2019-2020学年山东省济南市高新区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东省济南市高新区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共15小题；共75分）
1. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为
A. B.
C. D.

2. 若点 2,3 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，那么下列各点在图象上的是
A. −2,3B. 1,5C. 1,6D. 1,−6

3. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球 2 只，红球 6 只，黑球 4 只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出 1 只球，则取出黑球的概率是
A. 12B. 14C. 13D. 16

4. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 csB 的值为
A. 12B. 22C. 32D. 33

5. 二次函数 y=x2+4x−5 的图象的对称轴为
A. x=4B. x=−4C. x=2D. x=−2

6. 如图，A，B，C 是 ⊙O 上的三个点，若 ∠AOC=100∘，则 ∠ABC 等于
A. 50∘B. 80∘C. 100∘D. 130∘

7. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是矩形，则原四边形一定是
A. 平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 菱形D. 对角线相等的四边形

8. 如图，点 P 是平行四边形 ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的三角形有
A. 0 对B. 1 对C. 2 对D. 3 对

9. 已知关于 x 的方程 x2−kx−5=0 的一个根为 x=5，则另一个根是
A. −1B. 4C. −4D. 2

10. 如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO．若 ∠DAC=28∘，则 ∠OBC 的度数为
A. 28∘B. 52∘C. 62∘D. 72∘

11. 二次函数 y=ax2+bb>0 与反比例函数 y=ax 在同一坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

12. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是双曲线 y=3xx>0 上的一个动点，PB⊥y 轴于点 B，当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积将会
A. 逐渐增大B. 不变C. 逐渐减小D. 先增大后减小

13. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 与点 B，C 都不重合），现将 △PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作 ∠BPF 的角平分线交 AB 于点 E．设 BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.

14. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论：① △AEF∽△CAB；② CF=2AF；③ DF=DC；④ tan∠CAD=2．其中正确的结论有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

15. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点 A−3,y1 、点 B−12,y2 、点 C72,y3 在该函数图象上，则 y1A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共6小题；共30分）
16. 如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1:3，堤高 BC=5 m，则坡面 AB 的长度是 ．

17. 将抛物线 y=3x2 向下平移 3 个单位，再向右平移 2 个单位，得到抛物线解析式为 ．

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 PA 与 ⊙O 相切于点 A，PO 交 ⊙O 于点 C，连接 BC，∠P=40∘，则 ∠ABC 的度数为 ．

19. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2k−1x+k2−1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．

20. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DE∥AC，AE，CD 相交于点 O，若 S△DOE:S△COA=1:25，则 S△BDE 与 S△CDE 的比 = ．

21. 如图，A，B 两点在反比例函数 y=k1x 的图象上，C，D 两点在反比例函数 y=k2x 的图象上，AC⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 F，AC=2，BD=3，EF=103，则 k2−k1= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
22. 解方程 x2−4x+1=0．

23. 如图，正方形 AEFG 的顶点 E，G 在正方形 ABCD 的边 AB，AD 上，连接 BF，DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接 CF，请直接写出 BE:CF 的值（不必写出计算过程）．

24. 计算：6tan230∘−3sin60∘−2sin45∘．

25. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40 cm，灯罩 BC 长为 30 cm，底座厚度为 2 cm，灯臂与底座构成的 ∠BAD=60∘．使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30∘，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm?
（结果精确到 0.1 cm，参考数据：3≈1.732）

26. 农场要建一座长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长 19 米，另三边用木栏围成，木栏长 38 米，鸡场的面积能达到 180 m2 吗?若能，请求出长与宽；若不能，请说明理由．

27. 国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）求获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛．请使用画树状图或列表的方法求恰好选到 A，B 两所学校的概率．

28. 如图，反比例函数 y=kx 与 y=mx 交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标是 4,2，点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在 AB 的上方．
（1）求 k，m 的值及 B 点的坐标；
（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点 Q，使 △ABQ 为等腰三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；
（3）若 S△ABP=12，求点 P 的坐标．

29. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，点 B，C 分别在边 AD，AF 上，此时 BD=CF，BD⊥CF 成立．
（1）当 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 θ0∘<θ<90∘ 时，如图2，BD=CF 成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 时，如图3，延长 DB 交 CF 于点 H．
① 求证：BD⊥CF；
② 当 AB=2，AD=32 时，求线段 DH 的长．

30. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 y 轴交于点 C0,4，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为 −2,0，抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. B
5. D
6. D
7. B
8. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，
∴ △APE∼△DCE．
又 AD∥BC，
∴ △APE∼△BPC，
∴ △DCE∼△BPC．
∴ 图中共有 3 对相似三角形．
9. A
10. C
11. B
12. C
13. C【解析】由题意得 ∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，
又 ∵ ∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180∘，
∴ ∠CPD+∠BPE=90∘，
又 ∵ 在 Rt△BPE 中，∠BPE+∠BEP=90∘，
∴ ∠BEP=∠CPD，
又 ∵ ∠B=∠C，
∴ △BPE∽△CDP，
∴ BPCD=BECP，
即 x3=y5−x，
则 y=−13x2+53x，y 是 x 的二次函数，其图象为开口向下的抛物线．
14. B【解析】提示：①②③正确 ；
③取 BC 的中点 M，连接 DM，FM．
所以 FM=CM．
因为 E 是 AD 的中点，
所以 DE=BM．
又因为 DE∥BM，
所以四边形 BMDE 是平行四边形，
所以 DM∥BE，
所以 DM⊥CF，
所以 DM 是线段 CF 的垂直平分线，
所以 DF=DC．
15. B
第二部分
16. 10 m
17. y=3x−22−3
18. 25∘
19. k≤1
20. 1:4
21. 4
第三部分
22. 移项，得
x2−4x=−1.
配方，得
x2−4x+4=−1+4,x−22=3.
由此可得
x−2=±3,
x1=2+3, x2=2−3.
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90∘，
∵BE=AB−AE，DG=AD−AG，
∴BE=DG，
∴△BEF≌△DGF．
∴BF=DF．
（2） BE:CF=22．
24. 6tan230∘−3sin60∘−2sin45∘=6×332−3×32−2×22=12−2．
25. 由题意得：AD⊥CE，过点 B 作 BM⊥CE，BF⊥DA，
∵ 灯罩 BC 长为 30 cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30∘，
∵ CM⊥MB，即三角形 CMB 为直角三角形，
∴ sin30∘=CMBC=CM30，
∴ CM=15 cm，
在直角三角形 ABF 中，sin60∘=BFBA，
∴ 32=BF40，解得：BF=203，
又 ∠ADC=∠BMD=∠BFD=90∘，
∴ 四边形 BFDM 为矩形，
∴ MD=BF，
∴ CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+203+2≈51.6 cm．
答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 51.6 cm．
26. 设与墙垂直的一边长为 x m，则与墙平行的边长为 38−2xm，
可列方程为
x38−2x=180,
即
x2−19x+90=0,
解得
x1=9,x2=10,
当 x=10 时，38−2x=18，
当 x=9 时，38−2x=20>19（舍去）．
答：方案是与墙垂直的一边长为 10 m，与墙平行的边长为 18 m．
27. （1） 由图可知获得三等奖的学生人数占总人数的 25%，总人数为 50÷25%=200（人），一等奖占 1−20%−25%−40%=15%，
所以，一等奖的学生为 200×15%=30（人）．
（2） 这里提供列表法：
ABCDAABACADBABBCBDCACBCCDDADBDCD
从表中我们可以看到共有 12 种等可能的情况，而 A、B 分到一组的情况有 2 种，故恰好选到 A、B 两所学校的概率为 P=212=16
28. （1） 将 A4,2 代入 y=kx 得，k=8，
将 A4,2 代入 y=mx 得，m=12，
∵ 点 A 与点 B 关于原点中心对称，
∴B−4,−2，
∴k=8，m=12，B−4,−2．
（2） 4+76,0 或 76−4,0．
【解析】如图 1 中，作 AE⊥x 轴于点 E，BM⊥x 轴于点 M，
∵A4,2，B−4,−2，
∴AB=45，
当 AQʹ=AB=45 时，△ABQ 是等腰三角形，
∴QʹE=AQ2−AE2=452−22=76，
∴Qʹ4+76,0，
当 BA=BQ 时，△ABQ 是等腰三角形，QM=BQ2−BM2=76，Q76−4,0．
综上所述，满足条件的点 Q 坐标为 4+76,0 或 76−4,0．
（3） 如图 2 中，过点 P 作 PM⊥x 轴，交直线 AB 于点 M，
设 Pa,8a，则 Ma,a2，
S△ABP=12xA−xB⋅yP−yM=12×8×8a−a2=12，
解得：a=−8（舍去），a=2，
∴P2,4．
29. （1） BD=CF 成立，
∵ AC=AB；∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，
∴ △ABD≌△ACF，
∴ BD=CF．
（2） ①由1得，△ABD≌△ACF，
∴ ∠HFN=∠ADN，
在 △HFN 与 △ADN 中，
∵ ∠HFN=∠ADN；∠HNF=∠AND，
∴ ∠NHF=∠NAD=90∘，
∴ HD⊥HF，即 BD⊥CF．
②如图，连接 DF，延长 AB 到 M，与 DF 交于点 M，
在 △MAD 中，
∵ ∠MAD=∠MDA=45∘，
∴ ∠BMD=90∘．
在 Rt△BMD 与 Rt△FHD 中，
∵ ∠MDB=∠HDF，
∴ △BMD∽△FHD．
∵ AB=2，AD=32，四边形 ADEF 是正方形，
∴ MA=MD=322=3，
∴ MB=3−2=1，DB=12+32=10，
MDHD=BDFD，即 3HD=106，
∴ DH=9105．
30. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 过点 C0,4，
∴ c=4, ⋯⋯①
∵ 对称轴 x=−b2a=1，
∴ b=−2a, ⋯⋯②
∵ 抛物线过点 A−2,0，
∴ 0=4a−2b+c, ⋯⋯③
由 ①②③ 解得，a=−12，b=1，c=4，
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+x+4；
（2） 假设存在满足条件的点 F，如图 1 所示，连接 BF，CF，OF，过点 F 作 FH⊥x轴 于点 H，FG⊥y轴 于点 G．
设点 F 的坐标为 t,−12t2+t+4，其中 0则 FH=−12t2+t+4，FG=t，
∴ S△OBF=12OB⋅FH=12×4×−12t2+t+4=−t2+2t+8，
S△OFC=12OC⋅FG=12×4×t=2t，
∴
S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4−t2+2t+8+2t=−t2+4t+12.
令 −t2+4t+12=17，即 t2−4t+5=0，则 Δ=−42−4×5=−4<0，
∴ 方程 t2−4t+5=0 无解，故不存在满足条件的点 F；
（3） 如图 2 所示，设直线 BC 的解析式为 y=kx+nk≠0，
∵ B4,0，C0,4，
∴ n=4,4k+n=0, 解得 k=−1,n=4,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+4，
由 y=−12x2+x+4=−12x−12+92，
∴ 顶点 D1,92，
又点 E 在直线 BC 上，则点 E1,3，
于是 DE=92−3=32，
若以 D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DE∥PQ，只须 DE=PQ，
设点 P 的坐标是 m,−m+4，则点 Q 的坐标是 m,−12m2+m+4．
①当 0由 −12m2+2m=32，
解得：m=1或3．
当 m=1 时，线段 PQ 与 DE 重合，m=1 舍去，
∴ m=3，P13,1．
②当 m<0 或 m>4 时，PQ=−m+4−−12m2+m+4=12m2−2m，
由 12m2−2m=32，
解得 m=2±7，经检验适合题意，
此时 P22+7,2−7，P32−7,2+7．
综上所述，满足题意的点 P 有三个，分别是 P13,1，P22+7,2−7，P32−7,2+7．