2019-2020学年成都市温江区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年成都市温江区九上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 方程 x2=3x 的解为
A. x=0B. x=−3C. x1=0，x2=3D. x=3

2. 下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是
A. B.
C. D.

3. 做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖 1000 次．经过统计得“凸面向上”的次数为 420 次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为
A. 0.22B. 0.42C. 0.50D. 0.58

4. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得 △AʹBʹCʹ，已知 OB=3OBʹ，则 △AʹBʹCʹ 与 △ABC 的面积比为
A. 1:3B. 3:1C. 9:1D. 1:9

5. 一个公共房门前的台阶高出地面 2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是
A. 斜坡 AB 的坡度是 18∘B. 斜坡 AB 的坡度是 tan18∘
C. AC=2tan18∘ 米D. AB=2cs18∘ 米

6. 设抛物线 C1：y=x2 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到抛物线 C2，则抛物线 C2 对应的函数解析式是
A. y=x−22−3B. y=x+22−3
C. y=x−22+3D. y=x+22+3

7. 如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B，C 和点 D，E，F，若 ABBC=35，DE=6，则 EF 的长是
A. 185B. 485C. 10D. 6

8. 如图，已知 ⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下列结论不一定正确的是
A. CE=DEB. AE=OE
C. BC=BDD. △OCE≌△ODE

9. 二次函数 y=2x2−3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是
A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点 2,3
C. 抛物线的对称轴是直线 x=1D. 抛物线与 x 轴有两个交点

10. 如图，点 A 和点 B 都在反比例函数 y=6x 的图象上，且线段 AB 过原点，过点 A 作 x 轴的垂线段，垂足为 C，P 是线段 OB 上的动点，连接 CP．设 △ACP 的面积为 S，则下列说法正确的是
A. S>3B. S>6C. 3≤S≤6D. 3
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 小新的身高是 1 m，他的影子长为 2 m，同一时刻水塔的影长是 32 m，则水塔的高度是 m．

12. 如图，已知 ∠A=∠D，要使 △ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

13. 小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上，依横坐标找到三点 −1,y1，2,y2，−3,y3，则你认为 y1，y2，y3 的大小关系应为 ．

14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10 m 的 A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为 60∘，测角仪高 AD 为 1 m，则旗杆高 BC 为 m．（结果保留根号）

15. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，若 ∠BCD=28∘，则 ∠ABD= ∘．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. （1）计算：2−1+2π−10−22−sin45∘−3tan30∘．
（2）解方程：x2+4x−1=0．

17. 甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有 3 个分别标有数字 1，2，3 的小球，乙口袋中装有 2 个分别标有数字 4，5 的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．请用列表或树状图的方法（只选其中一种）求出两个数字之和能被 3 整除的概率．

18. 如图，直线 y=12x+2 与双曲线相交于 Am,3，与 x 轴交于点 C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点 P 在 x 轴上，如果 S△ACP=3，求点 P 的坐标．

19. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，AD 与 BE 相交于点 F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）若 ∠ABD=45∘，AC=3 时，求 BF 的长．

20. 某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件．已知该款童装每件成本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?

21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费 6000 万元．2016年投入教育经费 8640 万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且 ∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线 BF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=5，sin∠CBF=55，求 BC 和 BF 的长．

四、填空题（共5小题；共25分）
23. 如图，一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k≠0）和反比例函数 y=4xx>0 的图象交于 A，B 两点，利用函数图象直接写出不等式 4x
24. 现有三张分别标有数字 1，2，6 的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为 a（不放回），再从中任意抽取一张，将上面的数字记为 b，这样的数字 a，b 能使关于 x 的一元二次方程 x2−2a−3x−b2+9=0 有两个正根的概率为 ．

25. 如图，△ABC 中，AC=6，AB=4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且 ∠ACD=∠ABC，CD=2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当 △DCE 和 △ABC 相似时，线段 CE 的长为 ．

26. 如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为 −1,0，∠ABO=30∘，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 △OBA 的边按 O→B→A→O 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ=3，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 ．

27. 如图，边长为 4 的正方形 ABCD 内接于 ⊙O，点 E 是 AB 上的一动点（不与 A，B 重合），点 F 是 BC 上的一点，连接 OE，OF，分别与 AB，BC 交于点 G，H，连接 GH 且 ∠EOF=90∘，有以下结论：
① AE=BF；
② △OGH 是等腰三角形；
③四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化；
④ △GBH 周长的最小值为 4+2．
其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．

五、解答题（共3小题；共39分）
28. 如图，港口 B 位于港口 O 正西方向 120 km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60∘ 的方向．一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向（北偏西 30∘）以 v km/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快艇从港口 B 出发，沿北偏东 30∘ 的方向以 60 km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间?
（2）若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1 h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离．

29. （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H．求证：EFGH=ADAB；
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 EFGH=1115，则 BNAM 的值为 ；
（3）如图3，四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 DNAM 的值．

30. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−29x2+bx+c 与 x 轴交于 A−3,0，B9,0，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，连接 AD，DB，点 P 为线段 AD 上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 P 作 BD 的平行线，交 AB 于点 Q，连接 DQ，设 AQ=m，△PDQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，以及 S 的最大值；
（3）如图 2，抛物线对称轴与 x 轴交与点 G，E 为 OG 的中点，F 为点 C 关于 DG 的对称点，过点 P 分别作直线 EF，DG 的垂线，垂足为 M，N，连接 MN，当 △PMN 为等腰三角形时，求此时 EM 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】∵x2−3x=0，
∴xx−3=0，
则 x=0 或 x−3=0，
解得：x1=0，x2=3．
2. A
3. B【解析】∵ 抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次，经过统计得“凸面向上”的次数约为 420 次，
∴ 抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 4201000=0.42．
4. D【解析】由位似变换的性质可知，AʹBʹ∥AB，AʹCʹ∥AC，
∴OAʹOA=OBʹOB=13，
∴AʹCʹAC=OAʹOA=13，
∴△AʹBʹCʹ 与 △ABC 的相似比为 1:3，
∴△AʹBʹCʹ 与 △ABC 的面积的比 1:9．
5. B
【解析】A．错误，斜坡 AB 的坡度 =BCAC=tan18∘．
B．正确，斜坡 AB 的坡度 =BCAC=tan18∘．
C．错误，AC=2÷tan18∘（米）．
D．错误，AB=2sin18∘（米）．
6. A
7. C【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵ABBC=35，DE=6，
∴6EF=35，
∴EF=10．
8. B【解析】∵⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，
∴CE=DE，BC=BD，
在 △OCE 和 △ODE 中，
∠CEO=∠DEO=90∘,∠OCE=∠ODE,OC=OD,
∴△OCE≌△ODE．
9. D
10. C
【解析】过点 P 作 PD⊥AC 于点 D，连接 CB，如图，
设 Ax,y，则 B−x,−y，
∵ 点 A 在反比例函数 y=6x 的图象上，
∴xy=6，
∵P 是线段 OB 上的动点，
∴x≤PD≤2x，
∵S=S△APC=12AC⋅PD，
当 PD 最小时，此时点 P 与点 O 重合，PD=x，
∴S=S△APC=12xy=12×6=3，
当 PD 最大时，此时点 P 与点 B 重合，PD=2x，
∴S=S△APC=12AC⋅PD=12⋅y⋅2x=xy=6，
∴3≤S≤6．
第二部分
11. 16
【解析】设水塔的高为 x m，
根据题意得 x:32=1:2，
解得 x=16．
即水塔的高为 16 m．
12. ∠B=∠DEF（∠ACB=∠DFE 或 AB∥DE 或 DF∥AC）
13. y2>y3>y1
【解析】将点 −1,y1，2,y2，−3,y3 分别代入 y=2x2+4x+5 得，
y1=2−4+5=3，
y2=21，
y3=18−12+5=11．
可见，y2>y3>y1．
14. 103+1
【解析】如图，过点 A 作 AE∥DC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10 m，CE=AD=1 m .
∵ 在 Rt△BAE 中，∠BAE=60∘，
∴BE=AE⋅tan60∘=103（m），
∴BC=CE+BE=103+1（m）．
∴ 旗杆高 BC 为 103+1m．
15. 62
【解析】本题考查圆周角、弧、弦之间的关系．
∵ AB 是 ⊙ 的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∵ ∠BCD=28∘，
∴ ∠ACD=62∘，
∴ ∠ABD=∠ACD=62∘．
同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
第三部分
16. （1） 原式=12+1−22−22−3×33=12+1−2−1=12−2.
（2） 因为
a=1,b=4,c=−1,
所以
Δ=16−4×1×−1=20>0,
则
x=−4±252=−2±5.
所以
x1=−2+5,x2=−2−5.
17. 画树状图为：
共有 6 种等可能的结果，其中两个数字之和能被 3 整除的结果数为 2，
∴ 两个数字之和能被 3 整除的概率为 26=13．
18. （1） 把 Am,3 代入直线解析式得：3=12m+2，解得 m=2，
∴A2,3，
把 A2,3 代入 y=kx，得 k=6，
则双曲线解析式为 y=6x．
（2） 对于直线 y=12x+2，令 y=0，得到 x=−4，即 C−4,0，
设 Pn,0，可得 PC=n+4，
∵S△ACP=3，
∴12n+4×3=3，即 n+4=2，
解得：n=−2 或 n=−6，
则点 P 坐标为 −2,0 或 −6,0．
19. （1） ∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90∘，
∴∠C+∠DBF=90∘，∠C+∠DAC=90∘，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2） ∵∠ABD=45∘，∠ADB=90∘，
∴AD=BD，
∴ADBD=1，
∵△ACD∽△BFD，AC=3，
∴ACBF=ADBD=1，
∴BF=AC=3．
20. （1） 根据题意可得：
y=300+3060−x=−30x+2100.
（2） 设每星期利润为 W 元，
根据题意可得：
W=x−40−30x+2100=−30x−552+6750.
则 x=55 时，W 取得最大值，最大值为 6750，
故每件售价定为 55 元时，每星期的销售利润最大，最大利润 6750 元．
21. （1） 设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，则有：
60001+x2=8640.
解得：
x=0.2,或x=−2.2舍.
所以：该县投入教育经费的年平均增长率为 20%．
（2） 因为2016年该县投入教育经费为 8640 万元，且增长率为 20%，
所以：2017年该县投入教育经费 y=8640×1+0.2=10368（万元）．
22. （1） 连接 AE，如图 1，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠1+∠2=90∘．
∵AB=AC，
∴∠1=12∠CAB．
∵∠CBF=12∠CAB，
∴∠1=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90∘，即 ∠ABF=90∘．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴ 直线 BF 是 ⊙O 的切线．
（2） 过点 C 作 CG⊥AB 于点 G．如图 2，
∵sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=55．
∵ 在 Rt△AEB 中，∠AEB=90∘，AB=5，
∴BE=AB⋅sin∠1=5．
∵AB=AC，∠AEB=90∘，
∴BC=2BE=25．
在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=AB2−BE2=25，
∴ sin∠2=AEAB=255=CGBC，cs∠2=BEAB=55=BGBC，
∴ CG=2BG．
∵ CG2+BG2=BC2=20，
∴ 5BG2=20，
BG=2或−2舍去．
∴ CG=4，
∴ AG=3．
∵ GC∥BF，
∴ △AGC∽△ABF，
∴ GCBF=AGAB，
∴ BF=GC⋅ABAG=203．
第四部分
23. 1【解析】∵ 由图象可知：A1,4，B4,1，x>0，
∴ 不等式 4x24. 13
【解析】画树形图得：
∴ 共有 6 种等可能的结果，
∵ 方程有两个正根，
∴2a−3>0，−b2+9>0，
解得 a>3，−3 ∴a，b 只有两种情况满足要求：a=6，b=1 或 a=6，b=2，
∴ 能使关于 x 的一元二次方程 x2−2a−3x−b2+9=0 有两个正根的概率为 13．
25. 3 或 43
【解析】∵ △DCE 和 △ABC 相似，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2，
∴ ∠A=∠DCE，
∴ ABCD=ACCE 或 ABCE=ACCD，
即 42=6CE 或 4CE=62，
解得，CE=3 或 CE=43．
26. 4
【解析】在 Rt△AOB 中，∵∠ABO=30∘，AO=1，
∴AB=2，BO=22−12=3，
①当点 P 从 O→B 时，如图1、图2所示，
点 Q 运动的路程为 3．
②当点 P 从 B→C 时，如图3所示，
这时 QC⊥AB，则 ∠ACQ=90∘．
∵∠ABO=30∘，
∴∠BAO=60∘．
∴∠OQD=90∘−60∘=30∘．
∴cs30∘=CQAQ，
∴AQ=CQcs30∘=2，
∴OQ=2−1=1．
则点 Q 运动的路程为 QO=1．
③当点 P 从 C→A 时，如图3所示，
点 Q 运动的路程为 QQʹ=2−3．
④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO=1．
∴ 点 Q 运动的总路程为：3+1+2−3+1=4．
27. ①②
【解析】①如图 1 所示，连接 OC，OB，CF，BE，
∵ ∠BOE+∠BOF=90∘，∠COF+∠BOF=90∘，
∴ ∠BOE=∠COF，
在 △BOE 与 △COF 中，
OB=OC,∠BOE=∠COF,OE=OF,
∴ △BOE≌△COF，
∴ BE=CF，
∴ AE=BF，①正确；
②在 △BOG 和 △COH 中，
∠BOG=∠COH,OB=OC,∠OBG=∠OCH,
∴ △BOG≌△COH，
∴ OG=OH，
∴ △OGH 为等腰三角形，②正确；
③如图 2 所示，作 OM⊥BC 于点 M，ON⊥AB 于点 N，
∵ △HOM≌△GON，
∴ 四边形 OGBH 的面积始终等于正方形 ONBM 的面积，③错误；
④ ∵ △BOG≌△COH，
∴ BG=CH，
∴ BG+BH=BC=4，
设 BG=x，则 BH=4−x，
则 GH=BG2+BH2=x2+4−x2，
∴ △GBH 周长最小值为 4+22，④错误．
第五部分
28. （1） ∵∠CBO=60∘，∠COB=30∘，
∴∠BCO=90∘．
在 Rt△BCO 中，
∵OB=120km，
∴BC=12OB=60km，
∴ 快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为 60÷60=1h．
（2） 过点 C 作 CD⊥OA，垂足为 D，
设相遇处为点 E，则 OC=OB⋅cs30∘=603km，CD=12OC=303km，OD=OC⋅cs30∘=90km，
∴DE=90−3v．
∵CE=60，CD2+DE2=CE2，
∴3032+90−3v2=602，
∴v=20 或 40，
∴ 当 v=20 km/h 时，OE=3×20=60km，
当 v=40 km/h 时，OE=3×40=120km．
29. （1） 过点 A 作 AP∥EF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQ∥GH，交 AD 于 Q，如图1，
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 AB∥DC，AD∥BC．
所以四边形 AEFP，四边形 BHGQ 都是平行四边形，
所以 AP=EF，GH=BQ．
又因为 GH⊥EF，
所以 AP⊥BQ，
所以 ∠QAT+∠AQT=90∘．
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 ∠DAB=∠D=90∘，
所以 ∠DAP+∠DPA=90∘，
所以 ∠AQT=∠DPA．
所以 △PDA∽△QAB，
所以 APBQ=ADAB，
所以 EFGH=ADAB．
（2） 1115
【解析】如图2，
因为 EF⊥GH，AM⊥BN，
所以由（1）中的结论可得 EFGH=ADAB，BNAM=ADAB，
所以 BNAM=EFGH=1115．
（3） 过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延长线于 S，如图3，
则四边形 ABSR 是平行四边形．
因为 ∠ABC=90∘，
所以四边形 ABSR 是矩形，
所以 ∠R=∠S=90∘，RS=AB=10，AR=BS．
因为 AM⊥DN，
所以由（1）中的结论可得 DNAM=ARAB．
设 SC=x，DS=y，则 AR=BS=5+x，RD=10−y，
所以在 Rt△CSD 中，x2+y2=25 ①，
在 Rt△ARD 中，5+x2+10−y2=100 ②，
由② − ①得 x=2y−5 ③，
解方程组 x2+y2=25,x=2y−5.
得 x=−5,y=0.（舍去），或 x=3,y=4.，
所以 AR=5+x=8，
所以 DNAM=ARAB=810=45．
30. （1） ∵ a=−29，抛物线与 x 轴交于 A−3,0，B9,0，
∴ 可以假设抛物线解析式为 y=−29x+3x−9=−29x2+43x+6，
∴ 抛物线解析式为 y=−29x2+43x+6．
（2） ∵ y=−29x2+43x+6=−29x−32+8，
∴ 顶点 D 坐标为 3,8，
∵ A−3,0，B9,0，
∴ AD=DB=10，∠DAB=∠DBA．
∵ PQ∥BD，
∴ ∠PQA=∠DBA，
∴ ∠PAQ=∠PQA，
∴ PA=PQ，
∴ △PAQ 为等腰三角形，
作 PH⊥AQ 于 H，则 AH=HQ=m2（如图 1 中），
∴ tan∠DAB=PHAH=86，
∴ PH=23m，
∴S=S△ADQ−S△APQ=12⋅m⋅8−12⋅m⋅23m=−13m2+4m=−13m−62+12,
∴ 当 m=6 时，S最大值=12．
（3） ∵ E32,0，F6,6，
∴ 直线 EF 解析式为 y=43x−2，直线 AD 解析式为 y=43x+4，
∴ EF∥AD，作 EL⊥AD 于 L，（如图 2 中）
∵ AE=92，sin∠DAB=45，
∴ LE=92×45=185=PM，
① PM=PN=185 时，
∴ xP=3−185=−35，yP=−43×35+4=165，
∴ P−35,165，
∴ 直线 PM 解析式为 y=−34x+114，
由 y=−34x+114,y=43x−2,
解得 x=5725,y=2625,
∴ M5725,2625，
∴ EM=5725−322+26252=1310．
② NP=NM 时，设直线 EF 与对称轴交于点 K，K3,2，
此时点 N 在 PM 的垂直平分线上，DN=NK，
∴ N3,5，P34,5，
∴ 直线 PM 的解析式为 y=−34x+8916，
由 y=43x−2,y=−34x+8916,
解得 x=363100,y=7125,
∴ M363100,7125，
∴ EM=363100−322+71252=7120．
③ PM=MN 时，cs∠MPN=45=12PNPM，
∴ PN=14425，由此可得 P−6925,825，
∴ 直线 PM 解析式为 y=−34x−74，
由 y=43x−2,y=−34x−74,
解得 x=325,y=−4625,
∴ M325,−4625，
∴ EM=325−322+46252=2310．
综上所述，EM=1310或7120或2310．