专题10 动点类综合题目探究（教师版）学案

这是一份专题10 动点类综合题目探究（教师版）学案，共14页。

例1. （2019·巴中）如图，抛物线（a≠0）经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为.
（1）求抛物线解析式；
（2）动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时动点E从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动. 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动. 设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值.
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于Q，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标.
【分析】（1）由OB=OC，得B点坐标为(5,0)，将A（1,0）及B(5,0)代入，可求得a、b；（2）过点E作EH垂直x轴于H，用时间t表示出线段BP、EH的长，利用S△PBE=求得面积最大值及t值；（3）由AM∥NQ可知，平行四边形有两种情况，AMQN和AMNQ，即A点对点有可能是N或Q，利用平面直角坐标系中平行四边形对点横坐标和及纵坐标和相等求解.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知：C（0,5），由直线y=x+n过点B、C，得：OB=OC=5，
∴B(5,0)，
将A(1,0)、B(5,0)代入，得：
，
解得：，
即抛物线解析式为：.
（2）过点E作EH⊥x轴于H，
由OC=OB知，∠OBC=45°，
∴EH=，
由题意知：AP=t，BP=4－t，BE=2t，EH=t，0≤t≤，
∴
，
∴当t=2时，△BEH的面积取最大值，最大值为.
（3）由（2）知：AM=,
∴M(3,－2),
设N（m，-m2+6m－5），Q（x，x－5）
当平行四边形为AMNQ时，得：
，
解得：x=或x=；
当平行四边形为AMQN时，得：
，
解得：x=1（舍去）或x=4；
综上所述，N点的横坐标为、或4.
题型二：一次函数与圆结合及特殊三角形存在性问题
例2.（2019·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(－3,0)，B（3,0）.
（1）如图1，已知圆P经过点O，且与直线l1相切于点B，求圆P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y=3x－3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆.
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与圆Q相切；
②设圆Q与直线l1相交于M、N两点，连接QM、QN，问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.
【分析】（1）连接BP、OP，可得：△OBP是等腰直角三角形，进而求得圆P的半径OP；（2）①过C作CE⊥l1于E，求出CE的长，利用切线定义证明；②设直线l1与l2相交于点F，根据Q的位置分两种情况讨论：Q在线段BF上或Q在线段BF的延长线上.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接BP、OP，
由题意知：OB=OA=3，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵AB与圆P相切于B，
∴∠PBA=90°，
∴∠OBP=45°，
又BP=OP，
∴∠POB=45°，∠BPO=90°，
即△OBP是等腰直角三角形，
∴BP= ，
故圆P的直径为.
（2）①过C作CE⊥l1于E，如下图所示，
由题意知：∠EAC=45°，AC=4，
∴CE=,
∵点Q与点C重合时，圆Q的半径为，
∴直线l1与圆Q相切.
②设直线l1与l2相交于点F，当Q在线段DF上时，如下图所示，
由∠NMQ=∠NQM=∠MAC=45°，
得：MQ∥x轴，NQ∥y轴，
设Q(t，3t－3)，则M(3t－6,3 t－3)，N(t,t+3)，
由MQ=得：t－（3t－6）=，
解得：t=3－，3 t－3=6－3
∴点Q的坐标为：（3－，6－3）；
当点Q在线段DF延长线时，如下图所示，
设Q(t，3t－3)，则N(3t－6,3 t－3)，M(t,t+3)，
由MQ=得：3t－3－（t+3）=，
解得：t=3+，3 t－3=6+3
∴点Q的坐标为：（3+，6+3）；
综上所述，当△QMN是等腰直角三角形时，点Q的坐标为：（3－，6－3）或（3+，6+3）.
题型三：二次函数中线段最值问题及特殊平行四边形存在性问题
例3.（2019·南充）如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值.
②点D关于点E的对称点为F. 当m为何值时，四边形MDNF为矩形？
【分析】（1）由题意得C(0,－3)，将A、B、C点坐标代入求得a、b、c值；（2）根据P点所处位置不同分类讨论，借助三角函数或相似三角形性质求解；（3）①利用待定系数法求出直线MN的解析式，进而根据D、E的位置关系求得DE的值为两点纵坐标的差；②利用矩形的性质，得：
代入求解.
【答案】见解析.
【解析】
解：（1）∵OB=OC，B（-3,0），
∴C（0，-3）
可得：
解得：.
即抛物线解析式为：.
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如下图所示，
由题意知：∠BAG=∠ABG=45°，
∴BG=AG=AB·sin45°=
BC=，
∴CG=BC-BG=，
∴tan∠ACG=
设P（），过点P作PQ⊥x轴于Q，tan∠POQ=tan∠ACG=.
①当P在x轴上方时，
则PQ=，
tan∠POQ=
即
解得，
∴
②当点P在第三象限时，，
即，
解得：，
∴
③当点P在第四象限时，∠POB＞90°，而∠ACB＜90°，
故点P不在第四象限；
综上所述，点P坐标为，，，.
①∵
即，
设直线MN解析式为，
可得：
解得：
故MN解析式为：
设，
∴DE=
，
即当时，DE最大值为4.
②当DE最大时，点为线段MN的中点.
∵点E为DF的中点，
∴当DE最大时，四边形MDNF为平行四边形.
如果□MDNF为矩形，则
故，
化简得，，
解得：.
当或时，四边形MDNF为矩形
题型四：二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题
例4.（2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
【答案】见解析.
【解析】
解：（1）由题意得，k+4=-2，
解得k=-2，
二次函数顶点为（0,4），
∴c=4，
把（1,2）代入二次函数表达式得：a+c=2，
解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，
令y=m，得2x2+m-4=0
即，
设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7.
题型五：二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题
例5.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点. 点P为抛物线的顶点.
（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数；
（2）当m=3时，求该抛物线上好点坐标；
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围.
【分析】（1）（2）分别作出图形，可求得好点的个数及坐标；（3）根据抛物线顶点坐标，作出图形，分析m的取值范围.
【答案】见答案.
【解析】解：
（1）当m=0时，二次函数的表达式为，
画出如下函数图象，

∵当x=0时，y=2; 当x=1时，y=1,
∴抛物线经过点（0,2）和（1,1）.
∴好点有：（0,0），（0,1），（0,2），（1,0）和（1,1），共5个.
（2）当m=3时，二次函数的表达式为，
画出函数图象,
∵当x=1时，y=1; 当x=2时，y=4; 当x=4时，y=4.
∴该抛物线上存在好点，坐标分别是（1,1），（2,4）和（4,4）.
（3）∵抛物线顶点P的坐标为（m,m+2）,
故点P在直线y=x+2上.
由于点P在正方形内部，则0＜m＜2.
由图知：点E(2,1), F(2,2).
∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）.
当抛物线经过点E（2,1）时，,
解得：，（舍去）.
当抛物线经过点F（2,2）时， ,
解得：m3=1,m4=4(舍去).
∴当时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点.
题型六：二次函数中双动点及图形存在性问题
例6.（2019·连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
【分析】（1）先求出A点的坐标，用待定系数法求出函数解析式；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分三种情况讨论：平行四边形为ACPQ、ACQP或APCQ，列出方程求解；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，y1），点R坐标为（x2，y2），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，由tan∠QOK＝tan∠PRH求解．
【答案】见解析.
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），
将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
，
解得：，
∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），Q(n, ﹣n2﹣n+2)，
当四边形ACPQ为平行四边形时，可得：
，
解得：x=0（舍去）或x=－1，
即P点坐标为（－1,0）.
当四边形ACQP为平行四边形时，可得：
，
解得：x=3（舍去）或x=－，
即点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；
当四边形AQCP为平行四边形时，可得：
，
解得：x=0（舍去）或x=－3，
即点P的坐标为（－3，12）；
综上所述，点P的坐标为：（－1,0）或（3，0）或（﹣，）或（－3，12）.
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，
由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，
∴△PSC∽△RTC，
∴ ，
设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），
∴
即x1+x2＝4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH＝
过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
若OQ∥PR，则∠QOK＝∠PRH，
tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，
∴2m＝﹣m2﹣m+2，
解得，m＝，
所以点Q坐标为（，﹣7－）或（，﹣7+）．