P 运动的时间为 t 秒．
（1）求 AE 的长；
（2）当 t 为何值时，△PAE 为直角三角形?
（3）是否存在这样的 t，使 EA 恰好平分 ∠PED，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

20. 解下列关于 x 的方程并化简到最简式：
（1）x2−9x+20=0；
（2）x2+bx+2c=0 且 c2−cb2−2b4=0（字母只保留 b）；
（3）m−1x2+2mx+m+3=0（字母只保留 m）．

21. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 BN，连接 EN，AM，CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB．
（2）①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小?
②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小?并说明理由．
（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 3+1 时，求正方形的边长．

22. 机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油的重复利用率仍为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克?
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油的重复利用率将增加 1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?

23. 已知，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，E 为边 AC 任意一点，连接 BE．
（1）如图 1，若 ∠ABE=15∘，O 为 BE 中点，连接 AO，且 AO=1，求 BC 的长；
（2）如图 2，F 也为 AC 上一点，且满足 AE=CF，过 A 作 AD⊥BE 交 BE 于点 H，交 BC 于点 D，连接 DF 交 BE 于点 G，连接 AG．
①若 AG 平分 ∠CAD，求证：AH=12AC；
②如图 3，当 G 落在 △ABC 外时，若将 △EFG 沿 EF 边翻折，点 G 刚好落在 BC 边上点 P，试猜想 AG 与 EF 的数量关系，不需证明．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B【解析】在 Rt△ABC 中，AB=1，BC=1，
根据勾股定理得：AC=12+12=2，
在 △ACD 中，CD=2，AD=6，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD 为直角三角形，
则 S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×1×1+12×2×2=12+2．
4. B
5. C
6. C【解析】因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 ∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，
因为 ∠1=∠2，
所以 ∠GAD=∠2，
所以 AG=GD，
因为 GE⊥AD，
所以 GE 垂直平分 AD，
所以 AE=ED，
因为 F 为边 AB 的中点，
所以 AF=AE，
在 △AFG 和 △AEG 中，
AF=AE,∠FAG=∠EAG,AG=AG.
所以 △AFG≌△AEGSAS，
所以 ∠AFG=∠AEG=90∘，
所以 DF⊥AB，
所以①正确．
连接 BD，
因为 DF⊥AB，F 为边 AB 的中点，
所以 AF=12AB=1，AD=BD，
因为 AB=AD，
所以 AD=BD=AB，
所以 △ABD 为等边三角形，
所以 ∠BAD=∠BCD=60∘，
所以 ∠BAC=∠1=∠2=30∘，
所以 AC=2AB⋅cs∠BAC=2×2×32=23，
AG=AFcs∠BAC=132=233，
所以 CG=AC−AG=23−233=433，
所以 CG=2GA，
所以②正确．
因为 GE 垂直平分 AD，
所以 ED=12AD=1，
由勾股定理得：DF=AD2−AF2=22−12=3，
GE=EDtan∠2=tan30∘×1=33，
所以 DF+GE=3+33=433=CG，
所以③正确．
因为 ∠BAC=∠1=30∘，
所以 △ABC 的边 AC 上的高等于 AB 的一半，即为 1，FG=12AG=33，
S四边形BFGC=S△ABC−S△AGF=12×23×1−12×1×33=3−36=536.
所以④不正确．
7. B【解析】过 P 作 PE∥BD 交 CD 于点 E，连接 AE 交 BD 于点 N，过 P 作 PM∥AE 交 BD 于点 M，
此时，AN+PM 的值最小，
∵P 是 BC 的中点，PE∥BD，
∴E 为 CD 的中点，
∴PE=12BD，
∵AB=22BD，AB=2MN，
∴MN=12BD，
∴PE=MN，
∴ 四边形 PENM 是平行四边形，
∴EN=PM，
∵AE=AD2+DE2=35，
∵AB∥CD，
∴△ABN∽△EDN，
∴ANNE=ABDE=2，
∴AN=25．
8. B【解析】∵ −82−4×2×7=8>0，
∴ 设两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则 a+b=4，ab=72，
∴c=a2+b2=a+b2−2ab=42−2×72=9=3.
9. B【解析】延长 NP 交 AB 于点 H．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC=45∘，AB∥CD，
∴PN⊥CD，
∵PN⊥AB，
∴∠HAP=∠HPA=45∘，
∴AH=PH，
设 AH=PH=x，则 BH=3−x，
在 Rt△PBH 中，
∵PB2=PH2+BH2，
∴x2+3−x2=52，
∴x=1或2，
当 x=1 时，BH=CN=2，在 Rt△BCN 中，BN=BC2+CN2=32+22=13，
当 x=2 时，BH=CN=1，在 Rt△BCN 中，BN=BC2+CN2=32+12=10．
综上所述，BN 的长为 13 或 10．
10. C
【解析】如图，过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线．
∴PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10．
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245，
即 PC+PQ 的最小值为 4.8．
第二部分
11. 3−2−2
【解析】原式=2−1−22+3−1=3−2−2.
12. 154
13. 1
【解析】设道路的宽为 x m .
根据题意得：32×20−32x−2×20x+2x2=570，
整理得：x2−36x+35=0，
解得：x=1 或 x=35（不合题意，舍去）．
14. 52+102
【解析】解法一：
如图 1，过 E 作 PQ⊥DC，交 DC 于点 P，交 AB 于点 Q，连接 BE，
∵ DC∥AB，
∴ PQ⊥AB，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠ACD=45∘，
∴ △PEC 是等腰直角三角形，
∴ PE=PC，
设 PC=x，则 PE=x，PD=4−x，EQ=4−x，
∴ PD=EQ，
在 △DPE 和 △EQF 中，
∵ ∠DPE=∠EQF=90∘,∠PED=∠EFQ,PD=EQ,
∴ △DPE≌△EQF，
∴ DE=EF，
∵ DE⊥EF，
∴ △DEF 是等腰直角三角形，
由对称性易证明 △DEC≌△BEC，
∴ DE=BE，
∴ EF=BE，
∵ EQ⊥FB，
∴ FQ=BQ=12BF，
∵ AB=4，F 是 AB 的中点，
∴ BF=2，
∴ FQ=BQ=PE=1，
∴ CE=2，PD=4−1=3，
Rt△DAF 中，DF=42+22=25，DE=EF=10，
如图 2，
∵ DC∥AB，
∴ △DGC∽△FGA，
∴ CGAG=DCAF=DGFG=42=2，
∴ CG=2AG，DG=2FG，
∴ FG=13×25=253，
∵ AC=42+42=42，
∴ CG=23×42=823，
∴ EG=823−2=523，
连接 GM，GN，交 EF 于点 H，
∵ ∠GFE=45∘，
∴ △GHF 是等腰直角三角形，
∴ GH=FH=2532=103，
∴ EH=EF−FH=10−103=2103，
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=103，
∴ ∠EHM=∠DEF=90∘，
∴ DE∥HM，
∴ △DEN∽△MHN，
∴ DEMH=ENNH，
∴ 10103=ENNH=3，
∴ EN=3NH，
∵ EN+NH=EH=2103，
∴ EN=102，
∴ NH=EH−EN=2103−102=106，
Rt△GNH 中，GN=GH2+NH2=1032+1062=526，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴ △EMN 的周长 =EN+MN+EM=102+526+523=52+102；
解法二：
如图 3，过 G 作 GK⊥AD 于点 K，作 GR⊥AB 于点 R，
∵ AC 平分 ∠DAB，
∴ GK=GR，
∴ S△ADGS△AGF=12AD⋅KG12AF⋅GR=ADAF=42=2，
∵ S△ADGS△AGF=12DG⋅h12GF⋅h=2，
∴ DGGF=2，
同理，S△DNFS△MNF=DFFM=DNMN=3，
其它解法同解法一，可得：
∴ △EMN 的周长 =EN+MN+EM=102+526+523=52+102；
解法三：
如图 4，过 E 作 EP⊥AP，EQ⊥AD，
∵ AC 是对角线，
∴ EP=EQ，
易证 △DQE 和 △FPE 全等，
∴ DE=EF，DQ=FP，且 AP=EP，
设 EP=x，则 DQ=4−x=FP=x−2，解得 x=3，
∴ PF=1，
∴ AE=32+32=32，
∵ DC∥AB，
∴ △DGC∽△FGA，
∴ 同解法一得：CG=23×42=823，
∴ EG=823−2=523，AG=13AC=423，
过 G 作 GH⊥AB，过 M 作 MK⊥AB，过 M 作 ML⊥AD，
则易证 △GHF≌△FKM，
∴ GH=FK=43，HF=MK=23，
∵ ML=AK=AF+FK=2+43=103，DL=AD−MK=4−23=103，即 DL=LM，
∴ ∠LDM=45∘，
∴ DM 在正方形对角线 DB 上，
过 N 作 NI⊥AB，则 NI=IB，
设 NI=y，
∵ NI∥EP，
∴ NIEP=FIFP，
∴ y3=2−y1，解得 y=1.5，
∴ FI=2−y=0.5，
∴ I 为 FP 的中点，
∴ N 是 EF 的中点，
∴ EN=0.5EF=102，
∵ △BIN 是等腰直角三角形，且 BI=NI=1.5，
∴ BN=322，BK=AB−AK=4−103=23，BM=232，MN=BN−BM=322−232=562，
∴ △EMN 的周长 =EN+MN+EM=102+526+523=52+102．
第三部分
15. 原式=2a−aa−1×1a=1a−1.
当 a=2+1 时，
原式=22．
16. x−y+y2−4y+4=0，
∴x−y+y−22=0，
∴x−y=0,y−2=0,
解得 x=2,y=2,
∴1x+1y=12+12=1．
17. （1） 猜想：6635=6+635，
验证：
右边=6+635=210+635=21635=36×635=6635=左边.
（2） 第 n−1 个等式：n⋅nn2−1=n+nn2−1；
证明：
右边=n+nn2−1=nn2−1+nn2−1=n3−n+nn2−1=n3n2−1=n⋅nn2−1=左边.
18. （1） a=50−8−12−10=20，a 的值是 20．
补全频数分布直方图如图所示．
（2） 500×20+1050=500×35=300（名）．
答：该年级学生跳高成绩在 1.29 m 以上的人数为 300 名．
19. （1） ∵ 矩形 ABCD 中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90∘，
∴DE=9−6=3，
∴AE=DE2+AD2=32+42=5．
（2） ①若 ∠EPA=90∘，t=6；
②若 ∠PEA=90∘，
过 E 作 EF⊥AB 于 F，
则 EF=AD=4，PF=BF−BP=CE−BP=6−t，PA=9−t，
根据勾股定理 PE2=EF2+PF2，PE2+AE2=PA2，得到 6−t2+42+52=9−t2，
解得 t=23．
综上所述，当 t=6 或 t=23 时，△PAE 为直角三角形．
（3） 假设存在．
∵EA 平分 ∠PED，
∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴6−t2+42=9−t2，
解得 t=296．
∴ 满足条件的 t 存在，此时 t=296．
20. （1） ∵x2−9x+20=0，
∴x−4x−5=0，
则 x−4=0 或 x−5=0，
解得：x=4 或 x=5，
∴x1=4，x2=5．
（2） ∵c2−cb2−2b4=0，
∴c+b2c−2b2=0，
则 c=−b2 或 c=2b2，
∵Δ=b2−8c，
∴ 当 c=−b2 时，Δ=b2+8b2=9b2≥0，则 x=−b±9b22=−1±32b，
x1=b，x2=−2b，
当 c=2b2 时，Δ=b2−16b2=−15b2≤0，
仅当 b=c=0 时有解，此时 x1=x2=0．
（3） ∵a=m−1，b=2m，c=m+3，
∴Δ=2m2−4m−1m+3=−8m+12，
当 −8m+1232 时，方程无解；
当 −8m+12≥0，即 m≤32 且 m≠1，x=−2m±12−8m2m−1=−m±3−2mm−1；
当 m=1 时，方程为 2x+4=0，解得 x=−2．
21. （1） ∵△ABE 是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60∘．
∵∠MBN=60∘，
∴∠MBN−∠ABN=∠ABE−∠ABN．即 ∠MBA=∠NBE．
又 MB=NB，
∴△AMB≌△ENBSAS．
（2） ①当 M 点落在 BD 的中点时，AM+CM 的值最小．
②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小．
理由如下：连接 MN．
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN．
∵∠MBN=60∘，MB=NB，
∴△BMN 是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短，
∴ 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长．
（3） 过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于点 F，
∴∠EBF=90∘−60∘=30∘．
设正方形的边长为 x，则 BF=32x，EF=x2．
在 Rt△EFC 中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴x22+32x+x2=3+12．
解得，x=2（舍去负值），
∴ 正方形的边长为 2．
22. （1） 由题意，得 70×1−60%=70×40%=28（千克）．
（2） 设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克，
由题意，得
x×1−90−x×1.6%−60%=12,
整理，得
x2−65x−750=0,
解得：
x1=75,x2=−10舍去,90−75×1.6%+60%=84%;
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克．
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84%．
23. （1） 如图 1 中，在 AB 上取一点 M，使得 BM=ME，连接 ME．
在 Rt△ABE 中，
∵OB=OE，
∴BE=2OA=2，
∵MB=ME，
∴∠MBE=∠MEB=15∘，
∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30∘，
设 AE=x，则 ME=BM=2x，AM=3x，
∵AB2+AE2=BE2，
∴2x+3x2+x2=22，
∴x=6−22（负根已经舍弃），
∴AB=AC=2+3⋅6−22，
∴BC=2AB=3+1．
（2） ①如图 2 中，作 CP⊥AC，交 AD 的延长线于点 P，GM⊥AC 于点 M．
∵BE⊥AP，
∴∠AHB=90∘，
∴∠ABH+∠BAH=90∘，
∵∠BAH+∠PAC=90∘，
∴∠ABE=∠PAC，
在 △ABE 和 △CAP 中，∠ABE=∠PAC,AB=AC,∠BAE=∠ACP=90∘,
∴△ABE≌△CAP，
∴AE=CP=CF，∠AEB=∠P，
在 △DCF 和 △DCP 中，CD=CD,∠DCF=∠DCP,CF=CP,
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC=∠P，
∴∠GFE=∠GEF，
∴GE=GF，
∵GM⊥EF，
∴FM=ME，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
∴AM=CM，
在 △AGH 和 △AGM 中，∠GAH=∠GAM,∠AHG=∠AMG,AG=AG,
∴△AGH≌△AGM，
∴AH=AM=CM=12AC；
②结论：AG=322EF．
理由：如图 3 中，作 CM⊥AC 交 AD 的延长线于点 M，连接 PG 交 AC 于点 O．
由（2）可知 △ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，
∴∠AEB=∠M=∠GEF，∠M=∠CFD=∠GFE，AE=CM=CF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∵△EFP 是由 △EFG 翻折得到，
∴EG=EP=GF=PF，
∴ 四边形 EGFP 是菱形，
∴PG⊥AC，OE=OF，
∵AE=CF，
∴AO=OC，
∵AB∥OP，
∴BP=PC，
∵PF∥BE，
∴EF=CF=AE，
∵PB=PC，AO=OC，
∴PO=OG=12AB，
∴AB=PG，AB∥PG，
∴ 四边形 ABPG 是平行四边形，
∴AG∥BC，
∴∠GAO=∠ACB=45∘，
设 EO=OF=a，则 OA=OG=3a，AG=32a，
∴AGEF=32a2a=322，
∴AG=322EF．