2019-2020学年杭州市拱墅区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年杭州市拱墅区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面直角坐标系中，已知点 P−2,3，则点 P 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 不等式 2x−1<3 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A−∠B=70∘，则 ∠A 的度数为
A. 80∘B. 70∘C. 60∘D. 50∘

4. 下列各点中，在直线 y=2x−3 上的是
A. 0,3B. 1,1C. 2,1D. −1,5

5. 如图，在 △ABM 和 △CDN 中，A，C，B，D 在同一条直线上，MB=ND，MA=NC，则下列条件中能判定 △ABM≌△CDN 的是
A. ∠MAB=∠NCDB. ∠MBA=∠NDC
C. AC=BDD. AM∥CN

6. 如图，O 为数轴原点，A，B 两点分别对应 −3，3，作腰长为 4 的等腰 △ABC，连接 OC，以 O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点 M，则点 M 对应的实数为
A. 7B. 4C. 5D. 2.5

7. 关于 x 的不等式组 3x−1>4x−1,xA. a>3B. a≥3C. a<3D. a≤3

8. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，对于下列结论：① AD⊥BC；② AE=AF；③ AD 上任意一点到 AB，AC 的距离相等；④ AD 上任意一点到点 B，点 C 的距离相等．其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 如图，直线 y=23x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C，D 分别为线段 AB，OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，则 PC+PD 的最小值为
A. 2+13B. 5C. 213D. 6

10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 为 BC 的中点，将 △ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为
A. 95B. 125C. 165D. 185

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 ，该逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）．

12. “5 与 m 的 2 倍的和是正数”可以用不等式表示为 ．

13. 若 xa−3y，则 a 的取值范围是 ．

14. 若点 Mk−1,k+1 在第三象限内，则一次函数 y=k−1x+k 的图象不经过第 象限．

15. 如图，在 △PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若 ∠MKN=43∘，则 ∠P 的度数为 度．

16. 如图放置的 △OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯ 都是边长为 1 的等边三角形，点 A 在 x 轴上，点 O，B1，B2，B3，⋯ 都在直线 l 上，则点 A2 的坐标是 ，点 A2017 的坐标是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 如图，在 △AFD 和 △CEB 中，点 A，E，F，C 在同一条直线上，有下列四个判断：① AD=CB；② AE=CF；③ ∠B=∠D；④ ∠A=∠C．请以其中三个为已知条件，剩下一个作为结论，编一道数学题（用序号 ⊗⊗⊗⇒⊗ 的形式写出），并写出证明过程．

18. 已知长度分别为 2，4，x 的三条线段可以组成一个三角形，且 x 为正整数．
（1）用记号 2,4,x 表示一个符合条件的三角形，试求出所有符合条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出符合上述条件的等腰三角形（用给定的单位长度，不写
作法，保留作图痕迹）．

19. 解下列一元一次不等式（组）：
（1）4x+1≤8−3x，并把解集在数轴上表示出来．
（2）3−5x
20. 如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A1,1，B4,2，C3,4．
（1）作出将 △ABC 先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位后的图形 △A1B1C1，并写出 △A1B1C1 三个顶点的坐标；
（2）作出 △ABC 关于 x 轴对称的图形 △A2B2C2；
（3）求 △ABC 的面积，并求出 AC 边上高的长．

21. 甲仓库有水泥 110 吨，乙仓库有水泥 70 吨，现要将这些水泥全部运往 A，B两工地，调运任务承包给某运输公司．已知 A 工地需水泥 100 吨，B 工地需水泥 80 吨，从甲仓库运往 A，B 两工地的路程和每吨每千米的运费如表：
（1）设甲仓库运往 A工地水泥 x 吨，则甲仓库运往 B工地水泥 吨，乙仓库运往 A 工地水泥 吨，乙仓库运往 B工地水泥 吨（用含 x 的代数式表示）；
（2）求总运费 W 关于 x 的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（3）当甲、乙两仓库各运往 A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省?最省的总运费是多少?

22. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=3 cm，BC=5 cm，点 D 在线段 AC 上，且 CD=1 cm，动点 P 从 BA 的延长线上距 A 点 5 cm 的 E 点出发，以每秒 2 cm 的速度沿射线 EA 的方向运动了 t 秒．
（1）直接用含有 t 的代数式表示 PE= ；
（2）在运动过程中，是否存在某个时刻，使 △ABC 与以 A，D，P 为顶点的三角形全等?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
（3）求 △CPB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并画出图象．

23. 如图，在平面直角坐标系中，过点 A 的两条直线分别交 y 轴于 B0,3，C0,−1 两点，且 ∠ABC=30∘，AC⊥AB 于 A．
（1）求线段 AO 的长，及直线 AC 的解析式；
（2）若点 D 在直线 AC 上，且 DB=DC，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线 BD 上是否存在点 P，使以 A，B，P 三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. A
4. C
5. C
6. A
7. B
8. D
9. B
10. D
第二部分
11. 两直线平行，同旁内角互补，真
12. 5+2m>0
13. a<3
14. 一
15. 94
16. 2,3，20192,201732
【解析】∵ △OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯ 都是边长为 1 的等边三角形，
∴ B1A1∥x轴，B2A2∥x轴，⋯，BnAn∥x轴，
∴ 点 B1 的坐标为 12,32，点 B2 的坐标为 1,3，点 B3 的坐标为 32,332，点 B4 的坐标为 2,23，⋯，
∴ 点 Bn 的坐标为 n2,n32（n 为正整数），
∴ 点 An 的坐标为 n2+1,n32（n 为正整数）．
当 n=2 时，点 A2 的坐标为 2,3；
当 n=2017 时，点 A2017 的坐标为 20192,201732．
第三部分
17. ①②④ ⇒ ③．
证明：
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，
在 △ADF 和 △CBE 中，AD=CB,∠A=∠C,AF=CE,
∴△ADF≌△CBESAS，
∴∠B=∠D．
18. （1） 由题意得：4−2 ∴2 ∵x 为整数，
∴x 的值为 3 和 4，5，
∴ 符合条件的三角形为 2,3,4，2,4,4，2,4,5．
（2） 如图，AB=2，AC=BC=4，△ABC 即为所求三角形．
19. （1） 7x≤7，
x≤1，
在数轴上数轴表示为：
；
（2） 3−5x解 ① 得 x>12，
解 ② 得 x≤125，
所以不等式组的解集为 1220. （1） 如图 1，△A1B1C1 即为所求；
三个顶点的坐标分别为 A1−3,2，B10,3，C1−1,5．
（2） 如图 2，△A2B2C2 即为所求．
（3） ∵S△ABC=3×3−12×2×3−12×1×3−12×2×1=9−3−32−1=72,
AC=22+32=13，
∴ AC 边上的高 =72×213=71313．
21. （1） 110−x；100−x；x−30
【解析】设甲仓库运往 A工 地水泥 x 吨，则甲仓库运往 B 工地水泥 110−x 吨，乙仓库运往 A工地水泥 100−x 吨，乙仓库运往 B工地水泥 80−110−x=x−30 吨．
（2） 根据题意得：
W=1×25x+1.2×20110−x+0.8×20100−x+1.2×15x−30=3x+3700.
∵ x≤100,110−x≤80,
∴ 30≤x≤100．
∴ 总运费 W 关于 x 的函数关系式为 W=3x+370030≤x≤100．
（3） ∵ 在 W=3x+3700 中 k=3>0，
∴ W 随着 x 的增加而增加，
∴ 当 x=30 时，W 取最小值，最小值为 3790，
∴ 110−x=80，100−x=70；x−30=0．
答：当甲仓库运往 A 地水泥 30 吨、运往 B 地水泥 80 吨、乙仓库运往 A 地水泥 70 吨、运往 B 地水泥 0 吨时，总运费最省，最省的总运费是 3790 元．
22. （1） 2tcm
【解析】由题意 PE=2tcm．
（2） 存在．
理由：在 Rt△ABC 中，
∵ AB=3，BC=5，
∴ AC=BC2−AB2=52−32=4，
∵ CD=1，
∴ AD=AB=3，
∵ △ABC≌△ADP，
∴ PA=AC=4，
∴ 5−2t=4 或 2t−5=4，
∴ t=12或92．
∴ t=12或92 时，使 △ABC 与以 A，D，P 为顶点的三角形全等．
（3） ①当 0≤t≤4 时，S=12PB⋅AC=12⋅8−2t⋅4=16−4t．
②当 t>4 时，
S=12PB⋅AC=12⋅2t−8⋅4=4t−16．
综上所述，S=16−4t,04．
函数图象如图所示：
23. （1） ∵ B0,3，
∴ OB=3，
∵ ∠ABC=30∘，
∴ AOBO=tan30∘，即 AO3=33，
∴ AO=3，
∴ A−3,0，且 C0,−1，
∴ 可设直线 AC 解析式为 y=kx−1，
把 A 点坐标代入可得 0=−3k−1，解得 k=−33，
∴ 直线 AC 解析式为 y=−33x−1．
（2） ∵ DB=DC，
∴ 点 D 在线段 BC 的垂直平分线上，
∵ B0,3，C0,−1，
∴ 线段 BC 的中点为 0,1，
∴ D 点纵坐标为 1，
∵ 点 D 在直线 AC 上，
∴ 1=−33x−1，解得 x=−23，
∴ D 点坐标为 −23,1．
（3） 存在满足条件的点 P，其坐标为 −3,2 或 3,3+3 或 −3,3−3 或 −33,0．
【解析】∵ B0,3，D−23,1，
∴ 可设直线 BD 解析式为 y=mx+3，
∴ 1=−23m+3，解得 m=33，
∴ 直线 BD 解析式为 y=33x+3，
∴ 可设 P 点坐标为 t,33t+3，
∵ A−3,0，B0,3，
∴ BP=t2+33t+3−32=233t，AP=t+32+33t+32=213t2+3t+3，AB=32+32=23，
当以 A，B，P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，有 BP=AP，BP=AB 和 AP=AB 三种情况，
①当 BP=AP 时，则有 233t=213t2+3t+3，解得 t=−3，此时 P 点坐标为 −3,2；
②当 BP=AB 时，则有 233t=23，解得 t=3 或 t=−3，此时 P 点坐标为 3,3+3 或 −3,3−3；
③当 AP=AB 时，则有 213t2+3t+3=23，解得 t=0（此时与 B 点重合，舍去）或 t=−33，此时 P 点坐标为 −33,0；
综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为 −3,2 或 3,3+3 或 −3,3−3 或 −33,0．