2019-2020学年成都市金堂县九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年成都市金堂县九上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 计算 sin45∘ 的值等于
A. 3B. 12C. 22D. 32

2. 一元二次方程 x2+x+13=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定

3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 四条边相等

4. 如图，小颖家（图中点 O 处）门前有一条东西走向的公路，测得有一水塔（图中点 A 处）在距她家北偏东 60∘ 方向 400 米处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是
A. 200 米B. 2003 米C. 40033 米D. 4002 米

5. 用 16 米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为 9 平方米，若设它的一边长为 x 米，根据题意可列出关于 x 的方程为
A. xx+8=9B. x8−x=9
C. x16−x=9D. x16−2x=9

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，若 ADAB=45，DE=8，则 BC 等于
A. 12B. 10C. 16D. 20

7. 将抛物线 y=−x2 向左移动 2 个单位，再向上移动 3 个单位后，抛物线的顶点坐标为
A. 2,3B. 2,−3C. −2,3D. −2,−3

8. 若 x=−2 是关于 x 的一元二次方程 x2−52ax+a2=0 的一个根，则 a 的值为
A. 1 或 4B. −1 或 −4C. −1 或 4D. 1 或 −4

9. 在函数 y=−x+1，y=3x，y=x2+x−2 中，y 随 x 的增大而减小的有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

10. 在同一坐标系中，函数 y=kx 和 y=kx+1 的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 若反比例函数 y=kx 图象经过点 −1,6，则 k= ．

12. 抛物线 y=13x−12−3 的顶点坐标是 ．

13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，且 AC=1，BC=2，则 sinA= ．

14. 如图，正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2=k2x 的图象交于 1,2，则在第一象限内不等式 k1x>k2x 的解集为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. （1）计算：12−1−4sin60∘+27+3−π0；
（2）化简：a2−b2a2−2ab+b2+ab−a÷b2a2−ab；

16. 解方程：x2=4x．

17. 为测量塔的高度，如图，一人先在附近一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 45∘，然后爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30∘．已知楼房高 AB 约是 40 m，根据以上观测数据，求观光塔 CD 的高度．

18. 金堂有“花园水城”之称，某校就同学们对“金堂历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：
根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共凋查 名学生，条形统计图中 m= ；
（2）若该校共有学生 1200 名，则该校约有多少名学生不了解“金堂历史文化”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中有四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两名去市里参加“金堂历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．

19. 如图，一次函数 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2xx>0 的图象交于 A1,4，B2,n 两点．
（1）求反比例函数的解析式及直线 AB 的解析式；
（2）在直角坐标系内取一点 C，使点 C 与点 B 关于原点对称，连接 AC，求 △ABC 的面积．

20. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的高线，DE⊥AC 于点 E．
（1）若 AD=BC，求证：DE=DB；
（2）如图 1，若 G 是 DE 的中点，延长 AG 交 BC 于点 F．求证：F 是 BC 的中点；
（3）如图 2，在（2）的条件下，延长 CG 交 AB 于点 H，使 AH=BH，当 AC=4 时，求 DE 的长．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 比较 3−12 13（填“<”“>”或“=”）．

22. 关于 x 的一元二次方程 kx2−4k+1x+2=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ．

23. 如图，四边形 ABCD 中，∠A=90∘，AB=25，AD=2，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点 B 重合），点 E，F 分别是 DM，MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 ．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y=kx（k>0 且为常数）在第一象限的图象交于点 E，点 F，过点 E 作 EM⊥y 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，直线 EM 与 FN 交于点 C，若 BEBF=25，则 S△CEFS△OEF= ．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点 O，过点 A 作射线 AE∥BC，点 P 是边 BC 上任意一点，连接 PO 并延长与射线 AE 相交于点 Q，设 B，P 两点之间的距离为 x，过点 Q 作直线 BC 的垂线，垂足为 R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，
① △AOB≌△COB；
②当 0③当 x=5 时，四边形 ABPQ 是平行四边形；
④当 x=0 或 x=10 时，都有 △PQR∽△CBO；
⑤当 x=145 时，△PQR 与 △CBO 一定相似．
正确的共有 ．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每周可卖出 180 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每周就会少卖出 5 件，但每件售价不能高于 50 元，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数），每周的销售利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润?最大利润是多少?
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是 2145 元?

27. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，将 △COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 △C1OD1，旋转角为 θ0∘<θ<90∘，连接 AC1，BD1，AC1 与 BD1 交于点 P．
（1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形．请直接写出 AC1 与 BD1 的数量关系和位置关系．
（2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，AC=6，BD=8，判断 AC1 与 BD1 的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）如图 3，若四边形 ABCD 是平行四边形，AC=6，BD=12，连接 DD1，设 AC1=kBD1，请直接写出 k 的值和 AC12+kDD12 的值．

28. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的图象过 C0,1，顶点为 Q2,3，点 D 在 x 轴正半轴上，OD=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点 M，使得 △CDM 是以 CD 为直角边的直角三角形?若存在，请求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图 2，将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45∘，所得直线与抛物线相交于另一点 E，连接 QE．若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点的移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】sin45∘=22．
2. C【解析】在一元二次方程 x2+x+13=0 中，Δ=1−4×1×13=−13<0，
∴ 原方程无实数根．
3. D【解析】A、两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，故本选项不符合题意；
B、对角线相等，矩形具有、菱形不一定具有，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故本选项不符合题意；
D、四条边都相等，矩形不一定具有，菱形具有，故本选项符合题意．
4. A【解析】由题意 ∠AOB=90∘−60∘=30∘，OA=400 米，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90∘，
∴AB=12AO=200（米）．
5. B
【解析】一边长为 x 米，则另外一边长为 8−x 米，由题意得：x8−x=9．
6. B【解析】∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ ADAB=DEBC，
∵ ADAB=45，DE=8，
∴ 45=8BC，
解得，BC=10．
7. C【解析】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线 y=−x2 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位所得抛物线的表达式是 y=−x+22+3．
∴ 平移后抛物线的顶点坐标是 −2,3．
8. B
9. B【解析】根据函数的性质可知，y 随 x 的增大而减小的函数有：y=−x+1．
10. A
【解析】当 k>0 时，反比例函数的图象经过第一、第三象限，一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，
当 k<0 时，反比例函数的图象经过第二、第四象限，一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，
联立 y=kx,y=kx+1, 可得：kx2+x−k=0，Δ=1+4k2>0，
所以反比例函数与一次函数的图象有两个交点．
第二部分
11. −6
【解析】∵ 反比例函数 y=kx 图象经过点 −1,6，
∴ k=xy=−1×6=−6．
12. 1,−3
【解析】∵ 抛物线 y=ax−h2+k 的顶点坐标为 h,k，
∴y=13x−12−3 的顶点坐标是 1,−3．
13. 255
【解析】∵∠C=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=5；
∴sinA=BCAB=25=255．
14. x>1
【解析】根据图象可得：第一象限内不等式 k1x>k2x 的解集为 x>1．
第三部分
15. （1） 原式=2−4×32+33+1=3+3;
（2） 原式=a+ba−ba−b2−aa−b×aa−bb2=a+ba−b−aa−b×aa−bb2=ba−b×aa−bb2=abb2=ab.
16.
x2−4x=0,xx−4=0,x=0或x−4=0,
所以
x1=0,x2=4.
17. 由题意得：∠BDA=30∘，∠CAD=45∘，AB=40，
在 Rt△ABD 中，tan∠ADB=ABAD，
则 AD=ABtan∠ADB=403，
因此 CD=AD=403，
答：观光塔 CD 高为 403 m．
18. （1） 60；18
【解析】由题目中统计图提供的信息可知总人数为 24÷40%=60（名），
m=60−12−24−6=18．
（2） 1200×1260=240（名），
答：该校约有 240 名学生不了解“金堂历史文化”．
（3） 列表如下：
男男男女男男,男男,男男,女男男,男男,男男,女男男,男男,男男,女女女,男女,男女,男
由上表可知，共有 12 种等可能的结果，其中一男一女的结果有 6 种，
∴ P一男生一女生=612=12．
19. （1） 把 A1,4 代入 y=k2x，得 k2=xy=1×4=4，
∴y=4x，
把 B2,n 代入 y=4x 得，n=42=2，
∴B2,2，
把 A1,4，B2,2 代入 y=k1x+b 得 k1+b=4,2k1+b=2, 解得 k1=−2,b=6,
∴ 直线 AB 的解析式是 y=−2x+6．
（2） 如图，设直线 AB 交 x 轴于点 D，
当 y=0 时，x=3，则 D3,0，
∵ 点 B 和点 C 关于原点对称，
∴OB=OC．
∴S△ABC=2S△AOB=2S△AOD−S△BOD=2×12×3×4−12×3×2=6.
20. （1） ∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠B+∠BAC=90∘，
∵ CD 为 AB 边上的高线，
∴ ∠CDB=90∘，
∴ ∠DCB+∠B=90∘，
∴ ∠BAC=∠DCB，
∵ DE⊥AC，
∴ ∠DEA=∠CDB=90∘，
在 △ADE 和 △CBD 中，
∠DAE=∠DCB,∠DEA=∠CDB,AD=CB,
∴ △ADE≌△CBD，
∴ DE=DB．
（2） ∵ ∠ACB=90∘，
∴ BC⊥AC，
∵ DE⊥AC，
∴ DE∥BC，
∴ ∠ADG=∠B，∠AEG=∠ACB，
∵ ∠DAG=∠BAF，∠GAE=∠FAC，
∴ △GAE∽△FAC，△DAG∽△BAF，
∴ DGBF=AGAF，AGAF=GEFC，
∴ DGBF=GEFC，
∵ G 是 DE 的中点，
∴ DG=GE，
∴ BF=FC，
∴ F 是 BC 的中点．
（3） 连接 HF，过点 H 作 HM⊥AC 于点 M，连接 DM，如图所示：
∵ HM⊥AC，BC⊥AC，
∴ HM∥BC，
∵ AH=BH，
∴ AM=CM=12AC=2，
∵ CD⊥AB，
∴ △ADC 是直角三角形，
∴ DM=12AC=2，
∵ F 是 BC 中点，
∴ HF∥AC，HF=12AC，
∴ AGGF=ACHF=2，
∴ AGAF=AEAC=23，
∴ AE=23AC=83，
∴ ME=AE−AM=83−2=23，
在 Rt△DEM 中，DE=DM2−ME2=22−232=432．
第四部分
21. >
【解析】∵ 3−12=33−16，13=26=3×53−16，32=3，532=259<3，
∴ 3−12>13．
22. −14≤k<14 且 k≠0
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2−4k+1x+2=0 有两个不相等的实数根，
∴k≠0,4k+1≥0,Δ=−4k+12−8k>0,
解得：−14≤k<14 且 k≠0．
23. 6
【解析】如图，连接 DN，
∵ 点 E，F 分别是 DM，MN 的中点，
∴ EF=12DN，
当点 N 与点 B 重合时，DN 的值最大，即 EF 最大，
在 Rt△ABD 中，
∵ ∠A=90∘，AD=2，AB=25，
∴ BD=AD2+AB2=26，
∴ EF 的最大值为 12BD=6．
24. 37
【解析】设 △CEF 的面积为 S1，△OEF 的面积为 S2，过点 F 作 FD⊥BO 于点 D，EW⊥AO 于点 W，如图，
∵∠BME=∠BDF=90∘，∠MBE=∠DBF，
∴△MBE∽△DBF．
∵BEBF=25，
∴MEDF=25，
∵ME⋅EW=FN⋅DF，
∴MEDF=FNEW=25，
设 E 点坐标为：2x,5y，则 F 点坐标为：5x,2y，
∴△CEF 的面积 S1=125x−2x5y−2y=12×5−22xy=92xy，
∵△OEF 的面积
S2=S矩形CNOM−S1−S△MEO−S△FON=MC⋅CN−12×5−22xy−12ME⋅MO−12FN⋅NO=5x⋅5y−12×5−22xy−12⋅2x⋅5y−12⋅2y⋅5x=212xy,
∴S△CEFS△OEF=37．
25. ①②③⑤
【解析】① ∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，
在 △AOB 和 △COB 中，
AB=CB,AO=CO,BO=BO,
∴△AOB≌△COB，
故此选项正确；
② ∵AE∥BC，
∴∠AQO=∠CPO，
在 △AOQ 和 △COP 中，
∠AQO=∠CPO,∠AOQ=∠COP,AO=CO,
∴△AOQ≌△COP，
∴ 当 0故此项正确；
③当 x=5 时，BP=PC=5，
∵△AOQ≌△COP，
∴AQ=PC，
∴AQ=PB=5，
∵AQ∥BC，
∴ 四边形 ABPQ 是平行四边形；
故此选项正确；
④如图 1，

当 x=0 时，点 P 与点 B 重合，
∴∠OBC=∠QPR，
又 ∵∠BOC=∠PRQ=90∘，
∴△PQR∽△BCO；
如图 2，
当 x=10 时，点 P 与点 C 重合，此时点 Q 与点 A 重合，
∵∠QPR=∠BPO，∠QRP=∠BOC=90∘，
∴△PQR∽△CBO，
当 x=0 时，结论与题意矛盾，故此选项错误；
⑤如图 3，

若 △PQR 与 △CBO 一定相似，则 ∠QPR=∠BCO，
可得 OP=OC=6，
∴OB=102−62=8，
过点 O 作 OH⊥BC 于点 H，
∴OH=6×810=4.8，
∴CH=62−4.82=3.6，
故 CP=7.2，
∴BP=x=10−7.2=2.8，
故当 x=145 时，△PQR 与 △CBO 一定相似．
故此选项正确．
故正确的有①②③⑤．
第五部分
26. （1） 由题意得：
y=40+x−30180−5x=−5x2+130x+18000≤x≤10．
（2） 对二次函数 y=−5x2+130x+1800，其图象的对称轴为直线 x=−130−5×2=13，
∵13>10，−5<0，
∴ 在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大，
∴ 当 x=10 时，y 取得最大值，最大值为 −5×102+130×10+1800=2600，
∴ 售价为 40+10=50（元）．
答：当售价为 50 元时，可获得最大利润 2600 元．
（3） 由题意得：−5x2+130x+1800=2145，
解之得：x1=3，x2=23（不符合题意，舍去），
∴ 售价为 40+3=43（元）．
答：售价为 43 元时，每周利润为 2145 元．
27. （1） AC1=BD1，AC1⊥BD1．
【解析】如图 1，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴ ∠AOB=∠COD=90∘，
∵ △COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 △C1OD1，
∴ OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴ OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90∘+∠AOD1，
在 △AOC1 和 △BOD1 中，
AO=OB,∠AOC1=∠BOD1,OC1=OD1.
∴ △AOC1≌△BOD1 SAS．
∴ AC1=BD1，
∵ ∠AOB=90∘，
∴ ∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90∘，
∴ ∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90∘，
∵ ∠APB=90∘，则 AC1⊥BD1，
故 AC1 与 BD1 的数量关系是：AC1=BD1；AC1 与 BD1 的位置关系是：AC1⊥BD1．
（2） AC1=34BD1，AC1⊥BD1，
理由：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ OC=OA=12AC，OD=OB=12BD，AC⊥BD．
∵ △C1OD1 由 △COD 绕点 O 旋转得到，
∴ OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1．
∴ OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，
∴ OC1OA=OD1OB，
∴ OC1OD1=OAOB．
∴ △AOC1∽△BOD1．
∴ ∠OAC1=∠OBD1．
又 ∵ ∠AOB=90∘，
∴ ∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90∘，
∴ ∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90∘，
∴ ∠APB=90∘，
∴ AC1⊥BD1．
∵ △AOC1∽△BOD1，
∴ AC1BD1=OAOB=12AC12BD=ACBD=68=34．
即 AC1=34BD1，AC1⊥BD1．
（3） 如图 3，与（2）一样可证明 △AOC1∽△BOD1，
∴ AC1BD1=OAOB=ACBD=12，
∴ k=12．
∵ △COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 △C1OD1，
∴ OD1=OD，
而 OD=OB，
∴ OD1=OB=OD，
∴ △BDD1 为直角三角形，
在 Rt△BDD1 中，
BD12+DD12=BD2=144，
∴ 2AC12+DD12=144，
∴ AC12+kDD12=36．
28. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax−22+3．
将 C0,1 代入得：4a+3=1，解得：a=−12．
所以 y=−12x−22+3=−12x2+2x+1．
（2） 存在．① C 为直角顶点时，
如图①：作 CM⊥CD，CM 交抛物线于点 M．过点 C 作 CR∥x 轴，
因为 OD=OC，
所以 ∠ODC=45∘=∠DCN，
因为 CM⊥CD，
所以 ∠MCD=90∘，
所以 ∠MCN=90∘−45∘=45∘，
所以可设直线 CM 的解析式为 y=x+d，
将 C0,1 代入得 d=1．
所以直线 CM 的解析式为：y=x+1，则：y=x+1,y=−12x2+2x+1, 解之得：x=0,y=1 或 x=2,y=3.
所以点 M 的坐标为 2,3，恰好与 Q 点重合．
② D 为直角顶点时：如图②所示：
因为 OC=OD=1，
所以点 D 的坐标为 1,0，
设直线 MD 的解析式为 y=x+e，将点 D 的坐标代入得：1+e=0，解得 e=−1，
所以直线 MD 的解析式为 y=x−1．
将 y=x−1 与 y=−12x2+2x+1 联立解得：x=5+1,y=5 或 x=1−5,y=−5.
则 M 点的坐标为 5+1,5 或 1−5,−5．
综上所述，符合题意的存在，坐标分别是 2,3，5+1,5 或 1−5,−5．
（3） 存在．
如图③所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 Cʹ，作点 C 关于 x 轴的对称点 Cʺ，连接 CʹCʺ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，
则 △PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段 CʹCʺ 的长度．
在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 Fʹ，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 Pʹ，连接 FʹCʺ，FʹPʹ，PʹCʹ，CPʹ，CFʹ．
由轴对称的性质可知，△PʹCFʹ 的周长为 FʹCʺ+FʹPʹ+PʹCʹ．
因为 FʹCʺ+FʹPʹ+PʹCʹ 是点 Cʹ，Cʺ 之间的折线段，
所以 FʹCʺ+FʹPʹ+PʹCʹ>CʹCʺ，即 △PʹCFʹ 的周长大于 △PCF 的周长．
如图④所示，连接 CʹE．
由题意得 CE∥x 轴，
由抛物线的对称性得点 E 的坐标为 4,1，
因为 CE2=16=8+8=CQ2+QE2，
所以 △QCE 是等腰三角形，
因为点 C，Cʹ 关于直线 QE 对称，
所以 △QCʹE 为等腰直角三角形，
所以 △CECʹ 为等腰直角三角形，
所以 CʹE=CE=4，
所以点 Cʹ 的坐标为 4,5．
因为 C，Cʺ 关于 x 轴对称，
所以点 Cʺ 的坐标为 0,−1，
过点 Cʹ 作 CʹN⊥y 轴于点 N，则 NCʹ=4，NCʺ=4+1+1=6，
在 Rt△CʹNCʺ 中，由勾股定理得：CʹCʺ=CʹN2+CʺN2=42+62=213．
综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为 213．